Obyčejná diferenciální rovnice - Ordinary differential equation

v matematika, an obyčejná diferenciální rovnice (ÓDA) je diferenciální rovnice obsahující jednu nebo více funkcí jedné nezávislé proměnné a deriváty těchto funkcí.^[1] Termín obyčejný se používá na rozdíl od termínu parciální diferenciální rovnice což může být s ohledem na více než jedna nezávislá proměnná.^[2]

Diferenciální rovnice

A lineární diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, která je definována a lineární polynom v neznámé funkci a jejích derivátech, tj rovnice formuláře

${ displaystyle a_ {0} (x) y + a_ {1} (x) y '+ a_ {2} (x) y' '+ cdots + a_ {n} (x) y ^ {(n)} + b (x) = 0,}$

kde ${ displaystyle a_ {0} (x)}$, ..., ${ displaystyle a_ {n} (x)}$ a ${ displaystyle b (x)}$ jsou libovolné diferencovatelné funkce které nemusí být lineární a ${ displaystyle y ', ldots, y ^ {(n)}}$ jsou postupné deriváty neznámé funkce y proměnné X.

Mezi běžnými diferenciálními rovnicemi hrají lineární diferenciální rovnice prominentní roli z několika důvodů. Většina základní a speciální funkce, se kterými se setkáváme v fyzika a aplikovaná matematika jsou řešení lineárních diferenciálních rovnic (viz Holonomická funkce ). Když jsou fyzikální jevy modelovány pomocí nelineárních rovnic, jsou pro snazší řešení obecně aproximovány lineárními diferenciálními rovnicemi. Těch několik nelineárních ODR, které lze explicitně vyřešit, se obecně vyřeší transformací rovnice na ekvivalentní lineární ODR (viz například Riccatiho rovnice ).

Některé ODR lze vyřešit explicitně, pokud jde o známé funkce a integrály. Pokud to není možné, rovnice pro výpočet Taylor série řešení může být užitečné. U aplikovaných problémů numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice může poskytnout přibližné řešení.

Pozadí

The trajektorie a projektil vypuštěn z dělo sleduje křivku určenou obyčejnou diferenciální rovnicí, která je odvozena z druhého Newtonova zákona.

Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) vznikají v mnoha kontextech matematiky a sociální a přírodní vědy. Matematické popisy změn používají diferenciály a deriváty. Různé diferenciály, deriváty a funkce se stávají příbuznými pomocí rovnic, takže diferenciální rovnice je výsledkem, který popisuje dynamicky se měnící jevy, vývoj a variace. Veličiny jsou často definovány jako rychlost změny jiných veličin (například derivace posunutí vzhledem k času) nebo gradienty veličin, což je způsob, jakým vstupují do diferenciálních rovnic.

Mezi konkrétní matematická pole patří geometrie a analytická mechanika. Vědecké obory zahrnují hodně z fyzika a astronomie (nebeská mechanika), meteorologie (modelování počasí), chemie (reakční rychlosti),^[3] biologie (infekční nemoci, genetické variace), ekologie a populační modelování (populační konkurence), ekonomika (akciové trendy, úrokové sazby a změny tržní rovnovážné ceny).

Mnoho matematiků studovalo diferenciální rovnice a přispělo k této oblasti, včetně Newton, Leibniz, Bernoulliho rodina, Riccati, Clairaut, d'Alembert, a Euler.

Jednoduchý příklad je Newtonův druhý zákon pohybu - vztah mezi posunem X a čas t objektu pod silou F, je dáno diferenciální rovnicí

${ displaystyle m { frac { mathrm {d} ^ {2} x (t)} { mathrm {d} t ^ {2}}} = F (x (t)) ,}$

který omezuje pohyb částice konstantní hmotnosti m. Obecně, F je funkcí polohy X(t) částice v čase t. Neznámá funkce X(t) se objevuje na obou stranách diferenciální rovnice a je označen v zápisu F(X(t)).^[4][5][6][7]

Definice

V následujícím textu pojďme y být závislá proměnná a X an nezávislé proměnné, a y = F(X) je neznámá funkce X. The notace pro diferenciaci se liší v závislosti na autorovi a na tom, který zápis je nejvhodnější pro daný úkol. V této souvislosti Leibnizova notace (dy/dx,d²y/dx²,...,dⁿy/dxⁿ) je užitečnější pro rozlišení a integrace, zatímco Lagrangeova notace (y ',y ′ ′, ..., y⁽ⁿ⁾) je užitečnější pro kompaktní reprezentaci derivátů libovolného řádu a Newtonova notace ${ displaystyle ({ dot {y}}, { ddot {y}}, { overset {...} {y}})}$ je často používán ve fyzice pro reprezentaci derivátů nízkého řádu s ohledem na čas.

