Standardní skóre - Standard score

Porovnává různé metody klasifikace v normálním rozdělení. Zahrnuje: Standardní odchylky, kumulativní procenta, ekvivalenty percentilu, Z-skóre, T-skóre

v statistika, standardní skóre je počet standardní odchylky kterým je hodnota hrubého skóre (tj. pozorovaná hodnota nebo datový bod) nad nebo pod znamenat hodnota toho, co je pozorováno nebo měřeno. Surová skóre nad průměrem mají pozitivní standardní skóre, zatímco skóre pod průměrem mají negativní standardní skóre.

Vypočítává se odečtením hodnoty průměr populace od jednotlivce Hrubé skóre a pak vydělením rozdílu populace standardní odchylka. Tento proces převodu surového skóre na standardní skóre se nazývá standardizace nebo normalizace („normalizace“ však může odkazovat na mnoho typů poměrů; viz normalizace více).

Standardní skóre se nejčastěji nazývají z- skóre; tyto dva výrazy lze použít zaměnitelně, jak je uvedeno v tomto článku. Mezi další pojmy patří hodnoty z, normální skóre, a standardizované proměnné.

Výpočet z-skóre vyžaduje znalost střední a standardní odchylky úplné populace, ke které datový bod patří; pokud má jen a vzorek pozorování z populace, pak analogický výpočet s průměrem vzorku a směrodatnou odchylkou vzorku poskytne t-statistický.

Výpočet

Pokud je znám průměr populace a směrodatná odchylka populace, hrubé skóre X je převedeno na standardní skóre pomocí^[1]

{ displaystyle z = {x- mu over sigma}}

kde:

μ je znamenat z populace.

σ je standardní odchylka z populace.

Absolutní hodnota z představuje vzdálenost mezi tímto hrubým skóre X a průměr populace v jednotkách směrodatné odchylky. z je negativní, když je hrubé skóre pod průměrem, pozitivní, když je vyšší.

Výpočet z použití tohoto vzorce vyžaduje průměr populace a směrodatnou odchylku populace, nikoli průměr vzorku nebo odchylku vzorku. Znát skutečný průměr a směrodatnou odchylku populace je však často nereálné, s výjimkou případů, jako je standardizované testování, kde se měří celá populace.

Jsou-li průměr populace a směrodatná odchylka populace neznámá, lze standardní skóre vypočítat pomocí střední hodnoty vzorku a směrodatné odchylky vzorku jako odhad hodnot populace.^[2]^[3]^[4]^[5]

V těchto případech zskóre je

{ displaystyle z = {x - { bar {x}} přes S}}

kde:

{ displaystyle { bar {x}}}

je znamenat vzorku.

S je standardní odchylka vzorku.

V obou případech, protože čitatel i jmenovatel rovnice musí být oba vyjádřeny ve stejných měrných jednotkách, a protože se jednotky ruší dělením, z je ponecháno jako bezrozměrné množství.

Aplikace

Z-test

Z-skóre se často používá v z-testu ve standardizovaném testování - analogu k Studentův t-test pro populaci, jejíž parametry jsou známé, spíše než odhadované. Jelikož je velmi neobvyklé znát celou populaci, je mnohem častěji používán t-test.

Intervaly predikce

Standardní skóre lze použít při výpočtu predikční intervaly. Interval predikce [L,U], skládající se z určeného dolního koncového bodu L a určený horní koncový bod U, je interval takový, že budoucí pozorování X bude ležet v intervalu s vysokou pravděpodobností ${ displaystyle gamma}$ , tj.

{ displaystyle P (L

Pro standardní skóre Z z X to dává:^[6]

{ displaystyle P left ({ frac {L- mu} { sigma}}

Určením kvantilu z takového, že

{ Displaystyle P left (-z

následuje:

{ displaystyle L = mu -z sigma, U = mu + z sigma}

Kontrola procesu

V aplikacích řízení procesu poskytuje hodnota Z hodnocení toho, jak mimo cílový proces funguje.

Porovnání skóre měřených na různých stupnicích: ACT a SAT

Když se skóre měří na různých stupnicích, lze je převést na z-skóre, aby se usnadnilo srovnání. Dietz a kol.^[7] uveďte následující příklad porovnání skóre studentů na (starých) středoškolských testech SAT a ACT. Tabulka ukazuje průměr a směrodatnou odchylku pro celkové skóre na SAT a ACT. Předpokládejme, že student A zaznamenal na SAT 1800 a student B 24 na ACT. Který student si vedl lépe v porovnání s ostatními účastníky testu?

	SAT	AKT
Znamenat	1500	21
Standardní odchylka	300	5

Z-skóre pro studenta A je ${ displaystyle z = {x- mu over sigma} = {1800-1500 přes 300} = 1}$

Z-skóre pro studenta B je ${ displaystyle z = {x- mu over sigma} = {24-21 nad 5} = 0,6}$

Protože student A má vyšší z-skóre než student B, měl student A lepší výsledky ve srovnání s ostatními účastníky testu než student B.

