Zonální sférická funkce - Zonal spherical function

v matematika, a zonální sférická funkce nebo často jen sférická funkce je funkce na a lokálně kompaktní skupina G s kompaktní podskupinou K. (často a maximální kompaktní podskupina ), který vzniká jako maticový koeficient a K.-invariantní vektor v an neredukovatelné zastoupení z G. Klíčovými příklady jsou maticové koeficienty sférická hlavní řada, neredukovatelné reprezentace objevující se při rozkladu jednotkové zastoupení z G na L²(G/K.). V tomto případě komutant z G je generován algebrou biinvariantních funkcí na G s ohledem na K. jednající právem konvoluce. to je komutativní pokud navíc G/K. je symetrický prostor, například když G je spojená polojediná Lieova skupina s konečným středem a K. je maximální kompaktní podskupina. Maticové koeficienty sférické hlavní řady přesně popisují spektrum odpovídajícíchC * algebra generované biinvariantními funkcemi kompaktní podpora, často nazývaný a Hecke algebra. Spektrum komutativní Banachovy -algebry biinvariantu L¹ funkce je větší; když G je polojediná Lieova skupina s maximální kompaktní podskupinou K., další znaky pocházejí z maticových koeficientů souboru doplňková série, získané analytickým pokračováním sférické hlavní řady.

Zonální sférické funkce byly explicitně určeny pro skutečné polojednodušé skupiny pomocí Harish-Chandra. Pro speciální lineární skupiny, byly nezávisle objeveny Izrael Gelfand a Mark Naimark. U složitých skupin se teorie výrazně zjednodušuje, protože G je komplexifikace z K.a vzorce souvisejí s analytickými pokračováními Weylův vzorec znaků na K.. Abstrakt funkční analytické Teorie zonálních sférických funkcí byla poprvé vyvinuta Roger Godement. Kromě jejich skupinové teoretické interpretace fungují zónové sférické funkce pro polojedinou Lieovu skupinu G také poskytnout sadu simultánních vlastní funkce pro přirozené působení středu univerzální obalová algebra z G na L²(G/K.), tak jako diferenciální operátory na symetrickém prostoru G/K.. Jednoduše p-adic Ležové skupiny, teorie zonálních sférických funkcí a Heckeovy algebry byly poprvé vyvinuty Satake a Ian G. Macdonald. Analogy Plancherelův teorém a Fourierův inverzní vzorec v tomto nastavení zobecnit rozšíření vlastních funkcí Mehlera, Weyla a Focka pro singulární obyčejné diferenciální rovnice: byly získány v plné obecnosti v 60. letech, pokud jde o Harish-Chandra je c-funkce.

Název „zonální sférická funkce“ pochází z případu, kdy G je SO (3,R) působící na 2 sféry a K. je podskupina upevňující bod: v tomto případě lze zonální sférické funkce považovat za určité funkce na kouli invariantní při rotaci kolem pevné osy.

Definice

Nechat G být místně kompaktní unimodulární topologická skupina a K. A kompaktní podskupina a nechte H₁ = L²(G/K.). Tím pádem H₁ připouští a jednotkové zastoupení π z G levým překladem. Toto je subreprezentace regulárního zastoupení, protože pokud H= L²(G) vlevo a vpravo pravidelné reprezentace λ a ρ z G a P je ortogonální projekce

${displaystyle P = int _ {K} ho (k), dk}$

z H na H₁ pak H₁ lze přirozeně identifikovat s PH s akcí G dané omezením λ.

Na druhou stranu tím, že von Neumannova komutační věta^[1]

${displaystyle lambda (G) ^ {prime} = ho (G) ^ {prime prime},}$

kde S ' označuje komutant sady operátorů S, aby

${displaystyle pi (G) ^ {prime} = Pho (G) ^ {prime prime} P.}$

Komutant π je tedy generován jako a von Neumannova algebra operátory

${displaystyle Pho (f) P = int _ {G} f (g) (Pho (g) P), dg}$

kde F je nepřetržitá funkce kompaktní podpory na G.^[A]

nicméně Pρ (F) P je jen omezení ρ (F) až H₁, kde

${displaystyle F (g) = int _ {K} int _ {K} f (kgk ^ {prime}), dk, dk ^ {prime}}$

je K.-biinvariantní kontinuální funkce kompaktní podpory získané zprůměrováním F podle K. na obou stranách.

Komutant π je tedy generován omezením operátorů ρ (F) s F vC_C(K.G/K.), K.-binově variabilní spojité funkce kompaktní podpory na G.

Tyto funkce tvoří a * algebra pod konvoluce s involucí

${displaystyle F ^ {*} (g) = {overline {F (g ^ {- 1})}},}$

často nazývaný Hecke algebra pro pár (G, K.).

