Clebsch – Gordanovy koeficienty - Clebsch–Gordan coefficients

v fyzika, Clebsch – Gordan (CG) koeficienty jsou čísla, která vznikají v spojka momentu hybnosti v kvantová mechanika. Objevují se jako koeficienty expanze celková moment hybnosti vlastní státy v odpojeném tenzorový produkt základ. Matematičtěji se používají koeficienty CG teorie reprezentace, zejména z kompaktní Lieovy skupiny, provést explicitní přímý součet rozklad tenzorový produkt ze dvou neredukovatelné reprezentace (tj. redukovatelná reprezentace na neredukovatelné reprezentace, v případech, kdy jsou počty a typy neredukovatelných složek již abstraktně známy). Název je odvozen od německých matematiků Alfred Clebsch a Paul Gordan, který narazil na ekvivalentní problém v roce 2006 invariantní teorie.

Od a vektorový počet perspektiva, CG koeficienty spojené s SO (3) skupina lze definovat jednoduše z hlediska integrálů produktů sférické harmonické a jejich komplexní konjugáty. Přidání otočení v kvantově-mechanickém smyslu lze číst přímo z tohoto přístupu, protože sférické harmonické jsou vlastní funkce celkového momentu hybnosti a jeho projekce na osu a integrály odpovídají Hilbertův prostor vnitřní produkt.^[1] Z formální definice momentu hybnosti lze nalézt rekurzní vztahy pro Clebsch – Gordanovy koeficienty. Existují také komplikované explicitní vzorce pro jejich přímý výpočet.^[2]

Níže uvedené vzorce se používají Dirac braketová notace a Condon – Shortleyova konvence fáze^[3] je přijat.

Operátory momentu hybnosti

Operátory momentu hybnosti jsou operátoři s vlastním nastavením j_X, j_y, a j_z které uspokojí komutační vztahy

${ displaystyle { begin {aligned} & [ mathrm {j} _ {k}, mathrm {j} _ {l}] equiv mathrm {j} _ {k} mathrm {j} _ {l } - mathrm {j} _ {l} mathrm {j} _ {k} = i hbar varepsilon _ {klm} mathrm {j} _ {m} & k, l, m & in { mathrm {x, y, z} }, end {zarovnáno}}}$

kde ε_klm je Symbol Levi-Civita. Společně tři operátoři definují a vektorový operátor, první kartézský operátor tenzoru,

${ displaystyle mathbf {j} = ( mathrm {j_ {x}}, mathrm {j_ {y}}, mathrm {j_ {z}}).}$

Také známý jako a sférický vektor, protože je to také sférický tenzorový operátor. Pouze u prvního stupně se sférické tenzorové operátory shodují s kartézskými tenzorovými operátory.

Dalším vývojem tohoto konceptu lze definovat jiného operátora j² jako vnitřní produkt z j sám se sebou:

${ displaystyle mathbf {j} ^ {2} = mathrm {j_ {x} ^ {2}} + mathrm {j_ {y} ^ {2}} + mathrm {j_ {z} ^ {2} }.}$

Toto je příklad a Provozovatel kasimíru. Je diagonální a jeho vlastní hodnota charakterizuje konkrétní neredukovatelné zastoupení algebry momentu hybnosti tak(3) ≅ su(2). Toto je fyzicky interpretováno jako druhá mocnina celkového momentu hybnosti stavů, na které reprezentace působí.

Lze také definovat zvyšování (j₊) a spouštění (j₋) operátory, tzv operátoři žebříků,

${ displaystyle mathrm {j _ { pm}} = mathrm {j_ {x}} pm i mathrm {j_ {y}}.}$

Sférický základ pro vlastní momenty hybnosti

Z výše uvedených definic je patrné, že j² dojíždí s j_X, j_y, a j_z:

${ displaystyle { begin {aligned} & [ mathbf {j} ^ {2}, mathrm {j} _ {k}] = 0 & k & in { mathrm {x}, mathrm {y}, mathrm {z} }. end {zarovnáno}}}$

Když dva Hermitovské operátory dojíždět, existuje společná sada vlastních stavů. Konvenčně, j² a j_z jsou vybrány. Z komutačních vztahů lze najít možná vlastní čísla. Tyto vlastní stavy jsou označeny |j m⟩ kde j je kvantové číslo momentu hybnosti a m je projekce momentu hybnosti na osu z.

