Binární ikosaedrální skupina - Binary icosahedral group

v matematika, binární ikosaedrální skupina 2Já nebo ⟨2,3,5⟩ je jisté neabelská skupina z objednat 120. Je to rozšíření z ikosahedrální skupina Já nebo (2, 3, 5) řádu 60 u cyklická skupina řádu 2 a je preimage ikosahedrální skupiny v poměru 2: 1 pokrývající homomorfismus

${ displaystyle operatorname {Spin} (3) to operatorname {SO} (3) ,}$

z speciální ortogonální skupina podle spinová skupina. Z toho vyplývá, že binární ikosahedrální skupina je a diskrétní podskupina roztočení (3) objednávky 120.

To by nemělo být zaměňováno s plná ikosaedrální skupina, což je odlišná skupina řádu 120 a je spíše podskupinou skupiny ortogonální skupina O (3).

Binární ikosaedrální skupina je nejsnadněji popsána konkrétně jako diskrétní podskupina jednotky čtveřice pod izomorfismem ${ displaystyle operatorname {Spin} (3) cong operatorname {Sp} (1)}$ kde Sp (1) je multiplikativní skupina čtverců jednotek. (Popis tohoto homomorfismu viz článek na čtveřice a prostorové rotace.)

Elementy

120 čtvercových prvků viděných ve 12násobné projekci. Jsou zadány základní objednávky: 1,2,3,4,5,6,10

Explicitně je binární dvacetistěnová skupina uvedena jako unie 24 Jednotky Hurwitz

${ displaystyle { pm 1, pm já, pm j, pm k, ( pm 1 pm i pm j pm k) / 2 }}$

se všemi 96 čtveřicemi získanými z

${ displaystyle (0 pm i pm varphi ^ {- 1} j pm varphi k) / 2}$

podle dokonce permutace ze všech čtyř souřadnic 0, 1, φ⁻¹, φa se všemi možnými kombinacemi znaků. Tady φ = (1 + √5) / 2 je Zlatý řez.

Celkově existuje 120 prvků, konkrétně jednotka icosians. Všechny mají jednotkovou velikost, a proto leží ve skupině čtveřice jednotek Sp (1).

120 prvků ve 4-dimenzionálním prostoru odpovídá 120 vrcholům 600 buněk, a běžný 4-mnohostěn.

Vlastnosti

Centrální prodloužení

Binární ikosaedrální skupina, označená 2Já, je univerzální perfektní centrální prodloužení ikosahedrální skupiny, a tak je jednoduchý: je to perfektní centrální rozšíření jednoduché skupiny.^{[Citace je zapotřebí ]}

Výslovně to zapadá do krátká přesná sekvence

${ displaystyle 1 až { pm 1 } až 2I až I až 1. ,}$

Tato posloupnost není rozdělit, což znamená, že 2Já je ne A polopřímý produkt z {± 1} od Já. Ve skutečnosti neexistuje žádná podskupina 2Já izomorfní s Já.

The centrum ze dne 2Já je podskupina {± 1}, takže skupina vnitřního automorfismu je izomorfní s Já. Plný automorfická skupina je izomorfní s S₅ (dále jen symetrická skupina 5 písmen), stejně jako pro ${ displaystyle I cong A_ {5}}$ - jakýkoli automorfismus 2Já opravuje netriviální prvek středu (${ displaystyle -1}$), tedy sestupuje k automorfismu z Já, a naopak jakýkoli automorfismus z Já výtahy na automorfismus 2Já, od zvedání generátorů Já jsou generátory 2Já (různé výtahy dávají stejný automorfismus).

Superperfektní

Binární ikosaedrální skupina je perfektní, což znamená, že se rovná jeho podskupina komutátoru. Ve skutečnosti 2Já je jedinečná dokonalá skupina objednávky 120. Z toho vyplývá, že 2Já není řešitelný.