Nechat A(K.G/K.) označují C * algebra generované operátory ρ (F) zapnuto H₁.

Dvojice (G, K.) se říká, že je Gelfandův pár^[2] pokud jedna, a tedy všechny následující algebry jsou komutativní:

• ${displaystyle pi (G) ^ {prime}}$
• ${displaystyle C_ {c} (K ackslash G / K)}$
• ${displaystyle A (K ackslash G / K).}$

Od té doby A(K.G/K.) je komutativní C * algebra tím, že Věta Gelfand – Naimark má formu C₀(X),kde X je lokálně kompaktní prostor normy spojitý * homomorfismy z A(K.G/K.) do C.

Konkrétní realizace * homomorfismů v X tak jako K.-binový variant jednotně ohraničený funkce zapnuty G se získá následujícím způsobem.^{[2][3][4][5][6]}

Kvůli odhadu

${displaystyle | pi (F) | leq int _ {G} | F (g) |, dgequiv | F | _ {1},}$

reprezentace π z C_C(K.G/K.) v A(K.G/K.) se rozšiřuje o kontinuitu do L¹(K.G/K.), * algebra z K.-bininvariantní integrovatelné funkce. Obraz tvoří hustou * subalgebru A(K.G/K.). Omezení * homomorfismu χ spojité pro operátorskou normu je také spojité pro normu || · ||₁. Protože Banachův prostor dual z L.¹ je L^∞,z toho vyplývá, že

${displaystyle chi (pi (F)) = int _ {G} F (g) h (g), dg,}$

pro některé jedinečné jednotně ohraničené K.-biinvariantní funkce h na G. Tyto funkce h jsou přesně zonální sférické funkce pro pár (G, K.).

Vlastnosti

Zonální sférická funkce h má následující vlastnosti:^[2]

1. h je rovnoměrně spojitá G
2. ${displaystyle h (x) h (y) = int _ {K} h (xky), dk ,, (x, jin G).}$
3. h(1) = 1 (normalizace)
4. h je pozitivní určitá funkce na G
5. F * h je úměrná h pro všechny F v C_C(K.G/K.).

To jsou snadné důsledky skutečnosti, že ohraničená lineární funkce χ definovaná pomocí h je homomorfismus. Vlastnosti 2, 3 a 4 nebo vlastnosti 3, 4 a 5 charakterizují zonální sférické funkce. Obecnější třídu zonálních sférických funkcí lze získat vypuštěním pozitivní definitivity z podmínek, ale pro tyto funkce již neexistuje žádné spojení s unitární reprezentace. U polojednoduchých Lieových skupin existuje další charakterizace jako vlastní funkceinvariantní diferenciální operátory na G/K. (viz. níže).

Ve skutečnosti, jako zvláštní případ Stavba Gelfand – Naimark – Segal existuje vzájemná korespondence mezi neredukovatelnými reprezentacemi σ z G s jednotkovým vektorem proti stanoveno K. a zonální sférické funkceh dána

${displaystyle h (g) = (sigma (g) v, v).}$

Takové neredukovatelné reprezentace jsou často popisovány jako mající třída jedna. Jsou to přesně neredukovatelné reprezentace potřebné k rozložení indukovaná reprezentace π zapnuto H₁. Každá reprezentace σ se jednoznačně rozšiřuje o kontinuitu A(K.G/K.), takže každá zónová sférická funkce vyhovuje

${displaystyle left | int _ {G} f (g) h (g), dgight | leq | pi (f) |}$

pro F v A(K.G/K.). Navíc, protože komutant π (G) 'je komutativní, v prostoru * homomorfismů existuje jedinečná míra pravděpodobnosti μ X takhle

${displaystyle int _ {G} | f (g) | ^ {2}, dg = int _ {X} | chi (pi (f)) | ^ {2}, dmu (chi).}$

μ se nazývá Plancherelův rozměr. Protože π (G)' je centrum von Neumannovy algebry generované G, uvádí také opatření související s přímý integrál rozklad H₁ pokud jde o neredukovatelné reprezentace σ_χ.

Gelfandové páry

Li G je připojeno Lež skupina, pak díky práci Cartan, Malcev, Iwasawa a Chevalley, G má maximální kompaktní podskupina, jedinečné až po konjugaci.^[7][8] V tomto případě K. je připojen a kvocient G/K. je difeomorfní s euklidovským prostorem. Když G je navíc polojednoduchý, to lze vidět přímo pomocí Rozklad kartanu spojené s symetrický prostor G/K., zobecnění polární rozklad invertibilních matic. Ve skutečnosti, pokud τ je asociované období dva automatorfismus G s podskupinou s pevným bodem K., pak

${displaystyle G = Pcdot K,}$

kde

${displaystyle P = {gin G | au (g) ​​= g ^ {- 1}}.}$

Pod exponenciální mapa, P je difeomorfní s -1 vlastním prostorem τ v Lež algebra z GProtože τ zachovává K., indukuje automorfismus Heckeovy algebry C_C(K.G/K.). Na druhé straně, pokud F leží v C_C(K.G/K.), pak

F(τG) = F(G⁻¹),

takže τ indukuje anti-automorfismus, protože inverze ano. Proto, když G je polojednoduchý,

• Heckeova algebra je komutativní
• (G,K.) je pár Gelfandů.