Obecná definice

Dáno F, funkce X, ya deriváty y. Pak rovnice tvaru

${ displaystyle F left (x, y, y ', ldots, y ^ {(n-1)} right) = y ^ {(n)}}$

se nazývá explicitní obyčejná diferenciální rovnice z objednat n.^[8][9]

Obecněji, an implicitní obyčejná diferenciální rovnice řádu n má formu:^[10]

${ displaystyle F left (x, y, y ', y' ', ldots, y ^ {(n)} right) = 0}$

Existují další klasifikace:

Autonomní

Diferenciální rovnice nezávisí na X je nazýván autonomní.

Lineární

Diferenciální rovnice se říká lineární -li F lze psát jako lineární kombinace derivátů y:

${ displaystyle y ^ {(n)} = součet _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} (x) y ^ {(i)} + r (x)}$

kde A _i (X) a r (X) jsou spojité funkce X.^[8][11][12]Funkce r(X) se nazývá zdrojový termín, což vede ke dvěma dalším důležitým klasifikacím:^[11][13]

Homogenní

Li r(X) = 0, a následně jedno "automatické" řešení je triviální řešení, y = 0. Řešení lineární homogenní rovnice je a doplňková funkce, zde označeno y_C.

Nehomogenní (nebo nehomogenní)

Li r(X) ≠ 0. Dalším řešením doplňkové funkce je zvláštní integrál, zde označeno y_str.

Obecné řešení lineární rovnice lze psát jako y = y_C + y_str.

Nelineární

Diferenciální rovnice, kterou nelze napsat ve formě lineární kombinace.

Systém ODR

Řada spojených diferenciálních rovnic tvoří systém rovnic. Li y je vektor, jehož prvky jsou funkce; y(X) = [y₁(X), y₂(X),..., y_m(X)], a F je funkce s vektorovou hodnotou z y a jeho deriváty

${ displaystyle mathbf {y} ^ {(n)} = mathbf {F} vlevo (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n-1)} vpravo)}$

je explicitní systém obyčejných diferenciálních rovnic z objednat n a dimenze m. v vektor sloupce formulář:

${ displaystyle { begin {pmatrix} y_ {1} ^ {(n)} y_ {2} ^ {(n)} vdots y_ {m} ^ {(n)} end { pmatrix}} = { begin {pmatrix} f_ {1} left (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ { (n-1)} right) f_ {2} left (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n-1)} vpravo) vdots f_ {m} vlevo (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n-1)} right) end {pmatrix}}}$

Ty nemusí být nutně lineární. The implicitní analogový je:

${ displaystyle mathbf {F} vlevo (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n)} vpravo ) = { boldsymbol {0}}}$

kde 0 = (0, 0, ..., 0) je nulový vektor. V maticové formě

${ displaystyle { begin {pmatrix} f_ {1} (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n) }) f_ {2} (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n)}) vdots f_ {m} (x, mathbf {y}, mathbf {y} ', mathbf {y}' ', ldots, mathbf {y} ^ {(n)}) end {pmatrix }} = { begin {pmatrix} 0 0 vdots 0 end {pmatrix}}}$

Pro systém formuláře ${ displaystyle mathbf {F} vlevo (x, mathbf {y}, mathbf {y} ' vpravo) = { boldsymbol {0}}}$, některé zdroje rovněž vyžadují, aby Jacobian matrix ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {F} (x, mathbf {u}, mathbf {v})} { částečné mathbf {v}}}}$ být ne singulární abychom jej mohli nazvat implicitním ODE [systémem]; implicitní systém ODR, který splňuje tuto jakobijskou podmínku ne-singularity, lze transformovat do explicitního systému ODE. Ve stejných zdrojích se implicitní ODE systémy se singulárním Jacobian nazývají diferenciální algebraické rovnice (DAE). Tento rozdíl není pouze terminologickým rozlišením; DAE mají zásadně odlišné charakteristiky a jsou obecně více zapojeny do řešení než (nesingulární) systémy ODE.^[14][15] Pravděpodobně pro další deriváty, Hesenská matice a tak dále se také předpokládá, že podle tohoto schématu nejsou singulární,^{[Citace je zapotřebí ]} ačkoli si to všimněte libovolná ODR řádu větší než jedna může být [a obvykle je] přepsána jako systém ODR prvního řádu,^[16] což činí kritérium Jacobské singularity dostatečné pro to, aby tato taxonomie byla komplexní u všech objednávek.

Chování systému ODR lze vizualizovat pomocí a fázový portrét.

