Uspořádání hyperplánů - Arrangement of hyperplanes - Wikipedia

v geometrie a kombinatorika, an uspořádání hyperplánů je dohoda konečné množiny A z hyperplanes v lineární, afinní nebo projektivní prostor S. Otázky ohledně uspořádání nadroviny A obecně se týkají geometrických, topologických nebo jiných vlastností doplněk, M(A), což je sada, která zůstane, když jsou hyperplany odstraněny z celého prostoru. Lze se zeptat, jak tyto vlastnosti souvisejí s uspořádáním a jeho průsečíkem pololattice průsečík semilattice z A, psaný L(A), je množina všech podprostory které se získají protínáním některých z hyperplánů; mezi těmito podprostory jsou S sám, všechny jednotlivé hyperplány, všechny průsečíky párů hyperplánů atd. (s výjimkou, v afinním případě, prázdné množiny). Tyto křižovatkové podprostory z A se také nazývají byty A. Průsečík semilattice L(A) je částečně seřazeno podle obrácené zařazení.

Pokud celý prostor S je 2-dimenzionální, hyperplany jsou řádky; takové uspořádání se často nazývá uspořádání řádků. Historicky byla prvními zkoumanými uspořádáními skutečná uspořádání linek. Li S je trojrozměrný, jeden má uspořádání letadel.

Uspořádání nadroviny ve vesmíru

Obecná teorie

Průsečík semilattice a matroid

Průsečík semilattice L(A) je setkávací semilattice a konkrétněji je geometrická semilattice. Pokud je uspořádání lineární nebo projektivní, nebo je-li průsečík všech hyperplánů neprázdný, je průsečíková mřížka geometrická mříž (To je důvod, proč musí být semilattice uspořádána obrácenou inkluzí - spíše než inkluzí, která by se mohla zdát přirozenější, ale nepřinesla by geometrickou (semi) mřížku.)

Když L(A) je mřížka, matroid z A, psaný M(A), má A pro svou základní sadu a má hodnostní funkci r(S): = codim (Já), kde S je libovolná podmnožina A a Já je průsečík hyperplánů v S. Obecně, když L(A) je semilattice, existuje analogická struktura podobná matroidu, která se nazývá a semimatroid, což je zobecnění matroidu (a má stejný vztah k průsečíkové semilattice jako matroid k mřížce v případě mřížky), ale není matroidem, pokud L(A) není mříž.

Polynomy

Pro podmnožinu B z Adefinujme F(B): = průsečík hyperplánů v B; tohle je S -li B je prázdný. The charakteristický polynom z A, psaný str_A(y), lze definovat pomocí

{ displaystyle p_ {A} (y): = součet _ {B} (- 1) ^ {| B |} y ^ { dim f (B)},}

součet všech podskupin B z A kromě v afinním případě podmnožiny, jejichž průsečík je prázdný. (Dimenze prázdné množiny je definována jako −1.) Tento polynom pomáhá vyřešit některé základní otázky; viz níže. Další polynom spojený s A je Polynom čísla Whitneyova čísla w_A(X, y), definován

{ displaystyle w_ {A} (x, y): = součet _ {B} x ^ {n- dim f (B)} součet _ {C} (- 1) ^ {| CB |} y ^ { dim f (C)},}

shrnuto B ⊆ C ⊆ A takhle F(B) je neprázdné.

Být geometrickou mřížkou nebo semilattice, L(A) má charakteristický polynom, str_L(A)(y), který má rozsáhlou teorii (viz matroid ). Je tedy dobré to vědět str_A(y) = yⁱ str_L(A)(y), kde i je nejmenší rozměr jakéhokoli bytu, kromě toho, že v projektivním případě se rovná y^{i + 1}str_L(A)(y). Polynom čísla Whitneyova čísla A je podobně příbuzný jako u L(A). (Prázdná množina je vyloučena ze semilattice v afinním případě konkrétně, aby tyto vztahy byly platné.)

