Gausss pokračující zlomek - Gausss continued fraction - Wikipedia

v komplexní analýza, Gaussova pokračující část je zvláštní třída pokračující zlomky odvozený od hypergeometrické funkce. Byl to jeden z prvních analytických zlomků známých matematice a lze jej použít k vyjádření několika důležitých základní funkce, stejně jako některé z těch složitějších transcendentální funkce.

Dějiny

Lambert publikoval několik příkladů pokračujících zlomků v této podobě v roce 1768 a oba Euler a Lagrange zkoumány podobné stavby,^[1] ale bylo Carl Friedrich Gauss kteří využili algebru popsanou v následující části k odvození obecné podoby této pokračující frakce v roce 1813.^[2]

Ačkoli Gauss dal podobu této pokračující frakce, nedal důkaz o jejích konvergenčních vlastnostech. Bernhard Riemann^[3] a L.W. Thomé^[4] získal dílčí výsledky, ale konečné slovo o oblasti, ve které se tento pokračující zlomek sblíží, dostal až 1901, autor Edward Burr Van Vleck.^[5]

Derivace

Nechat ${ displaystyle f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}, dots}$ být posloupností analytických funkcí tak, aby

${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} , z , f_ {i + 1}}$

pro všechny ${ displaystyle i> 0}$, kde každý ${ displaystyle k_ {i}}$ je konstanta.

Pak

${ displaystyle { frac {f_ {i-1}} {f_ {i}}} = 1 + k_ {i} z { frac {f_ {i + 1}} {f_ {i}}}, { text {a tak}} { frac {f_ {i}} {f_ {i-1}}} = { frac {1} {1 + k_ {i} z { frac {f_ {i + 1}} {f_ {i}}}}}}$

Nastavení ${ displaystyle g_ {i} = f_ {i} / f_ {i-1},}$

${ displaystyle g_ {i} = { frac {1} {1 + k_ {i} zg_ {i + 1}}},}$

Tak

${ displaystyle g_ {1} = { frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = { cfrac {1} {1 + k_ {1} zg_ {2}}} = { cfrac {1 } {1 + { cfrac {k_ {1} z} {1 + k_ {2} zg_ {3}}}}} = = cfrac {1} {1 + { cfrac {k_ {1} z} { 1 + { cfrac {k_ {2} z} {1 + k_ {3} zg_ {4}}}}}}}} = cdots. }$

Opakováním tohoto ad infinitum vytvoříte pokračující zlomkový výraz

${ displaystyle { frac {f_ {1}} {f_ {0}}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {k_ {1} z} {1 + { cfrac {k_ {2} z} {1 + { cfrac {k_ {3} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}$

V Gaussově pokračujícím zlomku jsou funkce ${ displaystyle f_ {i}}$ jsou hypergeometrické funkce formuláře ${ displaystyle {} _ {0} F_ {1}}$, ${ displaystyle {} _ {1} F_ {1}}$, a ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$a rovnice ${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$ vznikají jako identity mezi funkcemi, kde se parametry liší o celočíselné hodnoty. Tyto identity lze prokázat několika způsoby, například rozšířením řady a porovnáním koeficientů nebo převzetím derivace několika způsoby a jejím odstraněním z generovaných rovnic.

Série ₀F₁

Nejjednodušší případ zahrnuje

${ displaystyle , _ {0} F_ {1} (a; z) = 1 + { frac {1} {a , 1!}} z + { frac {1} {a (a + 1) , 2!}} Z ^ {2} + { frac {1} {a (a + 1) (a + 2) , 3!}} Z ^ {3} + cdots.}$

Počínaje identitou

${ displaystyle , _ {0} F_ {1} (a-1; z) - , _ {0} F_ {1} (a; z) = { frac {z} {a (a-1) }} , _ {0} F_ {1} (a + 1; z),}$

můžeme vzít

${ displaystyle f_ {i} = {} _ {0} F_ {1} (a + i; z), , k_ {i} = { tfrac {1} {(a + i) (a + i- 1)}},}$

dávat

${ displaystyle { frac {, _ {0} F_ {1} (a + 1; z)} {, _ {0} F_ {1} (a; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {1} {a (a + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {1} {(a + 1) (a + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {1} {(a + 2) (a + 3)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}$

nebo

${ displaystyle { frac {, _ {0} F_ {1} (a + 1; z)} {a , _ {0} F_ {1} (a; z)}} = { cfrac {1 } {a + { cfrac {z} {(a + 1) + { cfrac {z} {(a + 2) + { cfrac {z} {(a + 3) + {} ddots}}}} }}}}.}$

Tato expanze konverguje k meromorfní funkci definované poměrem dvou konvergentních řad (samozřejmě za předpokladu, že A není ani nula, ani záporné celé číslo).