Zahrnují sférický základ, jsou úplné a splňují následující rovnice vlastních čísel,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {j} ^ {2} | j , m rangle & = hbar ^ {2} j (j + 1) | j , m rangle, & j & in {0, { tfrac {1} {2}}, 1, { tfrac {3} {2}}, ldots } mathrm {j_ {z}} | j , m rangle & = hbar m | j , m rangle, & m & in {- j, -j + 1, ldots, j }. end {zarovnáno}}}$

Operátory zvedání a spouštění lze použít ke změně hodnoty m,

${ displaystyle mathrm {j} _ { pm} | j , m rangle = hbar C _ { pm} (j, m) | j , (m pm 1) rangle,}$

kde je koeficient žebříku dán vztahem:

${ displaystyle C _ { pm} (j, m) = { sqrt {j (j + 1) -m (m pm 1)}} = { sqrt {(j mp m) (j pm m +1)}}.}$

(1)

V zásadě lze při definici funkce také zavést (případně složitý) fázový faktor ${ displaystyle C _ { pm} (j, m)}$. Volba provedená v tomto článku je v souladu s Condon – Shortleyova konvence fáze. Stavy momentu hybnosti jsou ortogonální (protože jejich vlastní hodnoty vzhledem k hermitovskému operátoru jsou odlišné) a předpokládá se, že jsou normalizovány,

${ displaystyle langle j , m | j ', m' rangle = delta _ {j, j '} delta _ {m, m'}.}$

Zde kurzíva j a m označit celé nebo poloviční celé číslo moment hybnosti kvantová čísla částice nebo systému. Na druhou stranu římský j_X, j_y, j_z, j₊, j₋, a j² označit operátory. The ${ displaystyle delta}$ symboly jsou Kroneckerovy delty.

Tenzorový produktový prostor

Nyní uvažujeme systémy se dvěma fyzicky odlišnými úhlovými momenty j₁ a j₂. Mezi příklady patří spin a orbitální moment hybnosti jediného elektronu nebo rotace dvou elektronů nebo orbitální moment hybnosti dvou elektronů. Matematicky to znamená, že operátory momentu hybnosti působí na prostor ${ displaystyle V_ {1}}$ dimenze ${ displaystyle 2j_ {1} +1}$ a také na prostoru ${ displaystyle V_ {2}}$ dimenze ${ displaystyle 2j_ {2} +1}$. Poté budeme definovat rodinu operátorů „celkového momentu hybnosti“ působících na tenzorový produkt prostor ${ displaystyle V_ {1} mnohokrát V_ {2}}$, který má rozměr ${ displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1)}$. Působení operátoru celkové momentu hybnosti na tento prostor představuje reprezentaci algebry su (2) Lie, ale redukovatelné. Redukce této redukovatelné reprezentace na neredukovatelné části je cílem Clebsch-Gordanovy teorie.

Nechat PROTI₁ být (2 j₁ + 1)-dimenzionální vektorový prostor rozložené státy

${ displaystyle { begin {aligned} & | j_ {1} , m_ {1} rangle, & m_ {1} & in {- j_ {1}, - j_ {1} +1, ldots, j_ {1} } end {zarovnáno}}}$,

a PROTI₂ the (2 j₂ + 1)-dimenzionální vektorový prostor rozložený státy

${ displaystyle { begin {seřazeno} & | j_ {2} , m_ {2} rangle, & m_ {2} & in {- j_ {2}, - j_ {2} +1, ldots, j_ {2} } end {zarovnáno}}}$.

Tenzorový součin těchto prostor, PROTI₃ ≡ PROTI₁ ⊗ PROTI₂, má (2 j₁ + 1) (2 j₂ + 1)-dimenzionální odpojeno základ

${ displaystyle | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle equiv | j_ {1} , m_ {1} rangle otimes | j_ {2} , m_ {2} rangle, quad m_ {1} in {- j_ {1}, - j_ {1} +1, ldots, j_ {1} }, quad m_ {2} v {- j_ {2}, - j_ {2} +1, ldots, j_ {2} }}$.