Orlik – Solomonova algebra

Průsečná semilattice určuje další kombinatorický invariant uspořádání, Orlik – Solomonova algebra. Chcete-li jej definovat, opravte komutativní podřetězec K. základního pole a tvoří vnější algebru E vektorového prostoru

{ displaystyle bigoplus _ {H v A} Ke_ {H}}

generované hyperplany řetězový komplex struktura je definována na E s obvyklým hraničním operátorem ${ displaystyle částečné}$ . Orlik – Solomonova algebra je potom kvocientem E podle ideál generované prvky formuláře ${ displaystyle e_ {H_ {1}} klín cdots klín e_ {H_ {p}}}$ pro který ${ displaystyle H_ {1}, tečky, H_ {p}}$ mít prázdný průnik a hranicemi prvků stejné formy, pro které ${ displaystyle H_ {1} cap cdots cap H_ {p}}$ má kodimenzionální méně než str.

Skutečné dohody

v nemovitý afinní prostor, komplement je odpojen: je tvořen samostatnými tzv buňky nebo regionech nebo komory, z nichž každý je buď ohraničená oblast, která je a konvexní polytop, nebo neomezená oblast, která je konvexní mnohostěnný oblast, která jde do nekonečna. Každý byt A je také rozdělen na kousky hyperplany, které neobsahují plochý; tyto kousky se nazývají tváře z A. Oblasti jsou tváře, protože celý prostor je plochý. Tváře codimension 1 lze nazvat fazety z A. The obličejová semilattice uspořádání je množina všech tváří seřazených podle zařazení. Přidání dalšího horního prvku do poloviční mřížky obličeje dává obličejová mříž.

Ve dvou dimenzích (tj. Ve skutečné afinitě letadlo ) každá oblast je konvexní polygon (pokud je ohraničená) nebo konvexní polygonální oblast, která přechází do nekonečna.

Například pokud sestava sestává ze tří rovnoběžných čar, skládá se průsečná semilattice z roviny a tří přímek, ale nikoli z prázdné množiny. Existují čtyři regiony, žádný z nich není ohraničený.
Pokud k tomu přidáme přímku protínající tři rovnoběžky, pak se průsečíková semilattice skládá z roviny, čtyř přímek a tří průsečíků. Existuje osm regionů, stále žádný z nich neomezuje.
Přidáme-li ještě jeden řádek, rovnoběžný s posledním, pak existuje 12 oblastí, z nichž jsou dvě ohraničené rovnoběžníky.

Typické problémy s uspořádáním v n-dimenzionální skutečný prostor znamená říci, kolik regionů existuje, nebo kolik tváří dimenze 4, nebo kolik ohraničených oblastí. Na tyto otázky lze odpovědět pouze z průsečíku semilattice. Například dvě základní věty, Zaslavsky (1975), spočívají v tom, že počet oblastí afinního uspořádání je roven (-1)ⁿstr_A(-1) a počet ohraničených oblastí se rovná (-1)ⁿstr_A(1). Podobně počet k-dimenzionální plochy nebo ohraničené plochy lze odečíst jako koeficient X^n−k v (-1)ⁿ w_A (−X, -1) nebo (-1)ⁿw_A(−X, 1).

Meiser (1993) navrhl rychlý algoritmus k určení tváře uspořádání hyperplánů obsahujících vstupní bod.

Další otázkou ohledně uspořádání v reálném prostoru je rozhodnout, kolik je regionů jednoduchosti (dále jen n-dimenzionální zobecnění trojúhelníky a čtyřstěn ). Na to nelze odpovědět pouze na základě průsečíku semilattice. The McMullenův problém požaduje nejmenší uspořádání dané dimenze v obecné poloze v skutečný projektivní prostor pro které neexistuje buňka, které se dotknou všechny hyperplány.