Série ₁F₁

Další případ zahrnuje

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = 1 + { frac {a} {b , 1!}} z + { frac {a (a + 1)} { b (b + 1) , 2!}} z ^ {2} + { frac {a (a + 1) (a + 2)} {b (b + 1) (b + 2) , 3! }} z ^ {3} + cdots}$

pro které jsou dvě identity

${ displaystyle , _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - , _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = { frac {(a- b + 1) z} {b (b-1)}} , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

${ displaystyle , _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - , _ {1} F_ {1} (a; b; z) = { frac {az} {b ( b-1)}} , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

se používají střídavě.

Nechat

${ displaystyle f_ {0} (z) = , _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

${ displaystyle f_ {1} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z),}$

${ displaystyle f_ {2} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 2; z),}$

${ displaystyle f_ {3} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 3; z),}$

${ displaystyle f_ {4} (z) = , _ {1} F_ {1} (a + 2; b + 4; z),}$

atd.

To dává ${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$ kde ${ displaystyle k_ {1} = { tfrac {ab} {b (b + 1)}}, k_ {2} = { tfrac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} , k_ {3} = { tfrac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}}, k_ {4} = { tfrac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}}}$, produkující

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {{} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {ab} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 1} {(b + 1 ) (b + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab-1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 2} {(b + 3) (b + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}$

nebo

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)} {b {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {b + { cfrac {(ab) z} {(b + 1) + { cfrac {(a + 1) z} {(b + 2) + { cfrac {(ab- 1) z} {(b + 3) + { cfrac {(a + 2) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}$

Podobně

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {{}} {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {a} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab-1} {(b + 1) ( b + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {ab -2} {(b + 3) (b + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}$

nebo

${ displaystyle { frac {{} _ {1} F_ {1} (a; b + 1; z)} {b {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}} = { cfrac {1} {b + { cfrac {az} {(b + 1) + { cfrac {(ab-1) z} {(b + 2) + { cfrac {(a + 1) z} { (b + 3) + { cfrac {(ab-2) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Od té doby ${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (0; b; z) = 1}$nastavení A na 0 a nahrazení b + 1 s b v první pokračující frakci dává zjednodušený speciální případ:

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (1; b; z) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-z} {b + { cfrac {z} {(b + 1 ) + { cfrac {-bz} {(b + 2) + { cfrac {2z} {(b + 3) + { cfrac {- (b + 1) z} {(b + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}}}$

Série ₂F₁

Poslední případ zahrnuje

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = 1 + { frac {ab} {c , 1!}} z + { frac {a (a + 1) b (b + 1)} {c (c + 1) , 2!}} z ^ {2} + { frac {a (a + 1) (a + 2) b (b + 1) (b + 2)} {c (c + 1) (c + 2) , 3!}} Z ^ {3} + cdots. ,}$

Opět se střídavě používají dvě identity.

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - , _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = { frac {(a-c + 1) bz} {c (c-1)}} , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z),}$

${ displaystyle , _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - , _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = { frac {(b-c + 1) az} {c (c-1)}} , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z).}$

Jedná se v zásadě o stejnou identitu A a b zaměnit.

Nechat

${ displaystyle f_ {0} (z) = , _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

${ displaystyle f_ {1} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z),}$

${ displaystyle f_ {2} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 2; z),}$

${ displaystyle f_ {3} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 1; c + 3; z),}$

${ displaystyle f_ {4} (z) = , _ {2} F_ {1} (a + 2, b + 2; c + 4; z),}$

atd.

To dává ${ displaystyle f_ {i-1} -f_ {i} = k_ {i} zf_ {i + 1}}$ kde ${ displaystyle k_ {1} = { tfrac {(ac) b} {c (c + 1)}}, k_ {2} = { tfrac {(bc-1) (a + 1)} {(c +1) (c + 2)}}, k_ {3} = { tfrac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}}, k_ {4} = { tfrac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}}}$, produkující

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {{ frac {(ac) b} {c (c + 1)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc -1) (a + 1)} {(c + 1) (c + 2)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(ac-1) (b + 1)} {(c + 2) (c + 3)}} z} {1 + { cfrac {{ frac {(bc-2) (a + 2)} {(c + 3) (c + 4)}} z} {1 + {} ddots}}}}}}}}}}$

nebo

${ displaystyle { frac {{} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c + 1; z)} {c {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}} = { cfrac {1} {c + { cfrac {(ac) bz} {(c + 1) + { cfrac {(bc-1) (a + 1) z} {(c + 2 ) + { cfrac {(ac-1) (b + 1) z} {(c + 3) + { cfrac {(bc-2) (a + 2) z} {(c + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}$

