Maticová diferenciální rovnice - Matrix differential equation

A diferenciální rovnice je matematická rovnice pro neznámou funkci jedné nebo více proměnných, která souvisí s hodnotami samotné funkce a jejích derivátů různých řádů. A maticová diferenciální rovnice obsahuje více než jednu funkci skládanou do vektorové podoby s maticí vztahující se k funkcím jejich derivátů.

Například matice prvního řádu obyčejná diferenciální rovnice je

{displaystyle mathbf {dot {x}} (t) = mathbf {A} (t) mathbf {x} (t)}

kde ${displaystyle mathbf {x} (t)}$ je ${displaystyle n imes 1}$ vektor funkcí podkladové proměnné ${displaystyle t}$ , ${displaystyle mathbf {dot {x}} (t)}$ je vektor prvních derivací těchto funkcí a ${displaystyle mathbf {A} (t)}$ je ${displaystyle n imes n}$ matice koeficientů.

V případě, že ${displaystyle mathbf {A}}$ je konstantní a má n lineárně nezávislé vlastní vektory, má tato diferenciální rovnice následující obecné řešení,

{displaystyle mathbf {x} (t) = c_ {1} e ^ {lambda _ {1} t} mathbf {u} _ {1} + c_ {2} e ^ {lambda _ {2} t} mathbf {u } _ {2} + cdots + c_ {n} e ^ {lambda _ {n} t} mathbf {u} _ {n} ~,}

kde λ₁, λ₂, ..., λ_n jsou vlastní čísla z A; u₁, u₂, ..., u_n jsou příslušné vlastní vektory z A ; a C₁, C₂, ...., C_n jsou konstanty.

Obecněji, pokud ${displaystyle mathbf {A} (t)}$ dojíždí se svým integrálem ${displaystyle int _ {a} ^ {t} mathbf {A} (s) ds}$ pak je obecné řešení diferenciální rovnice

{displaystyle mathbf {x} (t) = e ^ {int _ {a} ^ {t} mathbf {A} (s) ds} mathbf {c} ~,}

kde ${displaystyle mathbf {c}}$ je ${displaystyle n imes 1}$ konstantní vektor.^{[Citace je zapotřebí ]}

Použitím Cayley-Hamiltonova věta a Matice typu Vandermonde, toto formální exponenciální matice řešení lze zredukovat na jednoduchou formu.^[1] Níže je toto řešení zobrazeno z hlediska Putzerova algoritmu.^[2]

Stabilita a ustálený stav maticového systému

Maticová rovnice

{displaystyle mathbf {dot {x}} (t) = mathbf {Axe} (t) + mathbf {b}}

s n× 1 parametr konstantní vektor b je stabilní jen a jen pokud vše vlastní čísla konstantní matice A mít negativní skutečnou část.

Ustálený stav X* ke kterému konverguje, pokud je nalezena stabilita nastavením

{displaystyle mathbf {dot {x}} ^ {*} (t) = mathbf {0} ~,}

čímž se vzdává

{displaystyle mathbf {x} ^ {*} = - mathbf {A} ^ {- 1} mathbf {b} ~,}

za předpokladu A je invertibilní.

Původní rovnici lze tedy napsat v homogenní formě, pokud jde o odchylky od ustáleného stavu,

{displaystyle mathbf {dot {x}} (t) = mathbf {A} [mathbf {x} (t) -mathbf {x} ^ {*}] ~.}

Ekvivalentní způsob, jak to vyjádřit, je ten X* je konkrétní řešení nehomogenní rovnice, zatímco všechna řešení jsou ve formě

{displaystyle mathbf {x} _ {h} + mathbf {x} ^ {*} ~,}

s ${displaystyle mathbf {x} _ {h}}$ řešení homogenní rovnice (b=0).

Stabilita případu proměnné dva stavy

V n = 2 case (with two state variables), the stability conditions that the two eigenvalues of the transition matrix A každý má zápornou skutečnou část, která odpovídá podmínkám, které stopa z A být negativní a jeho určující buď pozitivní.