Dále je to binární ikosahedrální skupina superperfektní, což abstraktně znamená, že jeho první dva skupinová homologie skupiny zmizí: ${ displaystyle H_ {1} (2I; mathbf {Z}) cong H_ {2} (2I; mathbf {Z}) cong 0.}$ Konkrétně to znamená, že jeho abelianizace je triviální (nemá žádné netriviální abelianské kvocienty) a její Multiplikátor Schur je triviální (nemá žádné netriviální dokonalé centrální rozšíření). Ve skutečnosti je binární ikosahedrická skupina nejmenší (netriviální) superperfektní skupina.^{[Citace je zapotřebí ]}

Binární ikosaedrální skupina není acyklický, nicméně, jak H_n(2Já,Z) je cyklický řádu 120 pro n = 4k+3 a triviální pro n > 0 jinak, (Adem & Milgram 1994, str. 279).

Izomorfismy

Konkrétně je binární ikosahedrální skupina podskupinou Spinu (3) a zahrnuje ikosahedrickou skupinu, která je podskupinou SO (3). Abstraktně je ikosahedrická skupina izomorfní k symetriím 4simplexní, což je podskupina SO (4), a binární ikosaedrální skupina je izomorfní s dvojitým krytem tohoto v Spinu (4). Všimněte si, že symetrická skupina ${ displaystyle S_ {5}}$ dělá mají 4-dimenzionální reprezentaci (její obvyklá neredukovatelná nejnižší dimenzionální reprezentace jako plná symetrie ${ displaystyle (n-1)}$-simplex), a že úplná symetrie 4-simplexu je tedy ${ displaystyle S_ {5},}$ ne úplná ikosaedrální skupina (jedná se o dvě různé skupiny řádu 120).^{[Citace je zapotřebí ]}

Binární ikosahedrální skupinu lze považovat za dvojité krytí střídavé skupiny ${ displaystyle A_ {5},}$ označeno ${ displaystyle 2 cdot A_ {5} cong 2I;}$ tento izomorfismus pokrývá izomorfismus ikosahedrální skupiny se střídavou skupinou ${ displaystyle A_ {5} cong I,}$.Stejně jako ${ displaystyle I}$ je samostatná podskupina ${ displaystyle mathrm {SO} (3)}$, ${ displaystyle 2I}$ je diskrétní podskupina dvojnásobku ${ displaystyle mathrm {SO} (3)}$, jmenovitě ${ displaystyle mathrm {točit} (3) cong mathrm {SU} (2)}$. Homomorfismus 2-1 z ${ displaystyle mathrm {točit} (3)}$ na ${ displaystyle mathrm {SO} (3)}$ pak se omezuje na 2-1 homomorfismus z ${ displaystyle 2I}$ na ${ displaystyle I}$. Podobně,${ displaystyle S_ {5}}$ je samostatná podskupina ${ displaystyle O (3)}$a jeho dvě dvojité kryty jsou diskrétní podskupiny těchto dvou Připnout skupiny ${ displaystyle mathrm {Pin} ^ { pm} (3)}$.^{[Citace je zapotřebí ]}

Lze ukázat, že binární ikosaedrální skupina je isomorfní s speciální lineární skupina SL (2,5) - skupina všech matic 2 × 2 nad konečné pole F₅ s jednotkovým determinantem; toto pokrývá výjimečný izomorfismus z ${ displaystyle I cong A_ {5}}$ s projektivní speciální lineární skupina PSL (2,5).

Všimněte si také výjimečného izomorfismu ${ displaystyle PGL (2,5) cong S_ {5},}$ což je jiná skupina řádu 120, přičemž komutativní čtverec SL, GL, PSL, PGL je izomorfní s komutativním čtvercem ${ displaystyle 2 cdot A_ {5}, 2 cdot S_ {5}, A_ {5}, S_ {5},}$ které jsou izomorfní s podskupinami komutativního čtverce Spin (4), Pin (4), SO (4), O (4).

Prezentace

Skupina 2Já má prezentace dána

${ displaystyle langle r, s, t mid r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {5} = první rangle}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle langle s, t mid (st) ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {5} rangle.}$

Generátory s těmito vztahy jsou dány

${ displaystyle s = { tfrac {1} {2}} (1 + i + j + k) qquad t = { tfrac {1} {2}} ( varphi + varphi ^ {- 1} i + j).}$

Podskupiny

Binární podskupiny ikosahedrální skupiny:
* binární čtyřboká skupina: 2T = ⟨2,3,3⟩
* 3 binární dihedrální skupiny: ⟨2,2,5⟩, ⟨2,2,3⟩, ⟨2,2,2⟩
* 3 binární cyklické skupiny: ⟨5⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩
* 3 cyklické skupiny: (5), (3), (2)
* 1 triviální skupina: ( )

Jediný správný normální podskupina ze dne 2Já je střed {± 1}.

