Kvazinormální podskupina - Quasinormal subgroup
v matematika, v oblasti teorie skupin, a kvazinormální podskupinanebo permutovatelná podskupina, je podskupina a skupina že dojíždí (permuty) s každou další podskupinou s ohledem na produkt podskupin. Termín kvazinormální podskupina byl představen Øystein Ore v roce 1937.
Říká se, že dvě podskupiny permutují (nebo dojíždějí), pokud lze libovolný prvek z první podskupiny, krát prvek druhé podskupiny, zapsat jako prvek sekundární podskupiny, krát prvek první podskupiny. To znamená, a jako podskupiny se říká, že dojíždějí, pokud HK = KH, tj. jakýkoli prvek formuláře s a lze napsat ve formě kde a .
Každý normální podskupina je kvazinormální, protože normální podskupina dojíždí s každým prvkem skupiny. Opak není pravdivý. Například jakýkoli prodloužení cyklické -skupina jinou cyklickou -skupina pro stejné (liché) prvočíslo má vlastnost, že všechny jeho podskupiny jsou kvazinormální. Ne všechny jeho podskupiny však musí být normální.
Každá kvazinormální podskupina je modulární podskupina, tj. Modulární prvek v mřížka podskupin. To vyplývá z modulární vlastnost skupin. Pokud jsou všechny podskupiny kvazinormální, pak se skupina nazývá an Skupina Iwasawa —Někdy se také nazývá a modulární skupina,[1] ačkoli tento druhý termín má jiné významy.
V jakékoli skupině je každá kvazinormální podskupina stoupající.
A konjugovat permutovatelnou podskupinu je ten, který dojíždí se všemi svými konjugovanými podskupinami. Každá kvazinormální podskupina je konjugovaná permutovatelná.
V konečných skupinách
Každá kvazinormální podskupina a konečná skupina je podnormální podskupina. To vyplývá z poněkud silnějšího tvrzení, že každá konjugovaná permutovatelná podskupina je podnormální, což zase vyplývá z tvrzení, že každá maximální konjugovaná permutovatelná podskupina je normální. (V důkazech je zásadně použita konečnost.)
Stručně řečeno, podskupina H konečné skupiny G je v G kdyby a jen kdyby H je jak modulární, tak subnormálníG.[1][2]
PT skupiny
Permutabilita není tranzitivní vztah obecně. Skupiny, ve kterých je permutabilita přechodná, se analogicky s nazývají skupiny PT T-skupiny ve kterém je normálnost přechodná.[3]
Viz také
Reference
- ^ A b Adolfo Ballester-Bolinches; Ramon Esteban-Romero; Mohamed Asaad (2010). Produkty konečných skupin. Walter de Gruyter. str.24. ISBN 978-3-11-022061-2.
- ^ Schmidt, Roland (1994), Podskupinová mřížka skupin, Expozice v matematice, 14, Walter de Gruyter, str. 201, ISBN 978-3-11-011213-9
- ^ Adolfo Ballester-Bolinches; Ramon Esteban-Romero; Mohamed Asaad (2010). Produkty konečných skupin. Walter de Gruyter. str.52. ISBN 978-3-11-022061-2.
- Stewart E. Stonehewer, „Staré, nedávné a nové výsledky u kvazinormálních podskupin“, Irish Math. Soc. Bulletin 56 (2005), 125–133
- Tuval Foguel, „Konjugátem propustné podskupiny“, Journal of Algebra 191, 235-239 (1997)