Obecněji stejný argument dává následující Gelfandovo kritérium pro (G,K.) být pár Gelfand:^[9]

• G je nemodulární lokálně kompaktní skupina;
• K. je kompaktní podskupina vznikající jako pevné body období dvou automorfismů τ z G;
• G =K.·P (nemusí nutně být přímým produktem), kde P je definována výše.

Dva nejdůležitější příklady, kterých se to týká, jsou:

• G je kompaktní propojená polojediná Lieova skupina s τ období dva automorfismus;^[10][11]
• G je polopřímý produkt ${displaystyle Atimes K}$, s A lokálně kompaktní Abelianova skupina bez 2-torze a τ (A· k)= k·A⁻¹ pro A v A a k v K..

Tyto tři případy zahrnují tři typy symetrické prostory G/K.:^[5]

1. Nekompaktní typ, když K. je maximální kompaktní podskupina nekompaktní reálné polojednoduché Lieovy skupiny G;
2. Kompaktní typ, když K. je podskupina s pevným bodem druhého období automorfismu kompaktní polojednodušé Lieovy skupiny G;
3. Euklidovský typ, když A je konečně-dimenzionální euklidovský prostor s ortogonálním působením K..

Věta o Cartan-Helgasonovi

Nechat G být kompaktní polojednotkou spojenou a jednoduše spojenou Lieovou skupinou a τ obdobím dvou automorfismem a G s podskupinou s pevným bodem K. = G^τ. V tomto případě K. je propojená kompaktní Lieova skupina.^[5] Kromě toho nechte T být maximální torus z G invariantní pod τ, takové, že T ${displaystyle cap}$ P je maximální torus v Pa nastavit^[12]

${displaystyle S = Kcap T = T ^ {au}.}$

S je přímým produktem torusu a základní abelianská 2 skupina.

V roce 1929 Élie Cartan našel pravidlo určující rozklad L²(G/K.) do přímého součtu konečných rozměrů neredukovatelné reprezentace z G, což bylo důsledně prokázáno až v roce 1970 Sigurdur Helgason. Protože komutant G na L²(G/K.) je komutativní, každá neredukovatelná reprezentace se objevuje s multiplicitou. Podle Frobeniova vzájemnost pro kompaktní skupiny neredukovatelné reprezentace PROTI vyskytují se právě ti, kteří připouštějí nenulový vektor fixovaný pomocí K..

Z teorie reprezentace kompaktních polojediných skupin, neredukovatelné reprezentace G jsou klasifikovány podle jejich nejvyšší váha. To je specifikováno homomorfismem maximálního torusu T do T.

The Věta o Cartan-Helgasonovi^[13][14] tvrdí, že

neredukovatelné reprezentace G připuštění nenulového vektoru opraveného K. jsou přesně ty s nejvyššími hmotnostmi, které odpovídají homomorfismům, které jsou triviální S.

Jsou vyvolány odpovídající neredukovatelné reprezentace sférické reprezentace.

Věta může být prokázána^[5] za použití Iwasawa rozklad:

${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {k}} oplus {mathfrak {a}} oplus {mathfrak {n}},}$

kde ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, ${displaystyle {mathfrak {k}}}$, ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ jsou složitosti Lež algebry z G, K., A = T ${displaystyle cap}$ P a

${displaystyle {mathfrak {n}} = igoplus {mathfrak {g}} _ {alpha},}$

sečteno přes všechny vlastní prostory pro T v ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ souhlasí s pozitivní kořeny α není stanoveno τ.

Nechat PROTI být sférické vyjádření s vektorem nejvyšší hmotnosti proti₀ a K.-fixovaný vektor proti_K.. Od té doby proti₀ je vlastní vektor řešitelné Lieovy algebry ${displaystyle {mathfrak {a}} oplus {mathfrak {p}}}$, Poincaré – Birkhoff – Wittova věta znamená, že K.-modul generovaný proti₀ je celá PROTI. Li Q je ortogonální projekce na pevné body K. v PROTI získáno zprůměrováním G s ohledem na Haarovo opatření, z toho vyplývá, že

${displaystyle displaystyle {v_ {K} = cQv_ {0}}}$

pro nějakou nenulovou konstantu C. Protože proti_K. je opraven S a proti₀ je vlastní vektor pro S, podskupina S musí skutečně opravit proti₀, ekvivalentní forma podmínky triviality dne S.

