Perfektní skupina - Perfect group
v matematika, konkrétněji v oblasti abstraktní algebra známý jako teorie skupin, a skupina se říká, že je perfektní pokud se rovná jeho vlastní podskupina komutátoru, nebo ekvivalentně, pokud skupina nemá žádné netriviální abelian kvocienty (ekvivalentně jeho abelianizace, což je univerzální abelianský kvocient, je triviální). V symbolech je dokonalá skupina taková G(1) = G (podskupina komutátoru se rovná skupině) nebo ekvivalentně jedna taková Gab = {1} (jeho abelianizace je triviální).
Příklady
Nejmenší (netriviální) dokonalá skupina je střídavá skupina A5. Obecněji platí, že jakékoliabelian, jednoduchá skupina je perfektní, protože podskupina komutátoru je a normální podskupina s abelianovým kvocientem. Naopak dokonalá skupina nemusí být jednoduchá; například speciální lineární skupina přes pole s 5 prvky, SL (2,5) (nebo binární ikosaedrální skupina který je pro ni isomorfní) je dokonalý, ale ne jednoduchý (má netriviální centrum obsahující ).
The přímý produkt 2 libovolných jednoduchých skupin je perfektní, ale ne jednoduché; komutátor 2 prvků [(a, b), (c, d)] = ([a, c], [b, d]). Jelikož komutátory v každé jednoduché skupině tvoří generující sadu, tvoří páry komutátorů generující sadu přímého produktu.
Obecněji, a jednoduchá skupina (perfektní centrální prodloužení jednoduché skupiny), což je netriviální rozšíření (a tedy ne jednoduchá skupina sama o sobě), je perfektní, ale není jednoduché; to zahrnuje všechny nerozpustné jednoduché jednoduché konečné lineární skupiny SL (n,q) jako rozšíření projektivní speciální lineární skupina PSL (n,q) (SL (2,5) je rozšíření PSL (2,5), které je izomorfní s A5). Podobně je speciální lineární skupina nad reálnými a komplexními čísly dokonalá, ale obecná lineární skupina GL není nikdy dokonalá (kromě případů, kdy triviální nebo nad , kde se rovná speciální lineární skupině), jako určující dává netriviální abelianizaci a podskupina komutátorů je ve skutečnosti SL.
Netriviální dokonalá skupina však nutně není řešitelný; a 4 rozdělí jeho pořadí (je-li konečné), navíc, pokud 8 nerozdělí pořadí, pak 3.[1]
Každý acyklická skupina je perfektní, ale obrácení není pravdivé: A5 je perfektní, ale ne acyklický (ve skutečnosti ani superperfektní ), viz (Berrick & Hillman 2003 ). Ve skutečnosti pro střídavou skupinu je perfektní, ale ne superperfektní, s pro .
Žádný kvocient dokonalé skupiny je perfektní. Netriviální konečná dokonalá skupina, která není jednoduchá, musí být příponou alespoň jedné menší jednoduché neabelské skupiny. Může to však být rozšíření více než jedné jednoduché skupiny. Přímý produkt dokonalých skupin je ve skutečnosti také dokonalý.
Každá dokonalá skupina G určuje další dokonalou skupinu E (své univerzální centrální prodloužení ) spolu s surjection f: E → G jehož jádro je ve středu E,takhle F je univerzální s touto vlastností. Jádro F se nazývá Multiplikátor Schur z G protože to bylo poprvé studováno Issai Schur v roce 1904; je izomorfní se skupinou homologie .
V plus konstrukce z algebraická K-teorie, vezmeme-li v úvahu skupinu pro komutativní prsten , pak podskupina elementárních matic tvoří dokonalou podskupinu.
Rudná domněnka
Jako podskupina komutátorů generováno komutátory, dokonalá skupina může obsahovat prvky, které jsou produkty komutátorů, ale ne samy komutátory. Øystein Ore v roce 1951 dokázal, že střídavé skupiny na pěti nebo více prvcích obsahovaly pouze komutátory, a učinil domněnku, že tomu tak je u všech konečných neabelovských jednoduchých skupin. Oreova domněnka byla nakonec prokázána v roce 2008. Důkaz se opírá o věta o klasifikaci.[2]
Grünovo lemma
Základní fakt o dokonalých skupinách je Grünovo lemma z (Grün 1935, Satz 4,[poznámka 1] str. 3): kvocient dokonalé skupiny centrum je bez středů (má triviální střed).
Důkaz: Li G je dokonalá skupina, pojďme Z1 a Z2 označují první dva termíny horní centrální série z G (tj., Z1 je centrem města G, a Z2/Z1 je centrem města G/Z1). Li H a K. jsou podskupiny G, označují komutátor z H a K. od [H, K.] a všimněte si, že [Z1, G] = 1 a [Z2, G] ⊆ Z1, a následně (úmluva, že [X, Y, Z] = [[X, Y], Z]):
Podle lemma tří podskupin (nebo ekvivalentně, Hall-Wittova identita ), z toho vyplývá, že [G, Z2] = [[G, G], Z2] = [G, G, Z2] = {1}. Proto, Z2 ⊆ Z1 = Z(G) a střed skupiny kvocientů G ⁄ Z(G) je triviální skupina.
V důsledku toho vše vyšší centra (tj. vyšší pojmy v horní centrální série ) dokonalé skupiny rovnající se středu.
Skupinová homologie
Ve smyslu skupinová homologie, dokonalá skupina je přesně ta, jejíž první skupina homologie zmizí: H1(G, Z) = 0, protože první homologická skupina skupiny je přesně abelianizace skupiny a perfektní znamená triviální abelianizaci. Výhodou této definice je, že připouští posílení:
- A superperfektní skupina je ten, jehož první dvě homologické skupiny zmizí: .
- An acyklická skupina je jedna Všechno z nichž (redukovaná) skupina homologie zmizí (Toto je ekvivalentní všem skupinám homologie jiným než mizí.)
Kvazi perfektní skupina
Zejména v oblasti algebraická K-teorie, skupina se říká, že je kvazi-perfektní pokud je jeho podskupina komutátorů dokonalá; v symbolech je kvazi-dokonalá skupina taková G(1) = G(2) (komutátor podskupiny komutátorů je podskupina komutátorů), zatímco dokonalá skupina je taková, že G(1) = G (podskupina komutátorů je celá skupina). Viz (Karoubi 1973, str. 301–411) a (Inassaridze 1995, str. 76).
Poznámky
Reference
- ^ "odpověď". mathoverflow. 7. července 2015. Citováno 7. července 2015.
- ^ Liebeck, Martin; Shalev, Aner (2010). „Rudná domněnka“ (PDF). J. European Math. Soc. 12: 939–1008.
- Berrick, A. Jon; Hillman, Jonathan A. (2003), „Perfektní a acyklické podskupiny konečně prezentovatelných skupin“, Journal of the London Mathematical Society, Druhá série, 68 (3): 683–98, doi:10.1112 / s0024610703004587, PAN 2009444CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Grün, Otto (1935), „Beiträge zur Gruppentheorie. I.“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 174: 1–14, ISSN 0075-4102, Zbl 0012.34102CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Inassaridze, Hvedri (1995), Algebraická K-teorie, Matematika a její aplikace, 311, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-3185-8, PAN 1368402
- Karoubi, Max (1973), Périodicité de la K-théorie hermitienne, Hermitian K-Theory and Geometric Applications, Poznámky k přednášce v matematice., 343, Springer-VerlagCS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Rose, John S. (1994), Kurz teorie skupin, New York: Dover Publications, Inc., s. 61, ISBN 0-486-68194-7, PAN 1298629