Řešení

Vzhledem k diferenciální rovnici

${ displaystyle F left (x, y, y ', ldots, y ^ {(n)} right) = 0}$

funkce u: Já ⊂ R → R, kde Já je interval, nazývá se a řešení nebo integrální křivka pro F, pokud u je n- časově rozlišitelné Já, a

${ displaystyle F (x, u, u ', ldots, u ^ {(n)}) = 0 quad x v I.}$

Vzhledem k dvěma řešením u: J ⊂ R → R a proti: Já ⊂ R → R, u se nazývá rozšíření z proti -li Já ⊂ J a

${ displaystyle u (x) = v (x) quad x v I. ,}$

Řešení, které nemá žádnou příponu, se nazývá a maximální řešení. Řešení definované pro všechny R se nazývá a globální řešení.

A obecné řešení z nrovnice th-řádu je řešení obsahující n libovolně nezávislé konstanty integrace. A konkrétní řešení je odvozeno z obecného řešení nastavením konstant na konkrétní hodnoty, často zvolené pro splnění množiny 'počáteční podmínky nebo okrajové podmínky '.^[17] A singulární řešení je řešení, které nelze získat přiřazením určitých hodnot libovolným konstantám v obecném řešení.^[18]

V kontextu lineární ODR terminologie konkrétní řešení může také odkazovat na jakékoli řešení ODR (nemusí nutně splňovat počáteční podmínky), které je poté přidáno k homogenní řešení (obecné řešení homogenní ODR), které pak tvoří obecné řešení původní ODR. Toto je terminologie používaná v metoda hádání v tomto článku a často se používá při diskusi o metoda neurčených koeficientů a variace parametrů.

Teorie

Singulární řešení

Teorie singulární řešení obyčejných a parciální diferenciální rovnice byl předmětem výzkumu z doby Leibniz, ale zvláštní pozornost mu byla věnována až od poloviny devatenáctého století. Cennou, ale málo známou prací na toto téma je Houtain (1854). Darboux (od 1873) byl lídrem v teorii a v geometrické interpretaci těchto řešení otevřel pole zpracované různými autory, zejména Casorati a Cayley. Posledně jmenovaný je způsoben (1872) teorií singulárního řešení diferenciálních rovnic prvního řádu přijatou kolem roku 1900.

Redukce na kvadraturu

Primitivní pokus o řešení diferenciálních rovnic měl za následek redukci na kvadratury. Protože to byla naděje algebraistů z osmnáctého století, že najdou metodu řešení obecné rovnice nstupně, takže bylo nadějí analytiků najít obecnou metodu pro integraci jakékoli diferenciální rovnice. Gauss (1799) však ukázali, že složité diferenciální rovnice vyžadují komplexní čísla. Analytici proto začali nahrazovat studium funkcí, čímž otevírali nové a úrodné pole. Cauchy byl první, kdo ocenil důležitost tohoto pohledu. Skutečnou otázkou poté již nebylo, zda je možné řešení pomocí známých funkcí nebo jejich integrálů, ale to, zda daná diferenciální rovnice postačuje pro definici funkce nezávislé proměnné nebo proměnných, a pokud ano, jaké jsou charakteristické vlastnosti.

Fuchsiová teorie

Dvě paměti od Fuchs^[19] inspiroval nový přístup, který následně vypracovali Thomé a Frobenius. Collet byl prominentním přispěvatelem od roku 1869. Jeho metoda integrace nelineárního systému byla sdělena Bertrandovi v roce 1868. Clebsch (1873) zaútočil na teorii paralelně s liniemi v jeho teorii Abelian integrály. Protože tuto lze klasifikovat podle vlastností základní křivky, která při racionální transformaci zůstává nezměněna, navrhl Clebsch klasifikovat transcendentní funkce definované diferenciálními rovnicemi podle invariantních vlastností příslušných povrchů F = 0 v rámci racionálních transformací jedna ku jedné.

Lieova teorie

Od roku 1870, Sophus Lie Práce dala teorii diferenciálních rovnic na lepší základ. Ukázal, že integrační teorie starších matematiků mohou pomocí Lež skupiny, být odkazoval se na společný zdroj, a že obyčejné diferenciální rovnice, které připouštějí totéž nekonečně malé transformace současné srovnatelné potíže s integrací. Zdůraznil také téma transformace kontaktu.

Byla certifikována Lieova grupová teorie diferenciálních rovnic, a to: (1) že sjednocuje mnoho ad hoc metod známých pro řešení diferenciálních rovnic a (2) poskytuje nové účinné způsoby hledání řešení. Tato teorie má aplikace na obyčejné i parciální diferenciální rovnice.^[20]

Obecný přístup k řešení využívá vlastnost symetrie diferenciálních rovnic, spojitost nekonečně malé transformace řešení řešení (Teorie lži ). Kontinuální teorie skupin, Lež algebry, a diferenciální geometrie slouží k pochopení struktury lineárních a nelineárních (parciálních) diferenciálních rovnic pro generování integrovatelných rovnic, k nalezení jejich Laxové páry, operátory rekurze, Bäcklundova transformace a konečně najít přesné analytické řešení DE.

