Nepřesná diferenciální rovnice - Inexact differential equation

An nepřesná diferenciální rovnice je diferenciální rovnice formuláře (viz také: nepřesný diferenciál )

{ displaystyle M (x, y) , dx + N (x, y) , dy = 0, { text {kde}} { frac { částečný M} { částečný y}} neq { frac { částečné N} { částečné x}}.}

Řešení těchto rovnic přišlo s vynálezem integrační faktor podle Leonhard Euler v roce 1739.^[1]

Metoda řešení

Abychom mohli rovnici vyřešit, musíme ji transformovat na přesná diferenciální rovnice. Abychom to mohli udělat, musíme najít integrační faktor ${ displaystyle mu}$ vynásobte rovnici. Začneme samotnou rovnicí. ${ displaystyle M , dx + N , dy = 0}$ , takže máme ${ displaystyle mu M , dx + mu N , dy = 0}$ . Budeme požadovat ${ displaystyle mu}$ uspokojit ${ displaystyle { frac { částečné mu M} { částečné y}} = { frac { částečné mu N} { částečné x}}}$ . Dostaneme ${ displaystyle { frac { částečné mu} { částečné y}} M + { frac { částečné M} { částečné y}} mu = { frac { částečné mu} { částečné x} } N + { frac { částečné N} { částečné x}} mu}$ . Po zjednodušení dostaneme ${ displaystyle M mu _ {y} -N mu _ {x} + (M_ {y} -N_ {x}) mu = 0}$ . Protože se jedná o parciální diferenciální rovnice, je většinou extrémně těžké vyřešit, ale v některých případech dostaneme buď ${ displaystyle mu (x, y) = mu (x)}$ nebo ${ displaystyle mu (x, y) = mu (y)}$ , v takovém případě musíme pouze najít ${ displaystyle mu}$ s lineární diferenciální rovnice prvního řádu nebo a oddělitelná diferenciální rovnice a jako takové ${ displaystyle mu (y) = e ^ {- int {{ frac {M_ {y} -N_ {x}} {M}} , dy}}}$ nebo ${ displaystyle mu (x) = e ^ { int {{ frac {M_ {y} -N_ {x}} {N}} , dx}}}$ .