Naopak pokud proti₀ je opraven S, pak to může být zobrazeno^[15] že maticový koeficient

${displaystyle displaystyle {f (g) = (gv_ {0}, v_ {0})}}$

není negativní na K.. Od té doby F(1)> 0, z toho vyplývá, že (Kvv₀, proti₀)> 0 a tudíž to Kvv₀ je nenulový vektor fixovaný K..

Harish-Chandra vzorec

Li G je nekompaktní polojednoduchá Lieova skupina, její maximální kompaktní podskupina K. působí konjugací na komponentu P v Rozklad kartanu. Li A je maximální abelianská podskupina G obsaženo v P, pak A je difeomorfní s jeho Lieovou algebrou pod exponenciální mapa a jako další zobecnění z polární rozklad matic, každý prvek P je konjugován pod K. na prvek A, aby^[16]

G =KAK.

Existuje také přidružený Iwasawa rozklad

G =KAN,

kde N je uzavřená nilpotentní podskupina, difeomorfní ke své Lieově algebře pod exponenciální mapou a normalizovaná A. Tím pádemS=AN je uzavřený řešitelná podskupina z G, polopřímý produkt z N podle A, a G = KS.

Pokud α v Hom (A,T) je charakter z A, pak α se rozšíří na znak Stím, že definuje, že je triviální N. Existuje odpovídající unitární indukovaná reprezentace σ z G na L²(G/S) = L²(K.),^[17] tzv (sférická) reprezentace hlavní řady.

Toto znázornění lze popsat explicitně následovně. Na rozdíl od G a K., řešitelná Lieova skupina S není unimodulární. Nechat dx označit levou invariantní Haarovu míru zapnuto S a Δ_S the modulární funkce z S. Pak^[5]

${displaystyle int _ {G} f (g), dg = int _ {S} int _ {K} f (xcdot k), dx, dk = int _ {S} int _ {K} f (kcdot x) Delta _ {S} (x), dx, dk.}$

Reprezentace hlavní řady σ je realizována na L²(K.) tak jako^[18]

${displaystyle (sigma (g) xi) (k) = alpha ^ {prime} (g ^ {- 1} k) ^ {- 1}, xi (U (g ^ {- 1} k)),}$

kde

${displaystyle g = U (g) cdot X (g)}$

je Iwasawův rozklad G s U(G) v K. a X(G) v S a

${displaystyle alpha ^ {prime} (kx) = Delta _ {S} (x) ^ {1/2} alfa (x)}$

pro k v K. a X v S.

Reprezentace σ je neredukovatelná, takže pokud proti označuje konstantní funkci 1 zapnuto K., opraveno K.,

${displaystyle varphi _ {alpha} (g) = (sigma (g) v, v)}$

definuje zonální sférickou funkci G.

Výpočet vnitřního produktu výše vede k Harish-Chandra vzorec pro zonální sférickou funkci

${displaystyle varphi _ {alpha} (g) = int _ {K} alpha ^ {prime} (gk) ^ {- 1}, dk}$

jako integrál přes K..

Harish-Chandra dokázal, že tyto zonální sférické funkce vyčerpávají charaktery C * algebra generované C_C(K. G / K.) jednající pravou konvolucí dne L²(G / K.). Ukázal také, že dva různé znaky α a β poskytují stejnou zónovou sférickou funkci právě tehdy, když α = β ·s, kde s je v Weylova skupina z A

${displaystyle W (A) = N_ {K} (A) / C_ {K} (A),}$

kvocient z normalizátor z A v K. podle jeho centralizátor, a skupina konečné reflexe.

Lze jej také ověřit přímo^[2] že tento vzorec definuje zonální sférickou funkci bez použití teorie reprezentace. Důkaz pro obecnou polojednotku Lieových skupin, že každý zonální sférický vzorec vzniká tímto způsobem, vyžaduje podrobné studium G-invariantní diferenciální operátory na G/K. a jejich simultánní vlastní funkce (viz. níže).^[4][5] V případě složitých polojednodušých skupin Harish-Chandra a Felix Berezin samostatně si uvědomil, že vzorec se značně zjednodušil a mohl být prokázán příměji.^{[5][19][20][21][22]}

Zbývající kladně-definitivní zonální sférické funkce jsou dány Harish-Chandrovým vzorcem s α v Hom (A,C*) místo Hom (A,T). Jsou povolena pouze určitá α a odpovídající ireduciblereprezentace vznikají jako analytické pokračování sférické hlavní řady. Tento tzv.doplňková série „poprvé studoval Bargmann (1947) pro G = SL (2,R) a Harish-Chandra (1947) a Gelfand a Naimark (1947) pro G = SL (2,CNásledně v 60. letech byla zahájena výstavba a doplňková série analytickým pokračováním sférické hlavní řady byl systematicky vyvíjen pro obecné polojednodušé Lieovy skupiny Ray Kunze, Elias Stein a Bertram Kostant.^[23][24][25] Protože tyto neredukovatelné reprezentace nejsou temperovaný, pro harmonickou analýzu se obvykle nevyžadují G (nebo G / K.).