Řešení v maticové formě

Formální řešení ${displaystyle mathbf {dot {x}} (t) = mathbf {A} [mathbf {x} (t) -mathbf {x} ^ {*}]}$ má exponenciální matice formulář

{displaystyle mathbf {x} (t) = mathbf {x} ^ {*} + e ^ {mathbf {A} t} [mathbf {x} (0) -mathbf {x} ^ {*}] ~,}

hodnoceny pomocí jakékoli z mnoha technik.

Putzerův algoritmus pro výpočet $E A t$

Vzhledem k tomu, matice A s vlastními hodnotami ${displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, tečky, lambda _ {n}}$ ,

{displaystyle e ^ {mathbf {A} t} = součet _ {j = 0} ^ {n-1} r_ {j + 1} {left (tight)} mathbf {P} _ {j}}

kde

{displaystyle mathbf {P} _ {0} = mathbf {I}}

{displaystyle mathbf {P} _ {j} = prod _ {k = 1} ^ {j} left (mathbf {A} -lambda _ {k} mathbf {I} ight) = mathbf {P} _ {j-1 } vlevo (mathbf {A} -lambda _ {j} mathbf {I} ight), qquad j = 1,2, tečky, n-1}

{displaystyle {dot {r}} _ {1} = lambda _ {1} r_ {1}}

{displaystyle r_ {1} {left (0ight)} = 1}

{displaystyle {dot {r}} _ {j} = lambda _ {j} r_ {j} + r_ {j-1}, qquad j = 2,3, dots, n}

{displaystyle r_ {j} {left (0ight)} = 0, qquad j = 2,3, tečky, n}

Rovnice pro ${displaystyle r_ {i} {vlevo (těsně)}}$ jsou jednoduché nehomogenní ODR prvního řádu.

Všimněte si, že algoritmus nevyžaduje, aby matice A být úhlopříčně a obchází složitost Jordan kanonické formy běžně využíváno.

Dekonstruovaný příklad obyčejné diferenciální rovnice matice

Homogenní matice obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou funkcích x (t) a y (t), když je vyjmut z maticové formy, má následující formu:

{displaystyle {frac {dx} {dt}} = a_ {1} x + b_ {1} y, quad {frac {dy} {dt}} = a_ {2} x + b_ {2} y}

kde ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, b_ {1} ,!}$ a ${displaystyle b_ {2} ,!}$ mohou to být libovolné skaláry.

Matice ODR vyššího řádu mohou mít mnohem komplikovanější formu.

Řešení dekonstruované matice obyčejných diferenciálních rovnic

Proces řešení výše uvedených rovnic a hledání požadovaných funkcí tohoto konkrétního řádu a formy se skládá ze 3 hlavních kroků. Stručný popis každého z těchto kroků je uveden níže:

Nalezení vlastní čísla
Nalezení vlastní vektory
Nalezení potřebných funkcí

Poslední, třetí krok při řešení těchto druhů obyčejné diferenciální rovnice se obvykle provádí připojením hodnot, vypočtených ve dvou předchozích krocích, do specializované rovnice obecného tvaru, zmíněné dále v tomto článku.

Vyřešený příklad matice ODE

Abychom vyřešili maticovou ODR podle výše uvedených tří kroků pomocí jednoduchých matic v procesu, najdeme, řekněme, funkci $X$ a funkce $y$ oba z hlediska jediné nezávislé proměnné $t$ , dále homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu,

{displaystyle {frac {dx} {dt}} = 3x-4y, quad {frac {dy} {dt}} = 4x-7y ~.}

Chcete-li vyřešit tento konkrétní obyčejná diferenciální rovnice systému, v určitém okamžiku procesu řešení budeme potřebovat sadu dvou počáteční hodnoty (odpovídá dvěma stavovým proměnným v počátečním bodě). V tomto případě si vybereme $X$ (0)= $y$ (0)=1.

První krok

Prvním krokem, který již byl zmíněn výše, je nalezení vlastní čísla z A v

{displaystyle {egin {pmatrix} x ' y'end {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 3 & -4 4 & -7end {pmatrix}} {egin {pmatrix} x yend {pmatrix}} ~.}

The derivát notace X' atd. viděný v jednom z výše uvedených vektorů je známý jako Lagrangeova notace (poprvé představena Joseph Louis Lagrange. Je ekvivalentní derivační notaci dx / dt použitý v předchozí rovnici, známé jako Leibnizova notace, ctít jméno Gottfried Leibniz.)

