Grönwallova nerovnost - Grönwalls inequality - Wikipedia

v matematika, Grönwallova nerovnost (také zvaný Grönwallovo lemma nebo Nerovnost Grönwall – Bellman) umožňuje člověku svázat funkci, o které je známo, že uspokojuje určité rozdíl nebo integrální nerovnost řešením příslušného diferenciálu nebo integrální rovnice. Existují dvě formy lemmatu, diferenciální forma a integrální forma. Pro druhé existuje několik variant.

Grönwallova nerovnost je důležitým nástrojem k získání různých odhadů v teorii obyčejný a stochastické diferenciální rovnice. Poskytuje zejména a věta o srovnání které lze použít k prokázání jedinečnost řešení řešení problém počáteční hodnoty; viz Picard – Lindelöfova věta.

Je pojmenován pro Thomas Hakon Grönwall (1877–1932). Grönwall je švédské hláskování jeho jména, ale po emigraci do Spojených států si ve svých vědeckých publikacích napsal své jméno jako Gronwall.

Diferenciální forma byla prokázána Grönwallem v roce 1919.^[1]Integrovanou formu prokázal Richard Bellman v roce 1943.^[2]

Nelineární zobecnění nerovnosti Grönwall – Bellman je známé jako Nerovnost Bihari – LaSalle. Další varianty a zobecnění lze nalézt v Pachpatte, B.G. (1998).^[3]

Diferenciální forma

Nechat $Já$ označit interval z skutečná linie formuláře $[A, \infty)$ nebo $[A, b]$ nebo $[A, b)$ s $A < b$ . Nechat $β$ a $u$ mít skutečnou hodnotu spojité funkce definováno dne $Já$ . Li $u$ je rozlišitelný v interiér $Já Ó$ z $Já$ (interval $Já$ bez koncových bodů $A$ a možná $b$ ) a uspokojuje diferenciální nerovnost

{ Displaystyle u '(t) leq beta (t) , u (t), qquad t v I ^ { circ},}

pak $u$ je omezen řešením odpovídajícího diferenciálu rovnice $proti'(t) = β (t) proti (t)$ :

{ displaystyle u (t) leq u (a) exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (s) , mathrm {d} s { biggr)}}

pro všechny $t \in Já$ .

Poznámka: O známkách funkcí nejsou žádné předpoklady $β$ a $u$ .

Důkaz

Definujte funkci

{ displaystyle v (t) = exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (s) , mathrm {d} s { biggr)}, qquad t v I .}

Všimněte si, že $proti$ splňuje

{ displaystyle v '(t) = beta (t) , v (t), qquad t v I ^ { circ},}

s $proti (A) = 1$ a $proti (t) > 0$ pro všechny $t \in Já$ . Podle pravidlo kvocientu

{ displaystyle { frac {d} {dt}} { frac {u (t)} {v (t)}} = { frac {u '(t) , v (t) -v' (t ) , u (t)} {v ^ {2} (t)}} = { frac {u '(t) , v (t) - beta (t) , v (t) , u (t)} {v ^ {2} (t)}} leq 0, qquad t v I ^ { circ},}

Tedy derivace funkce ${ displaystyle u (t) / v (t)}$ je non-positive a funkce je ohraničena nahoře svou hodnotou v počátečním bodě ${ displaystyle a}$ intervalu ${ displaystyle I}$ :

{ displaystyle { frac {u (t)} {v (t)}} leq { frac {u (a)} {v (a)}} = u (a), qquad t v I, }

což je Grönwallova nerovnost.

Integrovaná forma pro spojité funkce

Nechat $Já$ označit interval z skutečná linie formuláře $[A, \infty)$ nebo $[A, b]$ nebo $[A, b)$ s $A < b$ . Nechat $α$ , $β$ a $u$ být funkce se skutečnou hodnotou definované na $Já$ . Předpokládat, že $β$ a $u$ jsou spojité a že negativní část $α$ je integrovatelný v každém uzavřeném a ohraničeném podintervalu $Já$ .