Vlastní funkce

Harish-Chandra se ukázala^[4][5] že zonální sférické funkce lze charakterizovat jako ty normalizované pozitivní konečné K.-invariantní funkce zapnuty G/K. to jsou vlastní funkce D(G/K.), algebra invariantních diferenciálních operátorů na G. Tato algebra působí G/K. a dojíždí s přirozeným působením G levým překladem. Lze jej identifikovat pomocí subalgebry univerzální obalová algebra z G pevná pod adjunkční akce z K.. Pokud jde o komutanta z G na L²(G/K.) a odpovídající Heckeova algebra, tato algebra operátorů je komutativní; ve skutečnosti je to subalgebra algebra měřitelných operátorů přidružený k komutantu π (G) ', Abelian von Neumann algebra. Jak dokázal Harish-Chandra, je izomorfní s algebrou Ž(A) -invariantní polynomy na Lieově algebře A, což je samo o sobě polynomiální kruh podle Chevalley – Shephard – Toddova věta na polynomiálních invariantech z skupiny konečné reflexe. Nejjednodušší invariantní diferenciální operátor zapnutý G/K. je Laplaciánský operátor; až do znaménka je tento operátor pouze obrazem pod π znaku Provozovatel kasimíru ve středu univerzální obklopující algebry G.

Takto normalizovaný pozitivní určitý K.-biinvariantní funkce F na G je zonální sférická funkce právě tehdy, když pro každou D v D(G/K.) existuje konstanta λ_D takhle

${displaystyle displaystyle pi (D) f = lambda _ {D} f,}$

tj. F je simultánní vlastní funkce operátorů π (D).

Pokud je ψ zonální sférická funkce, pak je považována za funkci na G/K., je to vlastní funkce Laplacianthere, an eliptický diferenciální operátor s skutečné analytické koeficienty. Podle analytická eliptická pravidelnost, ψ je skutečná analytická funkce G/K., a tedy G.

Harish-Chandra použil tato fakta o struktuře invariantních operátorů, aby dokázal, že jeho vzorec dával všechny zonální sférické funkce pro skutečné polojednoduché Lieovy skupiny.^[26][27][28] Komutativita komutantu ve skutečnosti znamená, že všechny současné eigenspaces algebry invariantních diferenciálních operátorů mají dimenzi jedna; a polynomická struktura této algebry nutí současné vlastní čísla přesně k těm, které jsou již spojeny s Harish-Chandrovým vzorcem.

Příklad: SL (2, C)

Skupina G = SL (2,C) je komplexifikace z kompaktní Lieova skupina K. = SU (2) a dvojitý kryt z Skupina Lorentz. Nekonečno-dimenzionální reprezentace skupiny Lorentz byly nejprve studovány Dirac v roce 1945, který zvažoval diskrétní řada reprezentace, které nazval expansory. Systematická studie byla krátce nato zpracována Harish-Chandrou, Gelfandem-Naimarkem a Bargmannem. Neredukovatelné reprezentace třídy jedna, odpovídající zonálním sférickým funkcím, lze snadno určit pomocí radiální složky Laplaciánský operátor.^[5]

Ve skutečnosti jakýkoli unimodulární komplex 2 × 2 matice G připouští jedinečný polární rozklad G = pv s proti unitární a p pozitivní. Na oplátkup = uau*, s u unitární a A diagonální matice s kladnými položkami. Tím pádem G = uaw s w = u* proti, takže jakýkoli K.-biinvariantní funkce zapnuta G odpovídá funkci diagonální matice

${displaystyle a = {egin {pmatrix} e ^ {r / 2} & 0 0 & e ^ {- r / 2} konec {pmatrix}},}$

invariant pod Weylovou skupinou. Identifikace G/K. s hyperbolickým 3-prostorem odpovídají zonální hyperbolické funkce ψ radiálním funkcím, které jsou vlastními funkcemi Laplacianu. Ale z hlediska radiální souřadnice r, Laplacian je dán^[29]

${displaystyle L = -partial _ {r} ^ {2} -2coth rpartial _ {r}.}$

Nastavení F(r) = sinh (r) · Ψ (r), z toho vyplývá, že F je lichá funkce z r a vlastní funkce z ${displaystyle částečné _ {r} ^ {2}}$.

Proto

${displaystyle varphi (r) = {sin (ell r) over ell sinh r}}$

kde ${displaystyle ell}$ je skutečný.