Procento pozorování pod z-skóre

V pokračování příkladu skóre ACT a SAT, pokud lze dále předpokládat, že skóre ACT i SAT jsou normálně distribuována (což je přibližně správné), pak lze z-skóre použít k výpočtu procenta účastníků testu, kteří dostali nižší skóre než studenti A a B.

Klastrová analýza a vícerozměrné škálování

„U některých vícerozměrných technik, jako je vícerozměrné škálování a klastrová analýza, je koncepce vzdálenosti mezi jednotkami v datech často značně zajímavá a důležitá… Když jsou proměnné v mnohorozměrné datové sadě na různých stupnicích, má smysl počítat vzdálenosti po určité formě standardizace. “^[8]

Analýza hlavních komponent

V analýze hlavních komponent „jsou často standardizovány proměnné měřené v různých měřítcích nebo ve společném měřítku s velmi rozdílnými rozsahy.“^[9]

Relativní význam proměnných ve vícenásobné regrese: Standardizované regresní koeficienty

Standardizace proměnných před rokem 2006 vícenásobná regresní analýza se někdy používá jako pomůcka pro tlumočení.^[10](strana 95) uveďte následující.

„Standardizovaný regresní sklon je sklon v regresní rovnici, pokud jsou X a Y standardizovány… Standardizace X a Y se provádí odečtením příslušných průměrů z každé sady pozorování a dělením příslušnými směrodatnými odchylkami… Ve vícenásobné regrese, kde několik Používají se X proměnné, standardizované regresní koeficienty kvantifikují relativní příspěvek každé X proměnné. “

Kutner a kol.^[11] (str. 278) uveďte následující upozornění: „… je třeba být opatrný při interpretaci jakýchkoli regresních koeficientů, ať už standardizovaných nebo ne. Důvodem je, že když jsou proměnné prediktoru vzájemně korelovány,… koeficienty regrese jsou ovlivněny ostatními proměnnými prediktoru v modelu… Velikost standardizovaných regresních koeficientů je ovlivněna nejen přítomností korelací mezi predikčními proměnnými, ale také rozestupy pozorování u každé z těchto proměnných. Někdy mohou být tyto rozteče zcela libovolné. obvykle není moudré interpretovat veličiny standardizovaných regresních koeficientů tak, že odrážejí komparativní význam predikčních proměnných. “

Standardizace v matematické statistice

v matematická statistika, a náhodná proměnná X je standardizováno odečtením jeho očekávaná hodnota ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ a vydělením rozdílu jeho standardní odchylka ${ displaystyle sigma (X) = { sqrt { operatorname {Var} (X)}}:}$

{ displaystyle Z = {X- operatorname {E} [X] over sigma (X)}}

Pokud je uvažovaná náhodná proměnná průměr vzorku náhodného vzorku ${ displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}}$ z X:

{ displaystyle { bar {X}} = {1 nad n} součet _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}

pak je standardizovaná verze

{ displaystyle Z = { frac {{ bar {X}} - operatorname {E} [{ bar {X}}]} { sigma (X) / { sqrt {n}}}}.}

T-skóre

Při hodnocení vzdělávání T-skóre je standardní skóre Z posunuté a škálované tak, aby mělo průměr 50 a standardní odchylku 10.^[12]^[13]^[14]

Při měření kostní denzity je T-skóre standardní skóre měření ve srovnání s populací zdravých dospělých ve věku 30 let.^[15]