Jednou koeficienty ze dvou proměnných bylo zapsáno do matice formulář A zobrazené výše, lze vyhodnotit vlastní čísla. Za tímto účelem jeden najde určující z matice který se vytvoří, když matice identity, ${displaystyle I_ {n} ,!}$ , vynásobený nějakou konstantou $λ$ , se odečte od výše uvedené matice koeficientu, čímž se získá charakteristický polynom z toho

{displaystyle det left ({egin {bmatrix} 3 & -4 4 & -7end {bmatrix}} - lambda {egin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1end {bmatrix}} ight) ~,}

a vyřešit jeho nuly.

Uplatňování dalšího zjednodušení a základních pravidel EU přidání matice výnosy

{displaystyle det {egin {bmatrix} 3-lambda & -4 4 & -7-lambda end {bmatrix}} ~.}

Použitím pravidel hledání determinantu jediné matice 2 × 2 se získá následující elementární kvadratická rovnice,

{displaystyle det {egin {bmatrix} 3-lambda & -4 4 & -7-lambda end {bmatrix}} = 0}

{displaystyle -21-3lambda + 7lambda + lambda ^ {2} + 16 = 0 ,!}

který může být dále snížen, aby se získala jednodušší verze výše uvedeného,

{displaystyle lambda ^ {2} + 4lambda -5 = 0 ~.}

Nyní nacházíme dva kořeny ${displaystyle lambda _ {1} ,!}$ a ${displaystyle lambda _ {2} ,!}$ daného kvadratická rovnice použitím faktorizace výnosy metody

{displaystyle lambda ^ {2} + 5lambda -lambda -5 = 0 ,!}

{displaystyle lambda (lambda +5) -1 (lambda +5) = 0 ,!}

{displaystyle (lambda -1) (lambda +5) = 0 ,!}

{displaystyle lambda = 1, -5 ~.}

Hodnoty ${displaystyle lambda _ {1} = 1 ,!}$ a ${displaystyle lambda _ {2} = - 5 ,!}$ , vypočtené výše jsou povinné vlastní čísla z AV některých případech, řekněme jiné maticové ODR, vlastní čísla možná komplex, v takovém případě se může dramaticky změnit následující krok procesu řešení, stejně jako konečná podoba a řešení.

Druhý krok

Jak bylo uvedeno výše, tento krok zahrnuje nalezení vlastní vektory z A z původně poskytnutých informací.

Pro každou z vlastní čísla počítáme, že máme jednotlivce vlastní vektor. Pro prvního vlastní číslo, který je ${displaystyle lambda _ {1} = 1 ,!}$ , my máme

{displaystyle {egin {pmatrix} 3 & -4 4 & -7end {pmatrix}} {egin {pmatrix} alpha eta end {pmatrix}} = 1 {egin {pmatrix} alpha eta end {pmatrix}}.}

Zjednodušení výše uvedeného výrazu použitím basic násobení matic výnosy pravidel

{displaystyle 3alpha -4 eta = alpha}

{displaystyle alpha = 2 eta ~.}

Všechny tyto výpočty byly provedeny pouze k získání posledního výrazu, kterým je v našem případě $α$ =2 $β$ . Nyní vezmeme nějakou libovolnou hodnotu, pravděpodobně malou nevýznamnou hodnotu, se kterou je mnohem jednodušší pracovat $α$ nebo $β$ (ve většině případů na tom nezáleží), dosadíme do $α$ =2 $β$ . Tímto způsobem vytvoříte jednoduchý vektor, který je požadovaným vlastním vektorem pro tuto konkrétní vlastní hodnotu. V našem případě vybereme $α$ = 2, což zase určuje $β$ = 1 a při použití standardu vektorová notace, náš vektor vypadá

{displaystyle mathbf {hat {v}} _ {1} = {egin {pmatrix} 2 1end {pmatrix}}.}

Provedení stejné operace pomocí druhé vlastní číslo jsme vypočítali, což je ${displaystyle,!, lambda = -5}$ , získáme náš druhý vlastní vektor. Proces vypracování tohoto vektor se nezobrazí, ale konečný výsledek je

{displaystyle mathbf {hat {v}} _ {2} = {egin {pmatrix} 1 2end {pmatrix}}.}

Třetí krok

Tento poslední krok ve skutečnosti najde požadované funkce, které jsou „skryty“ za deriváty dáno nám původně. Existují dvě funkce, protože naše diferenciální rovnice se zabývají dvěma proměnnými.