Operátory momentu hybnosti jsou definovány tak, aby působily na stavy v PROTI₃ následujícím způsobem:

${ displaystyle ( mathbf {j} otimes 1) | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle equiv mathbf {j} | j_ {1} , m_ {1} rangle otimes | j_ {2} , m_ {2} rangle}$

a

${ displaystyle (1 otimes mathrm { mathbf {j}}) | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle equiv | j_ {1} , m_ {1} rangle otimes mathbf {j} | j_ {2} , m_ {2} rangle,}$

kde 1 označuje operátor identity.

The celkový^{[pozn. 1]} moment hybnosti operátory jsou definovány koprodukt (nebo tenzorový produkt ) dvou zastoupení jednajících PROTI₁⊗PROTI₂,

Je možné zobrazit operátory celkového momentu hybnosti uspokojit stejné komutační vztahy,

${ displaystyle [ mathrm {J} _ {k}, mathrm {J} _ {l}] = i hbar varepsilon _ {klm} mathrm {J} _ {m} ~,}$

kde k, l, m ∈ {X, y, z}. Ve skutečnosti je předchozí konstrukce standardní metodou^[4] pro konstrukci akce Lieovy algebry na reprezentaci tenzorového produktu.

Proto sada spojený vlastní stavy existují i ​​pro operátora celkové hybnosti,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {J} ^ {2} | [j_ {1} , j_ {2}] , J , M rangle & = hbar ^ {2} J (J +1) | [j_ {1} , j_ {2}] , J , M rangle mathrm {J_ {z}} | [j_ {1} , j_ {2}] , J , M rangle & = hbar M | [j_ {1} , j_ {2}] , J , M rangle end {zarovnáno}}}$

pro M ∈ {−J, −J + 1, …, J}. Všimněte si, že je běžné vynechat [j₁ j₂] část.

Celkové kvantové číslo momentu hybnosti J musí splňovat trojúhelníkovou podmínku, že

${ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} | leq J leq j_ {1} + j_ {2}}$,

tak, že tři nezáporné celé nebo poloviční celočíselné hodnoty by mohly odpovídat třem stranám trojúhelníku.^[5]

Celkový počet vlastních momentů hybnosti se nutně rovná dimenzi PROTI₃:

${ displaystyle sum _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} (2J + 1) = (2j_ {1} +1) (2j_ { 2} +1) ~.}$

Jak naznačuje tento výpočet, reprezentace tenzorového produktu se rozloží jako přímý součet jedné kopie každé z neredukovatelných reprezentací dimenze ${ displaystyle 2J + 1}$, kde ${ displaystyle J}$ se pohybuje od ${ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} |}$ na ${ displaystyle j_ {1} + j_ {2}}$ v krocích po 1.^[6] Jako příklad zvažte tenzorový součin trojrozměrné reprezentace odpovídající ${ displaystyle j_ {1} = 1}$ s dvourozměrným znázorněním s ${ displaystyle j_ {2} = 1/2}$. Možné hodnoty ${ displaystyle J}$ jsou tedy ${ displaystyle J = 1/2}$ a ${ displaystyle J = 3/2}$. Reprezentace šestrozměrného tenzoru se tedy rozkládá jako přímý součet dvojrozměrné reprezentace a čtyřrozměrné reprezentace.

Cílem je nyní explicitně popsat předchozí rozklad, to znamená explicitně popsat základní prvky v prostoru tenzorového produktu pro každou z reprezentací komponent, které vzniknou.