Podobné základní zacházení existuje zobecněné Lorentzovy skupiny TAK(N, 1) v Takahashi (1963) a Faraut & Korányi (1994) (vzpomeňte si na to SO⁰(3,1) = SL (2,C) / ± I).

Složitý případ

Li G je komplexní polojediná Lieova skupina, je to komplexifikace jeho maximální kompaktní podskupiny K.. Li ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ a ${displaystyle {mathfrak {k}}}$ jsou tedy jejich Lieovy algebry

${displaystyle {mathfrak {g}} = {mathfrak {k}} oplus i {mathfrak {k}}.}$

Nechat T být maximální torus v K. s Lieovou algebrou ${displaystyle {mathfrak {t}}}$. Pak

${displaystyle A = exp i {mathfrak {t}} ,,, P = exp i {mathfrak {k}}.}$

Nechat

${displaystyle W = N_ {K} (T) / T}$

být Weylova skupina z T v K.. Vyvolání znaků v Hom (T,T) se nazývají závaží a lze jej identifikovat s prvky váhová mřížka Λ inHom (${displaystyle {mathfrak {t}}}$, R) = ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$. Na vahách je přirozené uspořádání a každá konečně-dimenzionální neredukovatelná reprezentace (π, PROTI) z K. má jedinečnou nejvyšší hmotnost λ. Váhy adjunkční reprezentace z K. na ${displaystyle {mathfrak {k}} ominus {mathfrak {t}}}$ se nazývají kořeny a ρ se používá k označení poloviny součtu pozitivní kořeny α, Weylův charakterový vzorec tvrdí, že pro z = exp X v T

${displaystyle displaystyle chi _ {lambda} (e ^ {X}) equiv {m {Tr}}, pi (z) = A_ {lambda + ho} (e ^ {X}) / A_ {ho} (e ^ { X}),}$

kde, pro μ in ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$, A_μ označuje antisymetrizaci

${displaystyle displaystyle A_ {mu} (e ^ {X}) = součet _ {sin W} varepsilon (s) e ^ {imu (sX)},}$

a ε označuje znak znak z skupina konečné reflexe Ž.

Weylovy vzorce jmenovatele vyjadřuje jmenovatele A_ρ jako produkt:

${displaystyle displaystyle A_ {ho} (e ^ {X}) = e ^ {iho (X)} prod _ {alpha> 0} (1-e ^ {- ialpha (X)}),}$

kde je produkt nad pozitivními kořeny.

Weylova dimenze tvrdí to

${displaystyle displaystyle chi _ {lambda} (1) equiv {m {dim}}, V = {prod _ {alpha> 0} (lambda + ho, alpha) over prod _ {alpha> 0} (ho, alpha)} .}$

Kde vnitřní produkt na ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$ je to spojené s Formulář zabíjení na ${displaystyle {mathfrak {k}}}$.

Nyní

• každé neredukovatelné zastoupení K. holomorfně rozšiřuje až ke komplexizaci G
• každý neredukovatelný znak χ_λ(k) z K. rozšiřuje holomorfně až ke komplexizaci K. a ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$.
• pro každé λ v Hom (A,T) = ${displaystyle i {mathfrak {t}} ^ {*}}$, existuje zónová sférická funkce φ_λ.

The Berezin – Hariš – Chandra vzorec^[5] tvrdí, že pro X v ${displaystyle i {mathfrak {t}}}$

${displaystyle varphi _ {lambda} (e ^ {X}) = {chi _ {lambda} (e ^ {X}) over chi _ {lambda} (1)}.}$

Jinými slovy:

• zonální sférické funkce na komplexní polojednodušé Lieově skupině jsou dány analytickým pokračováním vzorce pro normalizované znaky.

Jeden z nejjednodušších důkazů^[30] tohoto vzorce zahrnuje radiální složka na A Laplaciana dne G, důkaz formálně paralelní s Helgasonovým přepracováním Freudenthal klasický důkaz o Weylův vzorec znaků, pomocí radiální komponenty na T Laplaciana dne K..^[31]

V druhém případě třídní funkce na K. lze identifikovat pomocí Ž-invariantní funkce zapnuty T. Terapeutická složka Δ_K. na T je pouze výrazem pro omezení Δ_K. na Ž-invariantní funkce zapnuty T, kde je to dáno vzorcem

${displaystyle displaystyle Delta _ {K} = h ^ {- 1} kruh Delta _ {T} kruh h + | ho | ^ {2},}$

kde

${displaystyle displaystyle h (e ^ {X}) = A_ {ho} (e ^ {X})}$

pro X v ${displaystyle {mathfrak {t}}}$. Pokud χ je znak s nejvyšší váhou λ, vyplývá z toho, že φ = h· Χ vyhovuje

${displaystyle Delta _ {T} varphi = (| lambda + ho | ^ {2} - | ho | ^ {2}) varphi.}$

Tedy pro každou hmotnost μ s nenulovou hodnotou Fourierův koeficient v φ,

${displaystyle displaystyle | lambda + ho | ^ {2} = | mu + ho | ^ {2}.}$

Klasický Freudenthalův argument ukazuje, že μ + ρ musí mít tvar s(λ + ρ) pro některé s v Ž, takže znakový vzorec vyplývá z antisymetrie φ.