Metody symetrie byly použity pro diferenciální rovnice, které vznikají v matematice, fyzice, inženýrství a dalších oborech.

Teorie Sturm – Liouville

Teorie Sturm – Liouville je teorie zvláštního typu lineární obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu. Jejich řešení jsou založena na vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce lineárních operátorů definovaných prostřednictvím druhého řádu homogenní lineární rovnice. Problémy jsou označeny jako Sturm-Liouville Problems (SLP) a jsou pojmenovány po nich J.C.F. Sturm a J. Liouville, který je studoval v polovině 18. století. SLP mají nekonečný počet vlastních čísel a odpovídající vlastní funkce tvoří úplnou ortogonální množinu, která umožňuje ortogonální expanze. Toto je klíčová myšlenka v aplikované matematice, fyzice a strojírenství.^[21] SLP jsou také užitečné při analýze určitých parciálních diferenciálních rovnic.

Existence a jedinečnost řešení

Existuje několik vět, které určují existenci a jedinečnost řešení problémy s počáteční hodnotou zapojení ODR lokálně i globálně. Dvě hlavní věty jsou

Teorém	Předpoklad	Závěr
Věta o Peanově existenci	F kontinuální	pouze místní existence
Picard – Lindelöfova věta	F Lipschitz kontinuální	místní existence a jedinečnost

Ve své základní formě obě tyto věty zaručují pouze místní výsledky, i když je možné ji rozšířit, aby poskytla globální výsledek, například pokud podmínky Grönwallova nerovnost jsou splněny.

Také neplatí věty o jedinečnosti jako výše uvedená Lipschitzova DAE systémy, které mohou mít více řešení vyplývajících pouze z jejich (nelineární) algebraické části.^[22]

Věta o místní existenci a jedinečnosti zjednodušena

Věta může být uvedena jednoduše následovně.^[23] Pro problém s rovnicí a počáteční hodnotou:

${ displaystyle y '= F (x, y) ,, quad y_ {0} = y (x_ {0})}$

-li F a ∂F/∂y jsou spojité v uzavřeném obdélníku

${ displaystyle R = [x_ {0} -a, x_ {0} + a] krát [y_ {0} -b, y_ {0} + b]}$

v x-y letadlo, kde A a b jsou nemovitý (symbolicky: a, b × ℝ) a × označuje kartézský součin, hranaté závorky označují uzavřené intervaly, pak existuje interval

${ displaystyle I = [x_ {0} -h, x_ {0} + h] podmnožina [x_ {0} -a, x_ {0} + a]}$

pro některé h ℝ ℝ kde the lze nalézt řešení výše uvedené rovnice a problému počáteční hodnoty. To znamená, že existuje řešení a je jedinečné. Protože neexistuje žádné omezení F být lineární, to platí pro nelineární rovnice, které mají podobu F(x, y) a lze jej také použít na soustavy rovnic.

Globální jedinečnost a maximální doména řešení

Jsou-li hypotézy Picard-Lindelöfovy věty splněny, lze místní existenci a jedinečnost rozšířit na globální výsledek. Přesněji:^[24]

Pro každou počáteční podmínku (X₀, y₀) existuje jedinečný maximální (možná nekonečný) otevřený interval

${ displaystyle I _ { max} = (x _ {-}, x _ {+}), x _ { pm} in mathbb {R} cup { pm infty }, x_ {0} in Já _ { max}}$

takové, že jakékoli řešení, které splňuje tuto počáteční podmínku, je a omezení řešení, které splňuje tuto počáteční podmínku s doménou ${ displaystyle I _ { max}}$.

V případě, že ${ displaystyle x _ { pm} neq pm infty}$, existují přesně dvě možnosti

• exploze v konečném čase: ${ displaystyle limsup _ {x až x _ { pm}} | y (x) | do infty}$
• ponechává doménu definice: ${ displaystyle lim _ {x až x _ { pm}} y (x) v částečný { bar { Omega}}}$

kde Ω je otevřená množina, ve které F je definován a ${ displaystyle částečný { bar { Omega}}}$ je jeho hranice.

Všimněte si, že maximální doména řešení

• je vždy interval (pro jedinečnost)
• může být menší než ${ displaystyle mathbb {R}}$
• může záviset na konkrétní volbě (X₀, y₀).

Příklad.

${ displaystyle y '= y ^ {2}}$

Tohle znamená tamto F(x, y) = y², který je C¹ a proto místně Lipschitz spojitý, uspokojující Picard – Lindelöfovu větu.