Stavy celkového momentu hybnosti tvoří ortonormální základ PROTI₃:

${ displaystyle left langle J , M | J ', M' right rangle = delta _ {J, J '} delta _ {M, M'} ~.}$

Tato pravidla mohou být iterována, například kombinovat n dublety (s= 1/2) k získání Clebsch-Gordanovy řady rozkladu, (Katalánský trojúhelník ),

${ displaystyle mathbf {2} ^ { otimes n} = bigoplus _ {k = 0} ^ { lfloor n / 2 rfloor} ~ left ({ frac {n + 1-2k} {n + 1}} {n + 1 vyberte k} vpravo) ~ ( mathbf {n} + mathbf {1} - mathbf {2} mathbf {k}) ~,}$

kde ${ displaystyle lfloor n / 2 rfloor}$ je celé číslo funkce podlahy; a počet předcházející rozměrnosti neredukovatelné reprezentace tučného povrchu (2j+1) štítek označuje multiplicitu tohoto zastoupení při redukci zastoupení.^[7] Například z tohoto vzorce získá přidání tří rotací 1/2 s rotaci 3/2 a dvou rotací 1 / 2s, ${ displaystyle { mathbf {2}} otimes { mathbf {2}} otimes { mathbf {2}} = { mathbf {4}} oplus { mathbf {2}} oplus { mathbf {2}}}$.

Formální definice Clebsch – Gordanových koeficientů

Spojené stavy lze rozšířit prostřednictvím vztahu úplnosti (rozlišení identity) na nespojeném základě

${ displaystyle | J , M rangle = sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} sum _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ { j_ {2}} | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle}$

(2)

Koeficienty roztažnosti

${ displaystyle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle}$

jsou Clebsch – Gordanovy koeficienty. Všimněte si, že někteří autoři je píší v jiném pořadí, jako je ⟨j₁ j₂; m₁ m₂|J M⟩. Další běžná notace je⟨j₁ m₁ j₂ m₂ | J M⟩ = C^JM
_j1m1j2m2.

Uplatňování operátorů

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {J} & = mathrm {j} otimes 1 + 1 otimes mathrm {j} mathrm {J} _ { mathrm {z}} & = mathrm {j} _ { mathrm {z}} otimes 1 + 1 otimes mathrm {j} _ { mathrm {z}} end {zarovnáno}}}$

na obě strany definující rovnice ukazuje, že Clebsch – Gordanovy koeficienty mohou být nenulové, pouze když

${ displaystyle { begin {zarovnáno} & | j_ {1} -j_ {2} | leq J leq j_ {1} + j_ {2} & M = m_ {1} + m_ {2} end {zarovnaný}}}$.

Rekurzní vztahy

Vztahy rekurze byly objeveny fyzikem Giulio Racah z Hebrejské univerzity v Jeruzalémě v roce 1941.

Uplatnění operátorů zvyšování a snižování celkového momentu hybnosti

${ displaystyle mathrm {J} _ { pm} = mathrm {j} _ { pm} otimes 1 + 1 otimes mathrm {j} _ { pm}}$

na levé straně definující rovnice dává

${ displaystyle { begin {aligned} mathrm {J} _ { pm} | [j_ {1} , j_ {2}] , J , M rangle & = hbar C _ { pm} ( J, M) | [j_ {1} , j_ {2}] , J , (M pm 1) rangle & = hbar C _ { pm} (J, M) sum _ { m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , (M pm 1) rangle end {zarovnáno}}}$

Aplikování stejných operátorů na pravou stranu dává

${ displaystyle { begin {aligned} & mathrm {J} _ { pm} sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2 } , m_ {2} rangle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle & = hbar sum _ { m_ {1}, m_ {2}} { Bigl (} C _ { pm} (j_ {1}, m_ {1}) | j_ {1} , (m_ {1} pm 1) , j_ {2} , m_ {2} rangle + C _ { pm} (j_ {2}, m_ {2}) | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , (m_ { 2} pm 1) rangle { Bigr)} langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle & = hbar sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle { Bigl (} C _ { pm} ( j_ {1}, m_ {1} mp 1) langle j_ {1} , (m_ {1} mp 1) , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle + C _ { pm} (j_ {2}, m_ {2} mp 1) langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , (m_ {2} mp 1) | J , M rangle { Bigr)} { text {.}} End {zarovnáno}}}$

kde C_± byl definován v 1. Kombinace těchto výsledků poskytuje rekurzní vztahy pro Clebsch-Gordanovy koeficienty:

${ displaystyle C _ { pm} (J, M) langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , (M pm 1) rangle = C _ { pm} (j_ {1}, m_ {1} mp 1) langle j_ {1} , (m_ {1} mp 1) , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle + C _ { pm} (j_ {2}, m_ {2} mp 1) langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , (m_ {2} mp 1) | J , M rangle}$.

