Laplaceova transformace aplikovaná na diferenciální rovnice - Laplace transform applied to differential equations

v matematika, Laplaceova transformace je mocný integrální transformace slouží k přepnutí funkce z časová doména do s-doména. Laplaceovu transformaci lze v některých případech použít k řešení lineární diferenciální rovnice s daným počáteční podmínky.

Nejprve zvažte následující vlastnost Laplaceovy transformace:

${ displaystyle { mathcal {L}} {f '} = s { mathcal {L}} {f } - f (0)}$

${ displaystyle { mathcal {L}} {f '' } = s ^ {2} { mathcal {L}} {f } - sf (0) -f '(0)}$

Dá se to dokázat indukce že

${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} } = s ^ {n} { mathcal {L}} {f } - součet _ {i = 1} ^ { n} s ^ {ni} f ^ {(i-1)} (0)}$

Nyní uvažujeme následující diferenciální rovnici:

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} f ^ {(i)} (t) = phi (t)}$

s danými počátečními podmínkami

${ displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i}}$

Za použití linearita Laplaceovy transformace je ekvivalentní přepsat rovnici na

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} { mathcal {L}} {f ^ {(i)} (t) } = { mathcal {L}} { phi (t) }}$

získávání

${ displaystyle { mathcal {L}} {f (t) } součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ {i} - součet _ {i = 1} ^ { n} sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} f ^ {(j-1)} (0) = { mathcal {L}} { phi (t) }}$

Řešení rovnice pro ${ displaystyle { mathcal {L}} {f (t) }}$ a nahrazovat ${ displaystyle f ^ {(i)} (0)}$ s ${ displaystyle c_ {i}}$ jeden získá

${ displaystyle { mathcal {L}} {f (t) } = { frac {{ mathcal {L}} { phi (t) } + sum _ {i = 1} ^ { n} sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} c_ {j-1}} { sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ { já}}}}$

Řešení pro F(t) je získán použitím inverzní Laplaceova transformace na ${ displaystyle { mathcal {L}} {f (t) }.}$

Všimněte si, že pokud jsou počáteční podmínky nulové, tj.

${ displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i} = 0 quad forall i in {0,1,2, ... n }}$

pak se vzorec zjednoduší na

${ displaystyle f (t) = { mathcal {L}} ^ {- 1} vlevo {{{ mathcal {L}} { phi (t) } nad součet _ {i = 0 } ^ {n} a_ {i} s ^ {i}} doprava }}$

Příklad

Chceme to vyřešit

${ Displaystyle f '' (t) + 4f (t) = cos (t)}$

s počátečními podmínkami F(0) = 0 a F'(0)=0.

Poznamenáváme to

${ displaystyle phi (t) = sin (2t)}$

a dostaneme

${ displaystyle { mathcal {L}} { phi (t) } = { frac {2} {s ^ {2} +4}}}$

Rovnice je pak ekvivalentní k

${ displaystyle s ^ {2} { mathcal {L}} {f (t) } - sf (0) -f '(0) +4 { mathcal {L}} {f (t) } = { mathcal {L}} { phi (t) }}$

Dedukujeme

${ displaystyle { mathcal {L}} {f (t) } = { frac {2} {(s ^ {2} +4) ^ {2}}}}$

Nyní použijeme Laplaceovu inverzní transformaci, abychom získali

${ displaystyle f (t) = { frac {1} {8}} sin (2t) - { frac {t} {4}} cos (2t)}$

Bibliografie

• A. D. Polyanin, Příručka lineárních parciálních diferenciálních rovnic pro inženýry a vědce, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9