Od té doby ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (0, b; c; z) = 1}$nastavení A na 0 a nahrazení C + 1 s C dává zjednodušený speciální případ pokračujícího zlomku:

${ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (1, b; c; z) = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-bz} {c + { cfrac {(bc) z} {(c + 1) + { cfrac {-c (b + 1) z} {(c + 2) + { cfrac {2 (bc-1) z} {(c + 3) + { cfrac { - (c + 1) (b + 2) z} {(c + 4) + {} ddots}}}}}}}}}}}}$

Vlastnosti konvergence

V této části jsou vyloučeny případy, kdy jeden nebo více parametrů je záporné celé číslo, protože v těchto případech jsou hypergeometrické řady nedefinované nebo že se jedná o polynomy, takže je ukončen pokračující zlomek. Rovněž jsou vyloučeny další triviální výjimky.

V případech ${ displaystyle {} _ {0} F_ {1}}$ a ${ displaystyle {} _ {1} F_ {1}}$, řady se sbíhají všude, takže zlomek na levé straně je a meromorfní funkce. Pokračující zlomky na pravé straně budou rovnoměrně konvergovat na jakékoli uzavřené a ohraničené množině, která neobsahuje číslo póly této funkce.^[6]

V případě ${ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$, poloměr konvergence řady je 1 a zlomek na levé straně je meromorfní funkce v tomto kruhu. Pokračující zlomky na pravé straně budou konvergovat k funkci všude v tomto kruhu.

Mimo kruh představuje pokračující zlomek analytické pokračování funkce do komplexní roviny s kladnou skutečnou osou, od +1 do bodu v nekonečnu odstraněn. Většinou +1 je odbočný bod a přímka z +1 do kladného nekonečna je odbočka větve pro tuto funkci. Pokračující zlomek konverguje k meromorfní funkci v této doméně a rovnoměrně konverguje u jakékoli uzavřené a ohraničené podmnožiny této domény, která neobsahuje žádné póly.^[7]

Aplikace

Série ₀F₁

My máme

${ displaystyle cosh (z) = , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {1} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}),}$

${ displaystyle sinh (z) = z , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {3} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}}),}$

tak

${ displaystyle tanh (z) = { frac {z , _ {0} F_ {1} ({ tfrac {3} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}} )} {, _ {0} F_ {1} ({ tfrac {1} {2}}; { tfrac {z ^ {2}} {4}})}}} = { cfrac {z / 2 } {{ tfrac {1} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {3} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {5} {2}} + { cfrac { tfrac {z ^ {2}} {4}} {{ tfrac {7} {2}} + {} ddots}}}}}}}}} = { cfrac {z} {1 + { cfrac {z ^ {2}} {3 + { cfrac {z ^ {2}} {5 + { cfrac {z ^ {2}} {7 + {} ddots}}}}}}}}}$

Tato konkrétní expanze je známá jako Lambertův pokračující zlomek a sahá až do roku 1768.^[8]

Z toho snadno vyplývá

${ displaystyle tan (z) = { cfrac {z} {1 - { cfrac {z ^ {2}} {3 - { cfrac {z ^ {2}} {5 - { cfrac {z ^ {2}} {7 - {} ddots}}}}}}}}.}$

Expanze tanh může být použita k prokázání toho Eⁿ je iracionální pro každé celé číslo n (což bohužel nestačí k prokázání toho E je transcendentální ). Expanzi opálení využili Lambert i Legendre na dokázat, že π je iracionální.

The Besselova funkce ${ displaystyle J _ { nu}}$ lze psát

${ displaystyle J _ { nu} (z) = { frac {({ tfrac {1} {2}} z) ^ { nu}} { Gamma ( nu +1)}}}, { 0} F_ {1} ( nu +1; - { frac {z ^ {2}} {4}}),}$

ze kterého to vyplývá

${ displaystyle { frac {J _ { nu} (z)} {J _ { nu -1} (z)}} = { cfrac {z} {2 nu - { cfrac {z ^ {2} } {2 ( nu +1) - { cfrac {z ^ {2}} {2 ( nu +2) - { cfrac {z ^ {2}} {2 ( nu +3) - {} ddots}}}}}}}}.}$

Tyto vzorce platí také pro každý komplex z.