Skutečné lineární uspořádání má kromě své čelní semilattice, a poset regionů, pro každý region jiný. Tato poseta je vytvořena výběrem libovolné základní oblasti, B₀a sdružování s každou oblastí R sada S(R) sestávající z hyperplánů, které se oddělují R z B. Regiony jsou částečně uspořádány tak, aby R₁ ≥ R₂ -li S(R₁, R) obsahuje S(R₂, R). Ve zvláštním případě, kdy hyperplany vznikají z a kořenový systém, výsledný poset je odpovídající Weylova skupina se slabým Bruhatovým řádem. Obecně platí, že poset regionů je zařadil počtem oddělovacích hyperplánů a jeho Möbiova funkce byl vypočítán (Edelman 1984 ).

Vadim Schechtman a Alexander Varchenko představil matici indexovanou podle regionů. Maticový prvek pro oblast ${ displaystyle R_ {i}}$ a ${ displaystyle R_ {j}}$ je dán součinem neurčitých proměnných ${ displaystyle a_ {H}}$ pro každou nadrovinu H, která odděluje tyto dvě oblasti. Pokud se tyto proměnné specializují na všechny hodnoty q, pak se tomu říká matice q (přes euklidovskou doménu) ${ displaystyle mathbb {Q} [q]}$ ) pro ujednání a mnoho informací obsahuje Smith normální forma.

Složitá opatření

v komplex afinní prostor (který je obtížné vizualizovat, protože i složitá afinní rovina má čtyři skutečné rozměry), doplněk je spojen (celý jeden kus) s otvory, kde byly odstraněny hyperplány.

Typickým problémem uspořádání v komplexním prostoru je popsat díry.

Základní teorém o složitých uspořádáních je, že kohomologie doplňku M(A) je zcela určen průsečíkem semilattice. Abych byl přesný, cohomologický prsten z M(A) (s celočíselnými koeficienty) je izomorfní k algebře Orlik – Solomon Z.

Izomorfismus lze popsat explicitně a představuje prezentaci kohomologie z hlediska generátorů a vztahů, kde jsou generátory zastoupeny (v de Rhamova kohomologie ) jako logaritmický diferenciální formy

{ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} { frac {d alpha} { alpha}}.}

s ${ displaystyle alpha}$ jakákoli lineární forma definující obecnou nadrovinu uspořádání.

Technické záležitosti

Někdy je vhodné povolit zdegenerovaná nadrovina, což je celý prostor S, patřit k dohodě. Li A obsahuje zdegenerovanou nadrovinu, potom nemá žádné oblasti, protože doplněk je prázdný. Stále však má byty, průsečíkovou polopříhradu a tváře. Předchozí diskuse předpokládá, že degenerovaná nadrovina není v uspořádání.

Někdy někdo chce povolit opakované hyperplány v uspořádání. V předchozí diskusi jsme tuto možnost neuvažovali, ale nezáleží na tom.

Viz také

Reference

"Uspořádání hyperplánů", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Edelman, Paul H. (1984), „Částečný řád v regionech ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ rozřezán hyperplany ", Transakce Americké matematické společnosti, 283 (2): 617–631, doi:10.2307/1999150, JSTOR 1999150, PAN 0737888.
Meiser, Stefan (1993), „Umístění bodu v uspořádání hyperplánů“, Informace a výpočet, 106 (2): 286–303, doi:10.1006 / inco.1993.1057, PAN 1241314.
Orlik, Peter; Terao, Hiroaki (1992), Uspořádání hyperplánůGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 300, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-02772-1, PAN 1217488.
Stanley, Richard (2011). „3.11 Uspořádání nadroviny“. Enumerativní kombinatorika. 1 (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 1107602629.
Zaslavsky, Thomas (1975), „Tváří v tvář uspořádání: vzorce počítání tváří pro dělení prostoru hyperplany“, Monografie Americké matematické společnosti„Providence, R.I .: Americká matematická společnost (Č. 154), doi:10.1090 / poznámka / 0154, PAN 0357135.