Viz také

Reference

^ E. Kreyszig (1979). Pokročilá inženýrská matematika (Čtvrté vydání). Wiley. str. 880, ekv. 5. ISBN 0-471-02140-7.
^ Spiegel, Murray R .; Stephens, Larry J (2008), Statistiky Schaum's Outlines (Čtvrté vydání), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-148584-5
^ Mendenhall, William; Sincich, Terry (2007), Statistika pro strojírenství a vědy (Páté vydání), Pearson / Prentice Hall, ISBN 978-0131877061
^ Glantz, Stanton A .; Slinker, Bryan K .; Neilands, Torsten B. (2016), Primer aplikované regrese a analýzy odchylky (Třetí vydání), McGraw Hill, ISBN 978-0071824118
^ Aho, Ken A. (2014), Základní a aplikovaná statistika pro biology (První vydání), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1439873380
^ E. Kreyszig (1979). Pokročilá inženýrská matematika (Čtvrté vydání). Wiley. str. 880, ekv. 6. ISBN 0-471-02140-7.
^ Diez, David; Barr, Christopher; Çetinkaya-Rundel, Mine (2012), Statistiky OpenIntro (Druhé vydání), openintro.org
^ Everitt, Brian; Hothorn, Torsten J (2011), Úvod do aplikované vícerozměrné analýzy s R.Springer, ISBN 978-1441996497
^ Johnson, Richard; Wichern, Wichern (2007), Aplikovaná statistická analýza s více proměnnými, Pearson / Prentice Hall
^ Afifi, Abdelmonem; May, Susanne K .; Clark, Virginia A. (2012), Praktická vícerozměrná analýza (Páté vydání), Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1439816806
^ Kutner, Michael; Nachtsheim, Christopher; Neter, John (204), Aplikované modely lineární regrese (Čtvrté vydání), McGraw Hill, ISBN 978-0073014661
^ John Salvia; James Ysseldyke; Sara Witmer (29. ledna 2009). Hodnocení: Ve speciálním a inkluzivním vzdělávání. Cengage Learning. 43–. ISBN 0-547-13437-1.
^ Edward S. Neukrug; R. Charles Fawcett (1. ledna 2014). Základy testování a hodnocení: Praktický průvodce pro poradce, sociální pracovníky a psychology. Cengage Learning. str. 133–. ISBN 978-1-305-16183-2.
^ Randy W. Kamphaus (16. srpna 2005). Klinické hodnocení dětské a adolescentní inteligence. Springer. str. 123–. ISBN 978-0-387-26299-4.
^ „Měření kostní hmoty: Co znamenají čísla“. NIH Osteoporóza a související choroby kostí Národní informační centrum. Národní institut zdraví. Citováno 5. srpna 2017.

Další čtení

Carroll, Susan Rovezzi; Carroll, David J. (2002). Jednoduché statistiky pro vedoucí školy (ilustrované vydání). Rowman & Littlefield. ISBN 978-0-8108-4322-6. Citováno 7. června 2009.
Larsen, Richard J .; Marx, Morris L. (2000). Úvod do matematické statistiky a její aplikace (Třetí vydání.). str. 282. ISBN 0-13-922303-7.

externí odkazy

Interaktivní blesk na skóre z a pravděpodobnosti normální křivky Jim Reed

[1] E. Kreyszig (1979). Pokročilá inženýrská matematika (Čtvrté vydání). Wiley. str. 880, ekv. 5. ISBN 0-471-02140-7.

[SpiegelStephens2008-2] Spiegel, Murray R .; Stephens, Larry J (2008), Statistiky Schaum's Outlines (Čtvrté vydání), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-148584-5

[Mendenhall2007-3] Mendenhall, William; Sincich, Terry (2007), Statistika pro strojírenství a vědy (Páté vydání), Pearson / Prentice Hall, ISBN 978-0131877061

[GlantzSlinker2016-4] Glantz, Stanton A .; Slinker, Bryan K .; Neilands, Torsten B. (2016), Primer aplikované regrese a analýzy odchylky (Třetí vydání), McGraw Hill, ISBN 978-0071824118

[Aho2014-5] Aho, Ken A. (2014), Základní a aplikovaná statistika pro biology (První vydání), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1439873380

[6] E. Kreyszig (1979). Pokročilá inženýrská matematika (Čtvrté vydání). Wiley. str. 880, ekv. 6. ISBN 0-471-02140-7.

[Diez2012-7] Diez, David; Barr, Christopher; Çetinkaya-Rundel, Mine (2012), Statistiky OpenIntro (Druhé vydání), openintro.org

[EverittHothorn2011-8] Everitt, Brian; Hothorn, Torsten J (2011), Úvod do aplikované vícerozměrné analýzy s R.Springer, ISBN 978-1441996497

[JohnsonWichern2007-9] Johnson, Richard; Wichern, Wichern (2007), Aplikovaná statistická analýza s více proměnnými, Pearson / Prentice Hall

[AfifiMayClark2012-10] Afifi, Abdelmonem; May, Susanne K .; Clark, Virginia A. (2012), Praktická vícerozměrná analýza (Páté vydání), Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1439816806

[KutnerNachtsheim2004-11] Kutner, Michael; Nachtsheim, Christopher; Neter, John (204), Aplikované modely lineární regrese (Čtvrté vydání), McGraw Hill, ISBN 978-0073014661

[12] John Salvia; James Ysseldyke; Sara Witmer (29. ledna 2009). Hodnocení: Ve speciálním a inkluzivním vzdělávání. Cengage Learning. 43–. ISBN 0-547-13437-1.

[13] Edward S. Neukrug; R. Charles Fawcett (1. ledna 2014). Základy testování a hodnocení: Praktický průvodce pro poradce, sociální pracovníky a psychology. Cengage Learning. str. 133–. ISBN 978-1-305-16183-2.

[14] Randy W. Kamphaus (16. srpna 2005). Klinické hodnocení dětské a adolescentní inteligence. Springer. str. 123–. ISBN 978-0-387-26299-4.

[15] „Měření kostní hmoty: Co znamenají čísla“. NIH Osteoporóza a související choroby kostí Národní informační centrum. Národní institut zdraví. Citováno 5. srpna 2017.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]