I v tak jednoduchém nastavení nemůže být maximální doménou řešení vše ${ displaystyle mathbb {R}}$ protože řešení je

${ displaystyle y (x) = { frac {y_ {0}} {(x_ {0} -x) y_ {0} +1}}}$

který má maximální doménu:

${ displaystyle { begin {cases} mathbb {R} & y_ {0} = 0 [4pt] left (- infty, x_ {0} + { frac {1} {y_ {0}}} right) & y_ {0}> 0 [4pt] left (x_ {0} + { frac {1} {y_ {0}}}, + infty right) & y_ {0} <0 end {případy}}}$

To jasně ukazuje, že maximální interval může záviset na počátečních podmínkách. Doména y lze brát jako bytí ${ displaystyle mathbb {R} setminus (x_ {0} + 1 / y_ {0}),}$ ale to by vedlo k doméně, která není intervalem, takže strana naproti počáteční podmínce by byla odpojena od počáteční podmínky, a proto by jí nebyla jednoznačně určena.

Maximální doména není ${ displaystyle mathbb {R}}$ protože

${ displaystyle lim _ {x až x _ { pm}} | y (x) | až infty,}$

což je jeden ze dvou možných případů podle výše uvedené věty.

Snížení objednávky

Diferenciální rovnice lze obvykle vyřešit snadněji, pokud lze snížit pořadí rovnice.

Redukce na systém prvního řádu

Libovolná explicitní diferenciální rovnice řádu n,

${ displaystyle F left (x, y, y ', y' ', ldots, y ^ {(n-1)} right) = y ^ {(n)}}$

lze psát jako systém n diferenciální rovnice prvního řádu definováním nové rodiny neznámých funkcí

${ displaystyle y_ {i} = y ^ {(i-1)}. !}$

pro i = 1, 2,..., n. The n-dimenzionální soustava vázaných diferenciálních rovnic prvního řádu je tedy

${ displaystyle { begin {array} {rcl} y_ {1} '& = & y_ {2} y_ {2}' & = & y_ {3} & vdots & y_ {n-1} '& = & y_ {n} y_ {n}' & = & F (x, y_ {1}, ldots, y_ {n}). end {pole}}}$

kompaktněji ve vektorové notaci:

${ displaystyle mathbf {y} '= mathbf {F} (x, mathbf {y})}$

kde

${ displaystyle mathbf {y} = (y_ {1}, ldots, y_ {n}), quad mathbf {F} (x, y_ {1}, ldots, y_ {n}) = (y_ {2}, ldots, y_ {n}, F (x, y_ {1}, ldots, y_ {n}))}$

Shrnutí přesných řešení

Některé diferenciální rovnice mají řešení, která lze napsat v přesné a uzavřené formě. Zde je uvedeno několik důležitých tříd.

V následující tabulce P(X), Q(X), P(y), Q(y), a M(X,y), N(X,y) jsou jakékoli integrovatelný funkce X, y, a b a C jsou skutečně dané konstanty a C₁, C₂, ... jsou libovolné konstanty (komplex obecně). Diferenciální rovnice jsou v jejich ekvivalentních a alternativních formách, které vedou k řešení integrací.

V integrálních řešeních jsou λ a ε fiktivní proměnné integrace (analoga indexů kontinua v součet ) a zápis ∫^XF(λ) dλ prostě znamená integrovat se F(λ) s ohledem na λ, pak po náhrada integrace λ = X, bez přidání konstant (výslovně uvedeno).

