Riccatiho rovnice - Riccati equation
v matematika, a Riccatiho rovnice v nejužším smyslu je jakýkoli první řád obyčejná diferenciální rovnice to je kvadratický v neznámé funkci. Jinými slovy, jedná se o rovnici tvaru
kde a . Li rovnice se redukuje na a Bernoulliho rovnice, zatímco pokud rovnice se stává prvním řádem lineární obyčejná diferenciální rovnice.
Rovnice je pojmenována po Jacopo Riccati (1676–1754).[1]
Obecněji termín Riccatiho rovnice se používá k označení maticové rovnice s analogickým kvadratickým termínem, který se vyskytuje v obou nepřetržitý čas a diskrétní čas lineárně-kvadraticko-gaussovské řízení. Jejich ustálená (nedynamická) verze se označuje jako algebraická Riccatiho rovnice.
Redukce na lineární rovnici druhého řádu
The nelineární Riccatiho rovnici lze vždy snížit na druhý řád lineární obyčejná diferenciální rovnice (ÓDA):[2]Li
pak kdekoli je nenulová a diferencovatelná, splňuje Riccatiho rovnici tvaru
kde a , protože
Střídání , z toho vyplývá, že splňuje lineární ODR 2. řádu
od té doby
aby
a tudíž
Řešení této rovnice povede k řešení původní Riccatiho rovnice.
Aplikace na schwarzianskou rovnici
Důležitou aplikací Riccatiho rovnice je 3. řád Schwarzianova diferenciální rovnice
který se vyskytuje v teorii konformního mapování a univalentní funkce. V tomto případě jsou ODR v komplexní doméně a diferenciace je s ohledem na komplexní proměnnou. (The Schwarzianův derivát má pozoruhodnou vlastnost, že je invariantní za Möbiových transformací, tj. kdykoli je nenulová.) Funkce splňuje Riccatiho rovnici
Výše uvedeným kde je řešení lineární ODR
Od té doby , dává integrace pro nějakou konstantu . Na druhou stranu jakékoli jiné nezávislé řešení lineární ODE má konstantní nenulovou Wronskian které lze považovat za po změně měřítka
takže schwarzianská rovnice má řešení
Získání řešení kvadraturou
Korespondence mezi Riccatiho rovnicemi a lineárními ODR druhého řádu má další důsledky. Například, pokud je známé jedno řešení ODR 2. řádu, pak je známo, že další řešení lze získat kvadraturou, tj. Jednoduchou integrací. Totéž platí pro Riccatiho rovnici. Ve skutečnosti, pokud jedno konkrétní řešení lze nalézt, obecné řešení se získá jako
Střídání
v Riccatiho rovnici výnosy
a od té doby
z toho vyplývá, že
nebo
což je Bernoulliho rovnice. Substituce, která je nutná k vyřešení této Bernoulliho rovnice, je
Střídání
přímo do Riccatiho rovnice získá lineární rovnici
Soubor řešení Riccatiho rovnice je pak dán vztahem
kde z je obecné řešení výše uvedené lineární rovnice.
Viz také
Reference
- ^ Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes diferencies secundi gradus" (Pozorování týkající se diferenciálních rovnic druhého řádu), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Supplementa, 8 : 66-73. Překlad původní latiny do angličtiny Ian Bruce.
- ^ Ince, E. L. (1956) [1926], Obyčejné diferenciální rovnice, New York: Dover Publications, s. 23–25
Další čtení
- Hille, Einar (1997) [1976], Obyčejné diferenciální rovnice ve složité doméně, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
- Nehari, Zeev (1975) [1952], Konformní mapování, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
- Polyanin, Andrei D .; Zaitsev, Valentin F. (2003), Příručka přesných řešení pro obyčejné diferenciální rovnice (2. vyd.), Boca Raton, Fla .: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-297-2
- Zelikin, Michail I. (2000), Homogenní prostory a Riccatiho rovnice v variačním počtu, Berlín: Springer-Verlag
- Reid, William T. (1972), Riccatiho diferenciální rovnice, London: Academic Press
externí odkazy
- „Riccatiho rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Riccatiho rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
- Riccati diferenciální rovnice na Mathworld
- Funkce MATLAB pro řešení spojité algebraické Riccatiho rovnice.
- SciPy má funkce pro řešení spojitá algebraická Riccatiho rovnice a diskrétní algebraická Riccatiho rovnice.