Vezmeme horní značku s podmínkou, že M = J dává počáteční rekurzivní vztah:

${ displaystyle 0 = C _ {+} (j_ {1}, m_ {1} -1) langle j_ {1} , (m_ {1} -1) , j_ {2} , m_ {2} | J , J rangle + C _ {+} (j_ {2}, m_ {2} -1) langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , (m_ {2} -1) | J , J rangle}$.

V konvenci fáze Condon – Shortley přidává jeden omezení

${ displaystyle langle j_ {1} , j_ {1} , j_ {2} , (J-j_ {1}) | J , J rangle> 0}$

(a je tedy také skutečný).

Clebsch – Gordanovy koeficienty ⟨j₁ m₁ j₂ m₂ | J M⟩ pak lze najít z těchto rekurzních vztahů. Normalizace je stanovena požadavkem, že součet čtverců, který odpovídá požadavku, že norma státu |[j₁ j₂] J J⟩ musí být jeden.

Dolní znaménko v relaci rekurze lze použít k vyhledání všech Clebsch-Gordanových koeficientů s M = J − 1. Opakované použití této rovnice dává všechny koeficienty.

Tento postup k nalezení Clebsch-Gordanových koeficientů ukazuje, že všechny jsou skutečné ve fázové konvenci Condon-Shortley.

Výslovný výraz

Vztahy ortogonality

Nejjasněji se zapisují zavedením alternativní notace

${ displaystyle langle J , M | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle equiv langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle}$

První vztah ortogonality je

${ displaystyle sum _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} sum _ {M = -J} ^ {J} langle j_ { 1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle langle J , M | j_ {1} , m_ {1} ', j_ {2 } , m_ {2} ' rangle = langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | j_ {1} , m_ {1}' , j_ {2} , m_ {2} ' rangle = delta _ {m_ {1}, m_ {1}'} delta _ {m_ {2}, m_ {2} '}}$

(odvozeno ze skutečnosti, že 1 ≡ ∑_X |X⟩ ⟨X|) a druhý je

${ displaystyle sum _ {m_ {1}, m_ {2}} langle J , M | j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} rangle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J ', M' rangle = langle J , M | J ', M' rangle = delta _ {J, J '} delta _ {M, M'}}$.

Speciální případy

Pro J = 0 Clebsch – Gordan koeficienty jsou dány

${ displaystyle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | 0 , 0 rangle = delta _ {j_ {1}, j_ {2}} delta _ {m_ {1}, - m_ {2}} { frac {(-1) ^ {j_ {1} -m_ {1}}} { sqrt {2j_ {1} +1}}}}$.

Pro J = j₁ + j₂ a M = J my máme

${ displaystyle langle j_ {1} , j_ {1} , j_ {2} , j_ {2} | (j_ {1} + j_ {2}) , (j_ {1} + j_ {2 }) rangle = 1}$.

Pro j₁ = j₂ = J / 2 a m₁ = −m₂ my máme

${ displaystyle langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {1} , (- m_ {1}) | (2j_ {1}) , 0 rangle = { frac {(2j_ { 1})! ^ {2}} {(j_ {1} -m_ {1})! (J_ {1} + m_ {1})! { Sqrt {(4j_ {1})!}}}}}$.

Pro j₁ = j₂ = m₁ = −m₂ my máme

${ displaystyle langle j_ {1} , j_ {1} , j_ {1} , (- j_ {1}) | J , 0 rangle = (2j_ {1})! { sqrt { frac {2J + 1} {(J + 2j_ {1} +1)! (2j_ {1} -J)!}}}.}$

Pro j₂ = 1, m₂ = 0 my máme

${ displaystyle { begin {aligned} langle j_ {1} , m , 1 , 0 | (j_ {1} +1) , m rangle & = { sqrt { frac {(j_ { 1} -m + 1) (j_ {1} + m + 1)} {(2j_ {1} +1) (j_ {1} +1)}}} langle j_ {1} , m , 1 , 0 | j_ {1} , m rangle & = { frac {m} { sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}}} langle j_ {1} , m , 1 , 0 | (j_ {1} -1) , m rangle & = - { sqrt { frac {(j_ {1} -m) (j_ {1} + m)} {j_ {1} (2j_ {1} +1)}}} end {zarovnáno}}}$