Typ	Diferenciální rovnice	Metoda řešení	Obecné řešení
Oddělitelný	Prvního řádu, oddělitelné v X a y (obecný případ, speciální případy viz níže)[25] ${ displaystyle { begin {aligned} P_ {1} (x) Q_ {1} (y) + P_ {2} (x) Q_ {2} (y) , { frac {dy} {dx}} & = 0 P_ {1} (x) Q_ {1} (y) , dx + P_ {2} (x) Q_ {2} (y) , dy & = 0 end {zarovnáno}}}$	Oddělení proměnných (děleno) P2Q1).	${ displaystyle int ^ {x} { frac {P_ {1} ( lambda)} {P_ {2} ( lambda)}} , d lambda + int ^ {y} { frac {Q_ {2} ( lambda)} {Q_ {1} ( lambda)}} , d lambda = C , !}$
	Prvního řádu, oddělitelné v X[23] ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {dy} {dx}} & = F (x) dy & = F (x) , dx end {zarovnáno}}}$	Přímá integrace.	${ displaystyle y = int ^ {x} F ( lambda) , d lambda + C , !}$
	Prvního řádu, autonomní, oddělitelné v y[23] ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {dy} {dx}} & = F (y) dy & = F (y) , dx end {zarovnáno}}}$	Oddělení proměnných (vydělit F).	${ displaystyle x = int ^ {y} { frac {d lambda} {F ( lambda)}} + C , !}$
	Prvního řádu, oddělitelné v X a y[23] ${ displaystyle { begin {zarovnáno} P (y) { frac {dy} {dx}} + Q (x) & = 0 P (y) , dy + Q (x) , dx & = 0 end {zarovnáno}}}$	Integrujte se do celého procesu.	${ displaystyle int ^ {y} P ( lambda) , d lambda + int ^ {x} Q ( lambda) , d lambda = C , !}$
Obecně prvního řádu	Homogenní prvního řádu[23] ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = F vlevo ({ frac {y} {x}} vpravo) , !}$	Soubor y = ux, poté vyřešte oddělením proměnných v u a X.	${ displaystyle ln (Cx) = int ^ {y / x} { frac {d lambda} {F ( lambda) - lambda}} , !}$
	První objednávka, oddělitelná[25] ${ displaystyle { begin {zarovnáno} yM (xy) + xN (xy) , { frac {dy} {dx}} & = 0 yM (xy) , dx + xN (xy) , dy & = 0 end {zarovnáno}}}$	Oddělení proměnných (děleno) xy).	${ displaystyle ln (Cx) = int ^ {xy} { frac {N ( lambda) , d lambda} { lambda [N ( lambda) -M ( lambda)]}} , !}$ Li N = M, řešení je xy = C.
	Přesný diferenciál, první objednávka[23] ${ displaystyle { begin {zarovnáno} M (x, y) { frac {dy} {dx}} + N (x, y) & = 0 M (x, y) , dy + N (x , y) , dx & = 0 end {zarovnáno}}}$ kde ${ displaystyle { frac { částečné M} { částečné x}} = { frac { částečné N} { částečné y}} , !}$	Integrujte se do celého procesu.	${ displaystyle { begin {zarovnáno} F (x, y) = & int ^ {y} M (x, lambda) , d lambda + int ^ {x} N ( lambda, y) , d lambda & + Y (y) + X (x) = C end {zarovnáno}}}$ kde Y(y) a X(X) jsou funkce z integrálů, nikoli konstantní hodnoty, které jsou nastaveny tak, aby vytvářely konečnou funkci F(x, y) splňují počáteční rovnici.
	Nepřesný diferenciál, první objednávka[23] ${ displaystyle { begin {zarovnáno} M (x, y) { frac {dy} {dx}} + N (x, y) & = 0 M (x, y) , dy + N (x , y) , dx & = 0 end {zarovnáno}}}$ kde ${ displaystyle { frac { částečné M} { částečné x}} neq { frac { částečné N} { částečné y}} , !}$	Faktor integrace μ (x, y) uspokojující ${ displaystyle { frac { částečné ( mu M)} { částečné x}} = { frac { částečné ( mu N)} { částečné y}} , !}$	Li μ(X, y) Může být nalezeno: ${ displaystyle { begin {zarovnáno} F (x, y) = & int ^ {y} mu (x, lambda) M (x, lambda) , d lambda + int ^ {x} mu ( lambda, y) N ( lambda, y) , d lambda & + Y (y) + X (x) = C end {zarovnáno}}}$