Série ₁F₁

Od té doby ${ displaystyle e ^ {z} = {} _ {1} F_ {1} (1; 1; z)}$, ${ displaystyle 1 / e ^ {z} = e ^ {- z}}$

${ displaystyle e ^ {z} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-z} {1 + { cfrac {z} {2 + { cfrac {-z} {3 + { cfrac {2z} {4 + { cfrac {-2z} {5 + {} ddots}}}}}}}}}}}}$

${ displaystyle e ^ {z} = 1 + { cfrac {z} {1 + { cfrac {-z} {2 + { cfrac {z} {3 + { cfrac {-2z} {4+ { cfrac {2z} {5 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

S určitou manipulací to lze použít k prokázání jednoduché pokračující zlomkové reprezentaceE,

${ displaystyle e = 2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} { 4 + {} ddots}}}}}}}}}}}$

The chybová funkce ERF (z), dána

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt ,}$

lze také vypočítat z hlediska Kummerovy hypergeometrické funkce:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} , _ {1} F_ {1} (1; { scriptstyle { frac {3} {2}}}; z ^ {2}).}$

Použitím pokračujícího zlomku Gauss, užitečné rozšíření platné pro každé komplexní číslo z lze získat:^[9]

${ displaystyle { frac { sqrt { pi}} {2}} e ^ {z ^ {2}} operatorname {erf} (z) = { cfrac {z} {1 - { cfrac {z ^ {2}} {{ frac {3} {2}} + { cfrac {z ^ {2}} {{ frac {5} {2}} - { cfrac {{ frac {3} { 2}} z ^ {2}} {{ frac {7} {2}} + { cfrac {2z ^ {2}} {{ frac {9} {2}} - { cfrac {{ frac {5} {2}} z ^ {2}} {{ frac {11} {2}} + { cfrac {3z ^ {2}} {{ frac {13} {2}} - { cfrac {{ frac {7} {2}} z ^ {2}} {{ frac {15} {2}} + - ddots}}}}}}}}}}}}}}}}$

Podobný argument lze odvodit pro pokračující rozšiřování zlomků pro Fresnelovy integrály, pro Dawsonova funkce a pro neúplná funkce gama. Jednodušší verze argumentu přináší dvě užitečné pokračující zlomky rozšíření exponenciální funkce.^[10]

Série ₂F₁

Z

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} = {} _ {1} F_ {0} (b ;; z) = , _ {2} F_ {1} (1, b; 1; z) ,}$

${ displaystyle (1-z) ^ {- b} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {-bz} {1 + { cfrac {(b-1) z} {2 + { cfrac {- (b + 1) z} {3 + { cfrac {2 (b-2) z} {4 + {} ddots}}}}}}}}}}$

Je snadné ukázat, že Taylorova řada se rozšířila o arktanz v sousedství nuly je dán vztahem

${ displaystyle arctan z = zF ({ scriptstyle { frac {1} {2}}}, 1; { scriptstyle { frac {3} {2}}}; - z ^ {2}).}$

Na tuto identitu lze použít pokračující zlomek Gauss, čímž se získá expanze

${ displaystyle arctan z = { cfrac {z} {1 + { cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + { cfrac {(2z) ^ {2}} {5 + { cfrac { (3z) ^ {2}} {7 + { cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ ddots}}}}}}}}}}}$

který konverguje k hlavní větvi funkce inverzní tangenty na řezané komplexní rovině, přičemž řez probíhá podél imaginární osy z i do bodu v nekonečnu a od -i do bodu v nekonečnu.^[11]

Tato konkrétní pokračující část konverguje poměrně rychle, když z = 1, což dává hodnotu π / 4 na sedm desetinných míst devátým konvergentem. Odpovídající série

${ displaystyle { frac { pi} {4}} = { cfrac {1} {1 + { cfrac {1 ^ {2}} {2 + { cfrac {3 ^ {2}} {2+ { cfrac {5 ^ {2}} {2+ ddots}}}}}}}} = 1 - { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} pm cdots}$

konverguje mnohem pomaleji, k získání přesnosti na sedm desetinných míst je zapotřebí více než milion termínů.^[12]

Varianty tohoto argumentu lze použít k vytvoření pokračujících zlomkových expanzí pro přirozený logaritmus, arcsin funkce a zobecněná binomická řada.

Poznámky

Reference

• Jones, William B .; Thron, W. J. (1980). Pokračující zlomky: Teorie a aplikace. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. str.198–214. ISBN  0-201-13510-8.
• Wall, H. S. (1973). Analytická teorie pokračujících zlomků. Nakladatelská společnost Chelsea. str. 335–361. ISBN  0-8284-0207-8.
  (Toto je dotisk svazku původně publikovaného společností D. Van Nostrand Company, Inc., v roce 1948.)
• Weisstein, Eric W. „Gaussova pokračující frakce“. MathWorld.