Pro j₂ = 1/2 my máme

${ displaystyle { begin {aligned} left langle j_ {1} , left (M - { frac {1} {2}} right) , { frac {1} {2}} , { frac {1} {2}} { Bigg |} left (j_ {1} pm { frac {1} {2}} right) , M right rangle & = pm { sqrt {{ frac {1} {2}} vlevo (1 pm { frac {M} {j_ {1} + { frac {1} {2}}}} vpravo)}} left langle j_ {1} , left (M + { frac {1} {2}} right) , { frac {1} {2}} , left (- { frac {1 } {2}} right) { Bigg |} left (j_ {1} pm { frac {1} {2}} right) , M right rangle & = { sqrt {{ frac {1} {2}} left (1 mp { frac {M} {j_ {1} + { frac {1} {2}}}} right)}} end {aligned}}}$

Vlastnosti symetrie

${ displaystyle { begin {zarovnáno} langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle & = (- 1) ^ {j_ { 1} + j_ {2} -J} langle j_ {1} , (- m_ {1}) , j_ {2} , (- m_ {2}) | J , (- M) rangle & = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} -J} langle j_ {2} , m_ {2} , j_ {1} , m_ {1} | J , M rangle & = (- 1) ^ {j_ {1} -m_ {1}} { sqrt { frac {2J + 1} {2j_ {2} +1}}} langle j_ {1} , m_ {1} , J , (- M) | j_ {2} , (- m_ {2}) rangle & = (- 1) ^ {j_ {2} + m_ {2} } { sqrt { frac {2J + 1} {2j_ {1} +1}}} langle J , (- M) , j_ {2} , m_ {2} | j_ {1} , (-m_ {1}) rangle & = (- 1) ^ {j_ {1} -m_ {1}} { sqrt { frac {2J + 1} {2j_ {2} +1}}} langle J , M , j_ {1} , (- m_ {1}) | j_ {2} , m_ {2} rangle & = (- 1) ^ {j_ {2} + m_ {2}} { sqrt { frac {2J + 1} {2j_ {1} +1}}} langle j_ {2} , (- m_ {2}) , J , M | j_ {1 } , m_ {1} rangle end {zarovnáno}}}$

Pohodlným způsobem, jak tyto vztahy odvodit, je převod Clebsch-Gordanových koeficientů na Wigner 3-j symboly použitím 3. Vlastnosti symetrie symbolů Wigner 3-j jsou mnohem jednodušší.

Pravidla pro fázové faktory

Při zjednodušení fázových faktorů je nutná opatrnost: kvantové číslo proto může být napůl celé číslo než celé číslo (−1)^2k není nutně 1 pro dané kvantové číslo k pokud nelze prokázat, že je to celé číslo. Místo toho je nahrazeno následujícím slabším pravidlem:

${ displaystyle (-1) ^ {4k} = 1}$

pro jakékoli kvantové číslo podobné momentu hybnosti k.

Nicméně kombinace j_i a m_i je vždy celé číslo, takže pro tyto kombinace platí silnější pravidlo:

${ displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {i} -m_ {i})} = 1}$

Tato identita platí také v případě, že je znakem kterékoli z těchto identit j_i nebo m_i nebo je obrácen.

Je užitečné pozorovat, že jakýkoli fázový faktor pro daný (j_i, m_i) pár lze redukovat na kanonickou formu:

${ displaystyle (-1) ^ {aj_ {i} + b (j_ {i} -m_ {i})}}$

kde A ∈ {0, 1, 2, 3} a b ∈ {0, 1} (možné jsou i jiné konvence). Převedením fázových faktorů do této formy lze snadno zjistit, zda jsou dva fázové faktory ekvivalentní. (Upozorňujeme, že tento formulář je pouze lokálně kanonický: nebere v úvahu pravidla, kterými se řídí kombinace (j_i, m_i) páry, jako je ten popsaný v následujícím odstavci.)