Obecně druhého řádu	Autonomní druhého řádu[26] ${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = F (y) , !}$	Vynásobte obě strany rovnice 2dy/dx, náhrada ${ displaystyle 2 { frac {dy} {dx}} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = { frac {d} {dx}} vlevo ({ frac {dy} {dx}} vpravo) ^ {2} , !}$, poté se integrujte dvakrát.	${ displaystyle x = pm int ^ {y} { frac {d lambda} { sqrt {2 int ^ { lambda} F ( varepsilon) , d varepsilon + C_ {1}}} } + C_ {2} , !}$
Lineární k nth pořadí	Lineární, nehomogenní, funkční koeficienty prvního řádu[23] ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} + P (x) y = Q (x) , !}$	Integrační faktor: ${ displaystyle e ^ { int ^ {x} P ( lambda) , d lambda}.}$	${ displaystyle y = e ^ {- int ^ {x} P ( lambda) , d lambda} vlevo [ int ^ {x} e ^ { int ^ { lambda} P ( varepsilon) , d varepsilon} Q ( lambda) , d lambda + C doprava]}$
	Lineární, nehomogenní, funkční koeficienty druhého řádu ${ displaystyle {d ^ {2} y nad dx ^ {2}} + 2p (x) {dy nad dx} + (p (x) ^ {2} + p '(x)) y = q ( X)}$	Integrační faktor: ${ displaystyle e ^ { int ^ {x} P ( lambda) , d lambda}}$	${ displaystyle y = e ^ {- int ^ {x} P ( lambda) , d lambda} vlevo [ int ^ {x} ( int ^ { xi} e ^ { int ^ { lambda} P ( varepsilon) , d varepsilon} Q ( lambda) , d lambda) d xi + C_ {1} x + C_ {2} vpravo]}$
	Lineární, nehomogenní, konstantní koeficienty druhého řádu[27] ${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + b { frac {dy} {dx}} + cy = r (x) , !}$	Doplňková funkce yC: předpokládej yC = EαX, dosaďte a vyřešte polynom v α, abyste našli lineárně nezávislé funkce ${ displaystyle e ^ { alpha _ {j} x}}$. Zvláštní integrál ystr: obecně metoda změny parametrů, i když pro velmi jednoduché r(X) kontrola může fungovat.[23]	${ displaystyle y = y_ {c} + y_ {p}}$ Li b2 > 4C, pak ${ displaystyle y_ {c} = C_ {1} e ^ {- { frac {x} {2}} , left (b + { sqrt {b ^ {2} -4c}} right)} + C_ {2} e ^ {- { frac {x} {2}} , left (b - { sqrt {b ^ {2} -4c}} right)}}$ Li b2 = 4C, pak ${ displaystyle y_ {c} = (C_ {1} x + C_ {2}) e ​​^ {- { frac {bx} {2}}}}$ Li b2 < 4C, pak ${ displaystyle y_ {c} = e ^ {- { frac {bx} {2}}} left [C_ {1} sin left (x , { frac { sqrt {4c-b ^ { 2}}} {2}} vpravo) + C_ {2} cos vlevo (x , { frac { sqrt {4c-b ^ {2}}} {2}} vpravo) vpravo] }$
	nlineární, nehomogenní, konstantní koeficienty tého řádu[27] ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} b_ {j} { frac {d ^ {j} y} {dx ^ {j}}} = r (x) , !}$	Doplňková funkce yC: předpokládej yC = EαX, dosadit a vyřešit polynom v α, najít lineárně nezávislé funkce ${ displaystyle e ^ { alpha _ {j} x}}$. Zvláštní integrál ystr: obecně metoda změny parametrů, i když pro velmi jednoduché r(X) kontrola může fungovat.[23]	${ displaystyle y = y_ {c} + y_ {p}}$ Protože αj jsou řešení polynomiální z stupeň n: ${ displaystyle prod _ {j = 1} ^ {n} ( alpha - alpha _ {j}) = 0 , !}$, pak: pro αj úplně jiné, ${ displaystyle y_ {c} = součet _ {j = 1} ^ {n} C_ {j} e ^ { alpha _ {j} x} , !}$ pro každý kořen αj opakoval kj časy, ${ displaystyle y_ {c} = součet _ {j = 1} ^ {n} left ( sum _ { ell = 1} ^ {k_ {j}} C_ {j, ell} x ^ { ell -1} right) e ^ { alpha _ {j} x} , !}$ pro některé αj komplex, pak nastavení α = χj + iγja pomocí Eulerův vzorec, umožňuje zapsat některé výrazy z předchozích výsledků do formuláře ${ displaystyle C_ {j} e ^ { alpha _ {j} x} = C_ {j} e ^ { chi _ {j} x} cos ( gamma _ {j} x + varphi _ {j} ) , !}$ kde ϕj je libovolná konstanta (fázový posun).