(a) Pokud $β$ je nezáporné a pokud $u$ uspokojuje integrální nerovnost

{ displaystyle u (t) leq alpha (t) + int _ {a} ^ {t} beta (s) u (s) , mathrm {d} s, qquad forall t in Já,}

pak

{ displaystyle u (t) leq alfa (t) + int _ {a} ^ {t} alfa (s) beta (s) exp { biggl (} int _ {s} ^ { t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} mathrm {d} s, qquad t v I.}

(b) Je-li navíc funkce $α$ tedy neklesající

{ displaystyle u (t) leq alpha (t) exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (s) , mathrm {d} s { biggr)}, qquad t v I.}

Poznámky:

O známkách funkcí nejsou žádné předpoklady $α$ a $u$ .
Ve srovnání s diferenciální formou, diferencovatelnost $u$ pro integrální formu není potřeba.
Pro verzi Grönwallovy nerovnosti, která nepotřebuje kontinuitu $β$ a $u$ , viz verze v další části.

Důkaz

(a) Definovat

{ displaystyle v (s) = exp { biggl (} {-} int _ {a} ^ {s} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} int _ { a} ^ {s} beta (r) u (r) , mathrm {d} r, qquad s v I.}

Za použití produktové pravidlo, řetězové pravidlo, derivát exponenciální funkce a základní věta o počtu, získáme pro derivát

{ displaystyle v '(s) = { biggl (} underbrace {u (s) - int _ {a} ^ {s} beta (r) u (r) , mathrm {d} r} _ { leq , alpha (s)} { biggr)} beta (s) exp { biggl (} {-} int _ {a} ^ {s} beta (r) mathrm { d} r { biggr)}, qquad s v I,}

kde jsme pro horní odhad použili předpokládanou integrální nerovnost. Od té doby $β$ a exponenciální jsou nezáporné, to dává horní odhad pro derivaci $proti$ . Od té doby $proti (A) = 0$ , integrace této nerovnosti z $A$ na $t$ dává

{ displaystyle v (t) leq int _ {a} ^ {t} alfa (s) beta (s) exp { biggl (} {-} int _ {a} ^ {s} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} mathrm {d} s.}

Pomocí definice $proti (t)$ pro první krok, a pak tato nerovnost a funkční rovnice exponenciální funkce získáme

{ displaystyle { begin {aligned} int _ {a} ^ {t} beta (s) u (s) , mathrm {d} s & = exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} v (t) & leq int _ {a} ^ {t} alfa (s) beta (s ) exp { biggl (} underbrace { int _ {a} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r- int _ {a} ^ {s} beta (r) , mathrm {d} r} _ {= , int _ {s} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r} { biggr)} mathrm {d} s. end {zarovnáno}}}

Dosazením tohoto výsledku do předpokládané integrální nerovnosti získáme Grönwallovu nerovnost.

(b) Pokud je funkce $α$ je neklesající, pak část (a), skutečnost $α (s) \leq α (t)$ , a základní věta o počtu to naznačuje

{ displaystyle { begin {aligned} u (t) & leq alpha (t) + { biggl (} {-} alpha (t) exp { biggl (} int _ {s} ^ { t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} { biggr)} { biggr |} _ {s = a} ^ {s = t} & = alpha (t ) exp { biggl (} int _ {a} ^ {t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)}, qquad t v I. end {zarovnáno}} }

Integrovaná forma s místně konečnými opatřeními

Nechat $Já$ označit interval z skutečná linie formuláře $[A, \infty)$ nebo $[A, b]$ nebo $[A, b)$ s $A < b$ . Nechat $α$ a $u$ být měřitelné funkce definováno dne $Já$ a nechte $μ$ být nepřetržitým nezáporným měřítkem na internetu Borel σ-algebra z $Já$ uspokojující $μ ([A, t]) < \infty$ pro všechny $t \in Já$ (to je jistě spokojeno, když $μ$ je lokálně konečné opatření ). Předpokládat, že $u$ je integrovatelný s ohledem na $μ$ V tom smyslu, že