Podobně K.-biinvariantní funkce zapnuta G lze identifikovat pomocí Ž(A) -invariantní funkce zapnuty A. Terapeutická složka Δ_G na A je pouze výrazem pro omezení Δ_G na Ž(A) -invariantní funkce zapnuty AJe to dáno vzorcem

${displaystyle displaystyle Delta _ {G} = H ^ {- 1} kruh Delta _ {A} kruh H- | ho | ^ {2},}$

kde

${displaystyle displaystyle H (e ^ {X}) = A_ {ho} (e ^ {X})}$

pro X v ${displaystyle i {mathfrak {t}}}$.

Berezin-Harish-Chandra vzorec pro zonální sférickou funkci φ lze stanovit zavedením antisymetrické funkce

${displaystyle displaystyle f = Hcdot varphi,}$

což je vlastní funkce Laplacian Δ_A. Od té doby K. je generován kopiemi podskupin, které jsou homomorfními obrazy SU (2) odpovídajících jednoduché kořeny, jeho komplexizace G je generován odpovídajícími homomorfními obrazy SL (2,C). Vzorec pro zonální sférické funkce SL (2,C) to naznačuje F je periodická funkce na ${displaystyle i {mathfrak {t}}}$ s ohledem na některé sublattice. Antisymmetry under the Weyl group and the argument of Freudenthal again implicit that ψ must have the mentioned form up to a multiplicative constant, which can be determine using the Weyl dimension formula.

Příklad: SL (2, R)

Teorie zonálních sférických funkcí pro SL (2,R) vznikl v díle Mehler v roce 1881 o hyperbolické geometrii. Objevil analogii Plancherelovy věty, kterou znovu objevil Fock v roce 1943. Odpovídající rozšíření vlastní funkce se nazývá Mehler – Fockova transformace. Již v roce 1910 byl postaven na pevnou půdu Hermann Weyl je důležitá práce na internetu spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Radiální část Laplacian v tomto případě vede k a hypergeometrická diferenciální rovnice, jehož teorii podrobně zpracoval Weyl. Weylov přístup byl následně zobecněn Harish-Chandrou ke studiu zonálních sférických funkcí a odpovídající Plancherelovy věty pro obecnější polojednodušší Lieovy skupiny. V návaznosti na práci Diraca na diskrétních řadových reprezentacích SL (2,R), obecná teorie jednotkových neredukovatelných reprezentací SL (2,R) vyvinuli nezávisle Bargmann, Harish-Chandra a Gelfand – Naimark. Neredukovatelné reprezentace třídy jedna, nebo ekvivalentně teorie zonálních sférických funkcí, tvoří důležitý speciální případ této teorie.

Skupina G = SL (2,R) je dvojitý kryt trojrozměrného Skupina Lorentz SO (2,1) je skupina symetrie z hyperbolická rovina s jeho Poincarého metrika. Působí tím Möbiovy transformace. Horní polorovinu lze identifikovat s diskem jednotky podle Cayleyova transformace. Pod touto identifikací G identifikuje se se skupinou SU (1,1), která také působí Möbiovy transformace. Protože akce je tranzitivní, oba prostory lze identifikovat pomocí G/K., kde K. = SO (2). Metrika je neměnná pod G a přidružený Laplacian je G-invariantní, shodující se s obrazem Provozovatel kasimíru. V modelu horní poloviny roviny je Laplacian dán vzorcem^[5][6]

${displaystyle displaystyle Delta = -4y ^ {2} (částečné _ {x} ^ {2} + částečné _ {y} ^ {2}).}$

Li s je komplexní číslo a z = x + i y s y > 0, funkce

${displaystyle displaystyle f_ {s} (z) = y ^ {s} = exp ({s} cdot log y),}$

je vlastní funkce Δ:

${displaystyle displaystyle Delta f_ {s} = 4s (1-s) f_ {s}.}$

Protože Δ dojíždí s G, jakýkoli levý překlad z F_s je také vlastní funkcí se stejnou vlastní hodnotou. Zejména v průměru K., funkce