U kombinací platí další pravidlo j₁, j₂, a j₃ které souvisí s Clebsch-Gordanovým koeficientem nebo Wignerovým symbolem 3-j:

${ displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {1} + j_ {2} + j_ {3})} = 1}$

Tato identita platí také v případě, že je známkou jakékoli j_i je obrácen, nebo pokud je některý z nich nahrazen znakem m_i namísto.

Vztah k Wignerovým 3-j symbolům

Clebsch – Gordanovy koeficienty souvisí Wigner 3-j symboly které mají pohodlnější vztahy symetrie.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle & = (- 1) ^ {- j_ {1} + j_ {2} -M} { sqrt {2J + 1}} { begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & J m_ {1} & m_ {2} & - M end {pmatrix}} & = (- 1) ^ {2j_ {2}} (- 1) ^ {JM} { sqrt {2J + 1}} { begin {pmatrix} j_ {1} & J & j_ {2} m_ {1} & - M & m_ {2} end {pmatrix}} end {zarovnáno}}}$

(3)

Faktor (−1)^{2 j₂} je to kvůli omezení Condon – Shortley ⟨j₁ j₁ j₂ (J − j₁)|J J⟩ > 0, zatímco (–1)^{J − M} je způsobeno časově obrácenou povahou |J M.⟩.

Vztah k Wignerovým D-matricím

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {0} ^ {2 pi} d alpha int _ {0} ^ { pi} sin beta , d beta int _ {0 } ^ {2 pi} d gamma , D_ {M, K} ^ {J} ( alpha, beta, gamma) ^ {*} D_ {m_ {1}, k_ {1}} ^ { j_ {1}} ( alpha, beta, gamma) D_ {m_ {2}, k_ {2}} ^ {j_ {2}} ( alpha, beta, gamma) & = { frac {8 pi ^ {2}} {2J + 1}} langle j_ {1} , m_ {1} , j_ {2} , m_ {2} | J , M rangle langle j_ {1} , k_ {1} , j_ {2} , k_ {2} | J , K rangle end {zarovnáno}}}$

Vztah ke sférickým harmonickým

V případě, že se jedná o celá čísla, lze koeficienty vztahovat k integrály z sférické harmonické:

${ displaystyle int _ {4 pi} Y _ { ell _ {1}} ^ {m_ {1}} {} ^ {*} ( Omega) Y _ { ell _ {2}} ^ {m_ { 2}} {} ^ {*} ( Omega) Y_ {L} ^ {M} ( Omega) , d Omega = { sqrt { frac {(2 ell _ {1} +1) ( 2 ell _ {2} +1)} {4 pi (2L + 1)}}} langle ell _ {1} , 0 , ell _ {2} , 0 | L , 0 rangle langle ell _ {1} , m_ {1} , ell _ {2} , m_ {2} | L , M rangle}$

Z této a ortonormality sférických harmonických vyplývá, že CG koeficienty jsou ve skutečnosti koeficienty expanze součinu dvou sférických harmonických ve smyslu jediné sférické harmonické:

${ displaystyle Y _ { ell _ {1}} ^ {m_ {1}} ( Omega) Y _ { ell _ {2}} ^ {m_ {2}} ( Omega) = součet _ {L, M} { sqrt { frac {(2 ell _ {1} +1) (2 ell _ {2} +1)} {4 pi (2L + 1)}}} langle ell _ { 1} , 0 , ell _ {2} , 0 | L , 0 rangle langle ell _ {1} , m_ {1} , ell _ {2} , m_ {2 } | L , M rangle Y_ {L} ^ {M} ( Omega)}$

Další vlastnosti

${ displaystyle sum _ {m} (- 1) ^ {jm} langle j , m , j , (- m) | J , 0 rangle = delta _ {J, 0} { sqrt {2j + 1}}}$

SU (n) Clebsch – Gordanovy koeficienty

Pro libovolné skupiny a jejich reprezentace nejsou Clebsch-Gordanovy koeficienty obecně známy. Algoritmy pro vytvoření Clebsch-Gordanových koeficientů pro speciální jednotná skupina jsou známy.^[8][9] Zejména, SU (3) Clebsch-Gordanovy koeficienty byly vypočítány a tabelovány kvůli jejich užitečnosti při charakterizaci hadronových rozpadů, kde a příchuť -SU (3) existuje symetrie, která souvisí s nahoru, dolů, a podivný kvarky.^[10][11][12] A webové rozhraní pro tabelaci SU (N) Clebsch – Gordanových koeficientů je snadno dostupný.