{ displaystyle int _ {[a, t)} | u (s) | , mu ( mathrm {d} s) < infty, qquad t v I,}

a to $u$ uspokojuje integrální nerovnost

{ Displaystyle u (t) leq alpha (t) + int _ {[a, t)} u (s) , mu ( mathrm {d} s), qquad t v I.}

Pokud navíc

funkce $α$ je nezáporný nebo
funkce $t \mapsto μ ([A, t])$ je spojitá pro $t \in Já$ a funkce $α$ je integrovatelný s ohledem na $μ$ V tom smyslu, že

{ displaystyle int _ {[a, t)} | alfa (s) | , mu ( mathrm {d} s) < infty, qquad t v I,}

pak $u$ uspokojuje Grönwallovu nerovnost

{ displaystyle u (t) leq alfa (t) + int _ {[a, t)} alfa (s) exp { bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr )} , mu ( mathrm {d} s)}

pro všechny $t \in Já$ , kde $Já Svatý$ označuje interval otevření $(s, t)$ .

Poznámky

U funkcí neexistují žádné předpoklady kontinuity $α$ a $u$ .
Integrál v Grönwallově nerovnosti může dát hodnotu nekonečno.
Li $α$ je nulová funkce a $u$ je nezáporná, pak to naznačuje Grönwallova nerovnost $u$ je nulová funkce.
Integrovatelnost $u$ s ohledem na $μ$ je pro výsledek zásadní. Pro protiklad, nechť $μ$ označit Lebesgueovo opatření na jednotkový interval $[0, 1]$ , definovat $u (0) = 0$ a $u (t) = 1/ t$ pro $t \in$ $(0, 1]$ a nechte $α$ být nulová funkce.
Verze uvedená v učebnici od S. Ethiera a T. Kurtze.^[4] vytváří silnější předpoklady $α$ je nezáporná konstanta a $u$ je omezen na omezené intervaly, ale nepředpokládá, že míra $μ$ je místně konečný. Ve srovnání s níže uvedeným se jejich důkaz nezabývá chováním zbytku $R n (t)$ .

Speciální případy

Pokud opatření $μ$ má hustotu $β$ s ohledem na Lebesgueovu míru lze potom Grönwallovu nerovnost přepsat jako

{ displaystyle u (t) leq alfa (t) + int _ {a} ^ {t} alfa (s) beta (s) exp { biggl (} int _ {s} ^ { t} beta (r) , mathrm {d} r { biggr)} , mathrm {d} s, qquad t v I.}

Pokud je funkce $α$ je nezáporná a hustota $β$ z $μ$ je omezena konstantou $C$ , pak

{ displaystyle u (t) leq alpha (t) + c int _ {a} ^ {t} alfa (s) exp { bigl (} c (ts) { bigr)} , mathrm {d} s, qquad t v I.}

Pokud navíc nezáporná funkce $α$ tedy neklesající

{ displaystyle u (t) leq alfa (t) + c alfa (t) int _ {a} ^ {t} exp { bigl (} c (ts) { bigr)} , mathrm {d} s = alpha (t) exp (c (ta)), qquad t v I.}

Nástin důkazu

Důkaz je rozdělen do tří kroků. Cílem je nahradit předpokládanou integrální nerovnost v sobě $n$ krát. To se provádí v nároku 1 pomocí matematické indukce. V nároku 2 přepíšeme míru simplexu ve vhodné formě pomocí permutační invariance měr produktu. Ve třetím kroku přecházíme k limitu $n$ do nekonečna k odvození požadované varianty Grönwallovy nerovnosti.

Podrobný důkaz

Nárok 1: Iterace nerovnosti

Pro každé přirozené číslo $n$ včetně nuly,

{ Displaystyle u (t) leq alfa (t) + int _ {[a, t)} alfa (s) součet _ {k = 0} ^ {n-1} mu ^ { otimes k} (A_ {k} (s, t)) , mu ( mathrm {d} s) + R_ {n} (t)}

se zbytkem

{ displaystyle R_ {n} (t): = int _ {[a, t)} u (s) mu ^ { mnohokrát n} (A_ {n} (s, t)) , mu ( mathrm {d} s), qquad t v I,}

kde

{ displaystyle A_ {n} (s, t) = {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) v I_ {s, t} ^ {n} střední s_ {1}

je $n$ -dimenzionální simplexní a

{ displaystyle mu ^ { otimes 0} (A_ {0} (s, t)): = 1.}

Doklad o nároku 1

Používáme matematická indukce. Pro $n = 0$ toto je jen předpokládaná integrální nerovnost, protože prázdná částka je definována jako nula.