Podle třetí věta o izomorfismu, tady je Galoisovo spojení mezi podskupinami 2Já a podskupiny Já, Kde operátor uzavření v podskupinách po 2Já je násobení o {± 1}.

${ displaystyle -1}$ je jediným prvkem řádu 2, proto je obsažen ve všech podskupinách sudého řádu: tedy každá podskupina 2Já je buď lichého řádu, nebo je předobrazem podskupiny Já.

kromě cyklické skupiny generované různými prvky (které mohou mít liché pořadí), jediné další podskupiny 2Já (až do konjugace) jsou:^[1]

• binární dihedrální skupiny, Dic₅= Q20 = ,22,2,5⟩, objednávka 20 a Dic₃= Q12 = ,22,2,3⟩ objednávky 12
• The čtveřice skupina, Q8 = ,22,2,2⟩, skládající se z 8 Jednotky Lipschitz tvoří podskupinu index 15, což je také dicyklická skupina Dic₂; to zakrývá stabilizátor hrany.
• 24. den Jednotky Hurwitz tvoří podskupinu indexu 5 nazvanou binární čtyřboká skupina; to pokrývá chirál čtyřboká skupina. Tato skupina je samo-normalizující Takže to je třída konjugace má 5 členů (to dává mapu ${ displaystyle 2I to S_ {5}}$ jehož obraz je ${ displaystyle A_ {5}}$).

Vztah k 4-dimenzionálním skupinám symetrie

4-dimenzionální analog ikosahedrální skupina symetrie Já_h je skupina symetrie 600 buněk (také to jeho duální, 120 buněk ). Stejně jako první je Skupina coxeterů typu H₃, druhá je Coxeterova skupina typu H₄, také označeno [3,3,5]. Jeho rotační podskupina, označená [3,3,5]⁺ je skupina řádu 7200 žijících v SO (4). SO (4) má a dvojitý kryt volala Spin (4) stejně jako Spin (3) je dvojitý obal SO (3). Podobně jako u izomorfismu Spin (3) = Sp (1) je skupina Spin (4) izomorfní s Sp (1) × Sp (1).

Předobraz [3,3,5]⁺ in Spin (4) (čtyřrozměrný analog 2Já) je přesně skupina produktů 2Já × 2Já řádu 14400. Rotační symetrická skupina 600 buněk je tedy

[3,3,5]⁺ = ( 2Já × 2Já ) / { ±1 }.

Různé další 4-dimenzionální skupiny symetrie mohou být vytvořeny z 2Já. Podrobnosti viz (Conway a Smith, 2003).

Aplikace

The cosetový prostor Točení (3) / 2Já = S³ / 2Já je kulové 3-potrubí P zavolal Poincarého homologie koule. Je to příklad a sféra homologie, tj. 3-potrubí, jehož homologické skupiny jsou totožné s těmi a 3 koule. The základní skupina Poincarého koule je izomorfní s binární ikosahedrickou skupinou, protože Poincarého koule je kvocient 3-sféry binární ikosahedrální skupinou.

Toto je jediná sféra trojrozměrné homologie, jejíž základní skupina je konečná. To může být postaveno z pevného dodecahedron identifikací protilehlých pětiúhelníků s 2π / 10 twist (ve stejném smyslu). Z tohoto důvodu je toto potrubí někdy označováno jako Poincaré dodekahedrální prostor.50.234.60.130 (mluvit ) 21:30, 5. prosince 2020 (UTC)

Viz také

• binární polyedrická skupina
• binární cyklická skupina, ⟨n⟩, Objednávka 2n
• binární dihedrální skupina, ⟨2,2,n⟩, Objednávka 4n
• binární čtyřboká skupina, 2T = ⟨2,3,3⟩, objednávka 24
• binární oktaedrická skupina, 2O = ⟨2,3,4⟩, objednávka 48

Reference

Poznámky