Rovnice, která zahrnuje všechny informace, které jsme dříve našli, má následující podobu:

{displaystyle {egin {pmatrix} x yend {pmatrix}} = Ae ^ {lambda _ {1} t} mathbf {hat {v}} _ {1} + Be ^ {lambda _ {2} t} mathbf {hat {v}} _ {2}.}

Nahrazení hodnot vlastní čísla a vlastní vektory výnosy

{displaystyle {egin {pmatrix} x yend {pmatrix}} = Ae ^ {t} {egin {pmatrix} 2 1end {pmatrix}} + Be ^ {- 5t} {egin {pmatrix} 1 2end {pmatrix} }.}

Další zjednodušení,

{displaystyle {egin {pmatrix} x yend {pmatrix}} = {egin {pmatrix} 2 & 1 1 & 2end {pmatrix}} {egin {pmatrix} Ae ^ {t} Be ^ {- 5t} end {pmatrix}}. }

Další zjednodušení a psaní rovnic pro funkce ${displaystyle x ,!}$ a ${displaystyle y ,!}$ odděleně,

{displaystyle x = 2Ae ^ {t} + Be ^ {- 5t} ,!}

{displaystyle y = Ae ^ {t} + 2Be ^ {- 5t}.,!}

Výše uvedené rovnice jsou ve skutečnosti hledané obecné funkce, ale jsou v jejich obecné formě (s nespecifikovanými hodnotami A a B), zatímco chceme skutečně najít jejich přesné formy a řešení. Nyní tedy uvažujeme dané počáteční podmínky problému (problém včetně daných počátečních podmínek je tzv problém počáteční hodnoty ). Předpokládejme, že jsme dostali ${displaystyle x (0) = y (0) = 1 ,!}$ , který hraje roli výchozího bodu pro naši obyčejnou diferenciální rovnici; aplikace těchto podmínek specifikuje konstanty, $A$ a $B$ . Jak vidíme z ${displaystyle x (0) = y (0) = 1 ,!}$ podmínky, kdy $t$ = 0, levá strana výše uvedených rovnic se rovná 1. Můžeme tedy zkonstruovat následující systém lineární rovnice,

{displaystyle 1 = 2A + B}

{displaystyle 1 = A + 2B ~.}

Při řešení těchto rovnic zjistíme, že obě konstanty $A$ a $B$ rovná 1/3. Proto dosazení těchto hodnot do obecného tvaru těchto dvou funkcí určuje jejich přesné formy,

{displaystyle x = {frac {2} {3}} e ^ {t} + {frac {1} {3}} e ^ {- 5t}}

{displaystyle y = {frac {1} {3}} e ^ {t} + {frac {2} {3}} e ^ {- 5t} ~,}

dvě hledané funkce.

Viz také

Reference

^ Moya-Cessa, H .; Soto-Eguibar, F. (2011). Diferenciální rovnice: operační přístup. New Jersey: Rinton Press. ISBN 978-1-58949-060-4.
^ Putzer, E. J. (1966). „Vyhýbání se kanonické formě Jordan v diskusi o lineárních systémech s konstantními koeficienty“. Americký matematický měsíčník. 73 (1): 2–7. doi:10.1080/00029890.1966.11970714. JSTOR 2313914.

[1] Moya-Cessa, H .; Soto-Eguibar, F. (2011). Diferenciální rovnice: operační přístup. New Jersey: Rinton Press. ISBN 978-1-58949-060-4.

[2] Putzer, E. J. (1966). „Vyhýbání se kanonické formě Jordan v diskusi o lineárních systémech s konstantními koeficienty“. Americký matematický měsíčník. 73 (1): 2–7. doi:10.1080/00029890.1966.11970714. JSTOR 2313914.

[1]

[2]