Indukční krok od $n$ na $n + 1$ : Vložení předpokládané integrální nerovnosti pro funkci $u$ do zbytku dává

{ displaystyle R_ {n} (t) leq int _ {[a, t)} alfa (s) mu ^ { další krát}} (A_ {n} (s, t)) , mu ( mathrm {d} s) + { tilde {R}} _ {n} (t)}

s

{ displaystyle { tilde {R}} _ {n} (t): = int _ {[a, t)} { biggl (} int _ {[a, q)} u (s) , mu ( mathrm {d} s) { biggr)} mu ^ { otimes n} (A_ {n} (q, t)) , mu ( mathrm {d} q), qquad t v I.}

Za použití Fubini – Tonelliho věta pro výměnu dvou integrálů získáme

{ displaystyle { tilde {R}} _ {n} (t) = int _ {[a, t)} u (s) underbrace { int _ {(s, t)} mu ^ { další n} (A_ {n} (q, t)) , mu ( mathrm {d} q)} _ {= , mu ^ { další n + 1} (A_ {n + 1} ( s, t))} , mu ( mathrm {d} s) = R_ {n + 1} (t), qquad t v I.}

Proto Nárok 1 je prokázáno pro $n + 1$ .

Nárok 2: Míra simplexu

Pro každé přirozené číslo $n$ včetně nuly a všeho $s < t$ v $Já$

{ displaystyle mu ^ { otimes n} (A_ {n} (s, t)) leq { frac {{ bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ { n}} {n!}}}

v případě rovnosti $t \mapsto μ ([A, t])$ je spojitá pro $t \in Já$ .

Doklad o nároku 2

Pro $n = 0$ , tvrzení je podle našich definic pravdivé. Proto zvažte $n \geq 1$ v následujícím.

Nechat $S n$ označit množinu všech obměny indexů v ${1, 2, . . . , n$ }. Pro každou obměnu $σ \in S n$ definovat

{ displaystyle A_ {n, sigma} (s, t) = {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) v I_ {s, t} ^ {n} střední s _ { sigma (1)}

~~Tyto sady jsou disjunktní pro různé obměny a~~

~~${ displaystyle bigcup _ { sigma v S_ {n}} A_ {n, sigma} (s, t) podmnožina I_ {s, t} ^ {n}.}$~~

~~Proto,~~

~~${ displaystyle sum _ { sigma v S_ {n}} mu ^ { otimes n} (A_ {n, sigma} (s, t)) leq mu ^ { otimes n} { bigl (} I_ {s, t} ^ {n} { bigr)} = { bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ {n}.}$~~

~~Vzhledem k tomu, že všichni mají stejnou míru, pokud jde o $n$ -skládaný produkt $μ$ , a protože tam jsou $n!$ permutace v $S n$ následuje nárokovaná nerovnost.~~

~~Předpokládejme, že teď $t \mapsto μ ([A, t])$ je spojitá pro $t \in Já$ . Pak pro různé indexy $i, j \in {1, 2, . . . , n$ }, sada~~

~~${ displaystyle {(s_ {1}, ldots, s_ {n}) v I_ {s, t} ^ {n} střední s_ {i} = s_ {j} }}$~~

~~je obsažen v a nadrovina, tedy aplikací Fubiniho věta jeho opatření s ohledem na $n$ -skládaný produkt $μ$ je nula. Od té doby~~

~~${ displaystyle I_ {s, t} ^ {n} podmnožina bigcup _ { sigma v S_ {n}} A_ {n, sigma} (s, t) cup bigcup _ {1 leq i$~~