Metoda hádání

Když selžou všechny ostatní metody řešení ODE, nebo v případech, kdy máme nějakou intuici o tom, jak by řešení DE mohlo vypadat, je někdy možné vyřešit DE jednoduše hádáním řešení a jeho validací. Chcete-li použít tuto metodu, jednoduše hádáme řešení diferenciální rovnice a poté připojíme řešení k diferenciální rovnici, abychom ověřili, zda splňuje rovnici. Pokud ano, máme konkrétní řešení DE, jinak začneme znovu a zkusíme jiný odhad. Mohli bychom například hádat, že řešení DE má formu: ${ displaystyle y = Ae ^ { alpha t}}$ protože se jedná o velmi běžné řešení, které se fyzicky chová sinusově.

V případě nehomogenní ODR prvního řádu musíme nejprve najít řešení DE homogenní části DE, jinak známé jako charakteristická rovnice, a poté najít řešení celé nehomogenní rovnice hádáním . Nakonec přidáme obě tato řešení dohromady, abychom získali celkové řešení ODR, tj.:

${ displaystyle { text {celkové řešení}} = { text {homogenní řešení}} + { text {konkrétní řešení}}}$

Software pro řešení ODE

• Maxima, open-source počítačový algebraický systém.
• COPASI, zdarma (Umělecká licence 2.0 ) softwarový balíček pro integraci a analýzu ODR.
• MATLAB, aplikace pro technické výpočty (MATrix LABoratory)
• GNU oktáva, jazyk vysoké úrovně, který je primárně určen pro numerické výpočty.
• Scilab, open source aplikace pro numerické výpočty.
• Javor, patentovaná aplikace pro symbolické výpočty.
• Mathematica, patentovaná aplikace primárně určená pro symbolické výpočty.
• SymPy, balíček Pythonu, který dokáže vyřešit ODR symbolicky
• Julia (programovací jazyk), jazyk vysoké úrovně určený především pro numerické výpočty.
• SageMath, aplikace s otevřeným zdrojovým kódem, která používá syntaxi podobnou Pythonu s širokou škálou funkcí zahrnujících několik odvětví matematiky.
• SciPy, balíček Pythonu, který obsahuje modul integrace ODE.
• Chebfun, balíček open-source napsaný v MATLAB, pro výpočet s funkcemi s přesností na 15 číslic.
• GNU R, výpočetní prostředí open source primárně určené pro statistiku, které zahrnuje balíčky pro řešení ODE.

Viz také

• Problém mezní hodnoty
• Příklady diferenciálních rovnic
• Laplaceova transformace aplikovaná na diferenciální rovnice
• Seznam témat dynamických systémů a diferenciálních rovnic
• Maticová diferenciální rovnice
• Metoda neurčených koeficientů
• Vztah opakování

Poznámky

Reference

• Halliday, David; Resnick, Robert (1977), Fyzika (3. vyd.), New York: Wiley, ISBN  0-471-71716-9
• Harper, Charlie (1976), Úvod do matematické fyziky, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN  0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Pokročilá inženýrská matematika (3. vyd.), New York: Wiley, ISBN  0-471-50728-8.
• Polyanin, A. D. a V. F. Zaitsev, Příručka přesných řešení pro obyčejné diferenciální rovnice (2. vydání) “, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN  1-58488-297-2
• Simmons, George F. (1972), Diferenciální rovnice s aplikacemi a historické poznámky, New York: McGraw-Hill, LCCN  75173716
• Tipler, Paul A. (1991), Fyzika pro vědce a inženýry: Rozšířená verze (3. vyd.), New York: Worth Publishers, ISBN  0-87901-432-6
• Boscain, Ugo; Chitour, Yacine (2011), Úvod à l'automatique (PDF) (francouzsky)
• Dresner, Lawrence (1999), Aplikace Lieovy teorie obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic, Bristol a Filadelfie: Ústav vydávání fyziky, ISBN  978-0750305303

Bibliografie

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teorie obyčejných diferenciálních rovnic. New York: McGraw-Hill.
• Hartman, Philip (2002) [1964], Obyčejné diferenciální rovnice, Classics in Applied Mathematics, 38, Filadelfie: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, doi:10.1137/1.9780898719222, ISBN  978-0-89871-510-1, PAN  1929104
• W. Johnson, Pojednání o obyčejných a parciálních diferenciálních rovnicích, John Wiley and Sons, 1913, v University of Michigan Historical Math Collection
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Obyčejné diferenciální rovnice, Dover Publications, New York, ISBN  978-0-486-60349-0, PAN  0010757
• Witold Hurewicz, Přednášky o obyčejných diferenciálních rovnicíchPublikace Dover, ISBN  0-486-49510-8
• Ibragimov, Nail H. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Prozřetelnost: CRC-Press. ISBN  0-8493-4488-3..
• Teschl, Gerald (2012). Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy. Prozřetelnost: Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev a A. Moussiaux, Příručka parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, Taylor & Francis, Londýn, 2002. ISBN  0-415-27267-X
• D. Zwillinger, Příručka diferenciálních rovnic (3. vydání), Academic Press, Boston, 1997.

externí odkazy

• "Diferenciální rovnice, obyčejná", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Diferenciální rovnice na Curlie (obsahuje seznam softwaru pro řešení diferenciálních rovnic).
• EqWorld: Svět matematických rovnic, obsahující seznam obyčejných diferenciálních rovnic s jejich řešeními.
• Online poznámky / diferenciální rovnice Paul Dawkins, Lamar University.
• Diferenciální rovnice, S.O.S. Matematika.
• Primer analytického řešení diferenciálních rovnic z Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
• Obyčejné diferenciální rovnice a dynamické systémy poznámky k přednášce od Gerald Teschl.
• Poznámky k Diffy Qs: Diferenciální rovnice pro inženýry Úvodní učebnice diferenciálních rovnic od Jiřího Lebla z UIUC.
• Modelování pomocí ODR pomocí Scilab Výukový program, jak modelovat fyzický systém popsaný ODE pomocí standardního programovacího jazyka Scilab týmem Openeering.
• Řešení obyčejné diferenciální rovnice ve Wolfram | Alpha