Viz také

Poznámky

Poznámky

Reference

• Alex, A .; Kalus, M .; Huckleberry, A .; von Delft, J. (2011). "Numerický algoritmus pro explicitní výpočet SU (N) a SL (N, C) Clebsch-Gordanových koeficientů". J. Math. Phys. 82 (2): 023507. arXiv:1009.0437. Bibcode:2011JMP .... 52b3507A. doi:10.1063/1.3521562.
• Condon, Edward U .; Shortley, G. H. (1970). „Ch. 3“. Teorie atomového spektra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-09209-8.
• Edmonds, A. R. (1957). Moment hybnosti v kvantové mechanice. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-07912-7.
• Greiner, Walter; Müller, Berndt (1994). Kvantová mechanika: symetrie (2. vyd.). Springer Verlag. ISBN  978-3540580805.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Kaplan, L. M .; Resnikoff, M. (1967). "Maticové produkty a explicitní 3, 6, 9 a 12j koeficienty regulárního zastoupení SU (n)". J. Math. Phys. 8 (11): 2194. Bibcode:1967JMP ..... 8.2194K. doi:10.1063/1.1705141.
• Kaeding, Thomas (1995). "Tabulky isoskalárních faktorů SU (3)". Tabulky atomových dat a jaderných dat. 61 (2): 233–288. arXiv:nucl-th / 9502037. Bibcode:1995 ADNDT..61..233K. doi:10.1006 / adnd.1995.1011.
• Merzbacher, Eugen (1998). Kvantová mechanika (3. vyd.). John Wiley. str.428 –9. ISBN  978-0-471-88702-7.
• Albert Messiah (1966). Kvantová mechanika (Vols. I & II), anglický překlad z francouzštiny G. M. Temmer. Severní Holandsko, John Wiley & Sons.
• de Swart, J. J. (1963). „Model Octet a jeho Clebsch-Gordanovy koeficienty“. Rev. Mod. Phys. (Vložený rukopis). 35 (4): 916. Bibcode:1963RvMP ... 35..916D. doi:10.1103 / RevModPhys.35,916.

externí odkazy

• Nakamura, Kenzo; et al. (2010). "Přehled částicové fyziky: Clebsch-Gordanovy koeficienty, sférické harmonické a d funkce " (PDF). Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 37 (75021): 368. Částečná aktualizace pro vydání 2012
• Clebsch – Gordan, webová kalkulačka koeficientů 3 j a 6 j
• Stahovatelná kalkulačka Clebsch – Gordan Coefficient pro Mac a Windows
• Webové rozhraní pro vytváření tabulek SU (N) Clebsch – Gordanových koeficientů

Další čtení

• Kvantová mechanika, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Oulines Crash Course, McGraw Hill (USA), 2006, ISBN  978-007-145533-6
• Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání), R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
• Kvantová mechanika, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Fyzika atomů a molekulB. H. Bransden, C. J. Joachain, Longman, 1983, ISBN  0-582-44401-2
• Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-0-521-57507-2.
• Encyklopedie fyziky (2. vydání), R. G. Lerner, G. L. Trigg, vydavatelé VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2. vydání), C. B. Parker, 1994, ISBN  0-07-051400-3
• Biedenharn, L. C .; Louck, J. D. (1981). Moment hybnosti v kvantové fyzice. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN  978-0-201-13507-7.
• Brink, D. M .; Satchler, G. R. (1993). „Ch. 2“. Moment hybnosti (3. vyd.). Oxford: Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851759-7.
• Messiah, Albert (1981). „Ch. XIII“. Kvantová mechanika (svazek II). New York: North Holland Publishing. ISBN  978-0-7204-0045-8.
• Zare, Richard N. (1988). „Ch. 2“. Moment hybnosti. New York: John Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-85892-8.