~~následuje požadovaná rovnost.~~

Důkaz Grönwallovy nerovnosti

~~Pro každé přirozené číslo $n$ , 2. nárok znamená pro zbytek Nárok 1 že~~

~~${ displaystyle | R_ {n} (t) | leq { frac {{ bigl (} mu (I_ {a, t}) { bigr)} ^ {n}} {n!}} int _ {[a, t)} | u (s) | , mu ( mathrm {d} s), qquad t v I.}$~~

~~Předpokládáme $μ (Já A, t) < \infty$ . Proto je předpoklad integrovatelnosti na $u$ to naznačuje~~

~~${ displaystyle lim _ {n to infty} R_ {n} (t) = 0, qquad t v I.}$~~

~~2. nárok a série reprezentace exponenciální funkce implikuje odhad~~

~~${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} mu ^ { otimes k} (A_ {k} (s, t)) leq sum _ {k = 0} ^ {n- 1} { frac {{ bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ {k}} {k!}} Leq exp { bigl (} mu (I_ { s, t}) { bigr)}}$~~

~~pro všechny $s < t$ v $Já$ . Pokud je funkce $α$ je nezáporné, stačí tyto výsledky vložit Nárok 1 odvodit výše uvedenou variantu Grönwallovy nerovnosti pro funkci $u$ .~~

~~V případě $t \mapsto μ ([A, t])$ je spojitá pro $t \in Já$ , 2. nárok dává~~

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n-1} mu ^ { otimes k} (A_ {k} (s, t)) = sum _ {k = 0} ^ {n-1 } { frac {{ bigl (} mu (I_ {s, t}) { bigr)} ^ {k}} {k!}} to exp { bigl (} mu (I_ {s , t}) { bigr)} qquad { text {as}} n do infty}$

~~a integrovatelnost funkce $α$ povolení používat dominující věta o konvergenci odvodit Grönwallovu nerovnost.~~

Reference

^ Gronwall, Thomas H. (1919), „Poznámka k derivacím s ohledem na parametr řešení soustavy diferenciálních rovnic“, Ann. matematiky., 20 (2): 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, PAN 1502565
~~^ Bellman, Richard (1943), "Stabilita řešení lineárních diferenciálních rovnic", Vévoda Math. J., 10 (4): 643–647, doi:10.1215 / s0012-7094-43-01059-2, PAN 0009408, Zbl 0061.18502~~
~~^ Pachpatte, B.G. (1998). Nerovnosti pro diferenciální a integrální rovnice. San Diego: Academic Press. ISBN 9780080534640.~~
~~^ Ethier, Steward N .; Kurtz, Thomas G. (1986), Markovovy procesy, charakterizace a konvergence, New York: John Wiley & Sons, str. 498, ISBN 0-471-08186-8, PAN 0838085, Zbl 0592.60049~~

Viz také

~~Logaritmická norma, pro verzi lemrona Gronwall, která dává horní a dolní hranici normě matice přechodu stavu.~~

~~Tento článek včlení materiál z Gronwallova lemmatu PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.~~

[gronwall-1] Gronwall, Thomas H. (1919), „Poznámka k derivacím s ohledem na parametr řešení soustavy diferenciálních rovnic“, Ann. matematiky., 20 (2): 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, PAN 1502565

[2] ~~^ Bellman, Richard (1943), "Stabilita řešení lineárních diferenciálních rovnic", Vévoda Math. J., 10 (4): 643–647, doi:10.1215 / s0012-7094-43-01059-2, PAN 0009408, Zbl 0061.18502~~

[3] ~~^ Pachpatte, B.G. (1998). Nerovnosti pro diferenciální a integrální rovnice. San Diego: Academic Press. ISBN 9780080534640.~~

[4] ~~^ Ethier, Steward N .; Kurtz, Thomas G. (1986), Markovovy procesy, charakterizace a konvergence, New York: John Wiley & Sons, str. 498, ISBN 0-471-08186-8, PAN 0838085, Zbl 0592.60049~~

[1]

[2]

[3]

[4]