${displaystyle varphi _ {s} (z) = int _ {K} f_ {s} (kcdot z), dk}$

je K.-invariantní vlastní funkce Δ na G/K.. Když

${displaystyle displaystyle s = {1 nad 2} + i au,}$

s τ real dávají tyto funkce všem zonálním sférickým funkcím G. Stejně jako u obecnějšího vzorce Harish-Chandry pro polojednodušé Lieovy skupiny, φ_s je zonální sférická funkce, protože se jedná o maticový koeficient odpovídající vektoru fixovanému pomocí K. v hlavní série. K dispozici jsou různé argumenty, které dokazují, že neexistují žádné další. Jeden z nejjednodušších klasických Lež algebraicky argumenty^{[5][6][32][33][34]} je třeba poznamenat, že jelikož Δ je eliptický operátor s analytickými koeficienty, je díky analytické eliptické pravidelnosti jakákoli vlastní funkce nutně skutečná analytická. Pokud tedy zonální sférická funkce odpovídá maticovému koeficientu pro vektor proti a reprezentace σ, vektor proti je analytický vektor pro G a

${displaystyle displaystyle (sigma (e ^ {X}) v, v) = součet _ {n = 0} ^ {infty} (sigma (X) ^ {n} v, v) / n!}$

pro X v ${displaystyle i {mathfrak {t}}}$. Nekonečně malá forma neredukovatelných jednotkových reprezentací s vektorem fixovaným pomocí K. byly vypracovány klasicky Bargmann.^[32][33] Přesně odpovídají hlavní řadě SL (2,R). Z toho vyplývá, že zónová sférická funkce odpovídá reprezentaci hlavní řady.

Další klasický argument^[35] postupuje tím, že ukazuje, že na radiálních funkcích má Laplacian formu

${displaystyle displaystyle Delta = -partial _ {r} ^ {2} -coth (r) cdot částečný _ {r},}$

tak, že jako funkce r, zonální sférická funkce φ (r) musí splňovat obyčejná diferenciální rovnice

${displaystyle displaystyle varphi ^ {prime prime} + coth r, varphi ^ {prime} = alfa, varphi}$

pro nějakou konstantu α. Změna proměnných t = sinh r transformuje tuto rovnici na hypergeometrická diferenciální rovnice. Obecné řešení z hlediska Legendární funkce komplexního indexu je dáno vztahem^[2][36]

${displaystyle varphi (r) = P_ {ho} (cosh r) = {1 over 2pi} int _ {0} ^ {2pi} (cosh r + sinh r, cos heta) ^ {ho}, d heta,}$

kde α = ρ (ρ + 1). Další omezení ρ jsou dána omezeností a kladnou definitivitou zonální sférické funkce na G.

Existuje ještě další přístup, díky Mogens Flensted-Jensen, který odvozuje vlastnosti zonálních sférických funkcí na SL (2,R), včetně vzorce Plancherel, z odpovídajících výsledků pro SL (2,C), což jsou jednoduché důsledky Plancherelova vzorce a vzorce Fourierovy inverze pro R. Tato „metoda sestupu“ funguje obecněji, což umožňuje odvození výsledků pro skutečnou polojedinou Lieovu skupinu sestupem z odpovídajících výsledků pro její komplexizaci.^[37][38]

Další pokyny

• Teorie zonálních funkcí, které nemusí být nutně kladně definitivní. Ty jsou dány stejnými vzorci jako výše, ale bez omezení komplexního parametru s nebo ρ. Odpovídají nejednotným vyjádřením.^[5]
• Harish-Chandraův vzorec pro expanzi a inverzi vlastních funkcí pro sférické funkce.^[39] Toto je jeho důležitý speciální případ Plancherelův teorém pro skutečné polojednoduché Lieovy skupiny.
• Struktura Hecke algebry. Harish-Chandra a Godement dokázali, že jako konvoluční algebry existují mezi C přírodní izomorfismy_C^∞(K. G / K. ) a C._C^∞(A)^Ž, subalgebra invariant pod Weylovou skupinou.^[3] Toto je snadné stanovit pro SL (2,R).^[6]
• Sférické funkce pro Euklidovské pohybové skupiny a kompaktní Lieovy skupiny.^[5]
• Sférické funkce pro p-adic Lež skupiny. Ty byly podrobně studovány Satake a Macdonald.^[40][41] Jejich studium a studium souvisejících Heckových algeber bylo jedním z prvních kroků v rozsáhlé teorii reprezentace polojednodušých p-adických Lieových skupin, klíčového prvku v Langlandsův program.

Viz také

• Plancherelova věta o sférických funkcích
• Hecke algebra lokálně kompaktní skupiny
• Reprezentace Lieových skupin
• Nekomutativní harmonická analýza
• Temperované zastoupení
• Pozitivní určitá funkce ve skupině
• Symetrický prostor
• Gelfandův pár

Poznámky

Citace

Zdroje

externí odkazy

• Casselman, William, Poznámky ke sférickým funkcím (PDF)