Bäcklundova transformace - Bäcklund transform

v matematika, Bäcklund se transformuje nebo Bäcklundovy transformace (pojmenováno podle švédského matematika Albert Victor Bäcklund ) se týkají parciální diferenciální rovnice a jejich řešení. Jsou důležitým nástrojem solitonová teorie a integrovatelné systémy. Bäcklundova transformace je typicky systém parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu vztahujících se ke dvěma funkcím a často závisí na dalším parametru. To znamená, že obě funkce samostatně uspokojují parciální diferenciální rovnice a každá z těchto dvou funkcí je pak považována za Bäcklundovu transformaci druhé.

Bäcklundova transformace, která se týká řešení stejný rovnice se nazývá invariantní Bäcklundova transformace nebo auto-Bäcklundova transformace. Pokud lze takovou transformaci nalézt, lze z řešení rovnice odvodit mnoho, zejména pokud Bäcklundova transformace obsahuje parametr. Není však znám žádný systematický způsob hledání Bäcklundových transformací.

Dějiny

Bäcklundovy transformace vznikly jako transformace pseudosféry v 80. letech 19. století.

Bäcklundovy transformace mají svůj původ diferenciální geometrie: prvním netriviálním příkladem je transformace pseudosférické povrchy představil L. Bianchi a A.V. Bäcklund v 80. letech 19. století. Jedná se o geometrickou konstrukci nového pseudosférického povrchu z počátečního takového povrchu pomocí řešení a lineární diferenciální rovnice. Pseudosférické povrchy lze popsat jako řešení sine-Gordonova rovnice, a tedy Bäcklundovu transformaci povrchů lze považovat za transformaci řešení sine-Gordonovy rovnice.

Cauchy-Riemannovy rovnice

Prototypickým příkladem Bäcklundovy transformace je Cauchy – Riemannov systém

{ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, quad u_ {y} = - v_ {x}, ,}

který spojuje skutečnou a imaginární část u a proti a holomorfní funkce. Tento systém parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu má následující vlastnosti.

Li u a proti jsou tedy řešení Cauchy-Riemannovy rovnice u je řešením Laplaceova rovnice

{ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = 0}

(tj. a harmonická funkce ), a tak je proti. Toto následuje přímým rozlišením rovnic s ohledem na X a y a s využitím skutečnosti, že

${ displaystyle u_ {xy} = u_ {yx}, quad v_ {xy} = v_ {yx},. ,}$
Naopak pokud u je řešením Laplaceovy rovnice, pak existují funkce proti které řeší Cauchy – Riemannovy rovnice společně s u.

V tomto případě je tedy Bäcklundova transformace harmonické funkce pouze a konjugovat harmonickou funkci. Výše uvedené vlastnosti znamenají přesněji Laplaceovu rovnici u a Laplaceova rovnice pro proti jsou podmínky integrability pro řešení Cauchy-Riemannovy rovnice.

To jsou charakteristické rysy Bäcklundovy transformace. Pokud máme parciální diferenciální rovnici v u, a Bäcklundova transformace z u na proti, můžeme odvodit parciální diferenciální rovnici splněnou proti.

Tento příklad je poněkud triviální, protože všechny tři rovnice (rovnice pro u, rovnice pro proti a Bäcklundova transformace, která je spojuje) jsou lineární. Bäcklundovy transformace jsou nejzajímavější, když je pouze jedna ze tří rovnic lineární.

Sine-Gordonova rovnice

Předpokládejme to u je řešením sine-Gordonova rovnice

{ displaystyle u_ {xy} = sin u. ,}

Pak systém

{ displaystyle { begin {aligned} v_ {x} & = u_ {x} + 2a sin { Bigl (} { frac {v + u} {2}} { Bigr)} v_ {y } & = - u_ {y} + { frac {2} {a}} sin { Bigl (} { frac {vu} {2}} { Bigr)} end {zarovnáno}} , !}

kde A je libovolný parametr, je řešitelný pro funkci proti což také uspokojí sine-Gordonovu rovnici. Toto je příklad auto-Bäcklundovy transformace.

Použitím maticového systému je také možné najít lineární Bäcklundovu transformaci pro řešení sine-Gordonovy rovnice.

Liouvilleova rovnice

Bäcklundova transformace může změnit nelineární parciální diferenciální rovnici na jednodušší, lineární, parciální diferenciální rovnici.

Například pokud u a proti jsou spojeny prostřednictvím Bäcklundovy transformace

{ displaystyle { begin {aligned} v_ {x} & = u_ {x} + 2a exp { Bigl (} { frac {u + v} {2}} { Bigr)} v_ {y } & = - u_ {y} - { frac {1} {a}} exp { Bigl (} { frac {uv} {2}} { Bigr)} end {zarovnáno}} , !}

kde A je libovolný parametr, a pokud u je řešením Liouvilleova rovnice

${ displaystyle u_ {xy} = exp u , !}$

pak proti je řešením mnohem jednodušší rovnice, ${ displaystyle v_ {xy} = 0}$ a naopak.

Poté můžeme (nelineární) Liouvilleovu rovnici vyřešit prací s mnohem jednodušší lineární rovnicí.

Viz také

Reference

Hermann, Robert (1976). Geometrie nelineárních diferenciálních rovnic, Bäcklundovy transformace a solitony. Matematický vědecký tisk. ISBN 978-0-915692-16-3.
Rogers, C .; Shadwick, W.F. (1982-05-12), Bäcklundovy transformace a jejich aplikace (1. vyd.), Academic Press, ISBN 0-12-592850-5
Rogers, C .; Schief, Wolfgang Karl (2002), Transformace Bäcklund a Darboux, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-01288-1, výňatek
A. D. Polyanin a V. F. Zaitsev, Příručka nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, Chapman & Hall / CRC Press, 2004.

externí odkazy

„Bäcklundova transformace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Bäcklundova transformace“. MathWorld.