Dixonsova identita - Dixons identity - Wikipedia

v matematika, Dixonova identita (nebo Dixonova věta nebo Dixonův vzorec) je některá z několika různých, ale úzce souvisejících identit prokázaných A. C. Dixon, některé zahrnují konečné sumy součinů tří binomické koeficienty a některé hodnotící a hypergeometrický součet. Tyto identity skvěle vyplývají z Věta MacMahon Master, a lze je nyní rutinně dokázat počítačovými algoritmy (Ekhad 1990 ).

Prohlášení

Původní identita, od (Dixon 1891 ), je

${ displaystyle sum _ {k = -a} ^ {a} (- 1) ^ {k} {2a zvolte k + a} ^ {3} = { frac {(3a)!} {(a! ) ^ {3}}}.}$

Zobecnění, někdy také nazývané Dixonova identita, je

${ displaystyle sum _ {k v mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} {a + b vybrat a + k} {b + c vybrat b + k} {c + a vybrat c + k} = { frac {(a + b + c)!} {a! b! c!}}}$

kde A, b, a C jsou nezáporná celá čísla (Wilf 1994, str. 156). Součet vlevo lze zapsat jako zakončovací dobře připravenou hypergeometrickou řadu

${ displaystyle {b + c zvolit b-a} {c + a zvolit c-a} {} _ {3} F_ {2} (- 2a, -a-b, -a-c; 1 + b-a, 1 + c-a; 1)}$

a totožnost následuje jako omezující případ (jako A má tendenci k celému číslu) Dixonovy věty hodnotící dobře připravenou ₃F₂ zobecněná hypergeometrická řada v 1, od (Dixon 1902 ):

${ displaystyle ; _ {3} F_ {2} (a, b, c; 1 + ab, 1 + ac; 1) = { frac { gama (1 + a / 2) gama (1 + a / 2-bc) Gamma (1 + ab) Gamma (1 + ac)} { Gamma (1 + a) Gamma (1 + abc) Gamma (1 + a / 2-b) Gamma (1 + a / 2-c)}}.}$

To platí pro Re (1 +¹⁄₂A − b − C)> 0. Jako C má sklon −∞ redukuje se na Kummerův vzorec pro hypergeometrickou funkci ₂F₁ v -1. Dixonovu větu lze odvodit z vyhodnocení Selbergův integrál.

q-analogy

A q-analog Dixonova vzorce pro základní hypergeometrická řada z hlediska q-Pochhammerův symbol darováno

${ displaystyle ; _ {4} phi _ {3} vlevo [{ begin {matrix} a & -qa ^ {1/2} & b & c & - a ^ {1/2} & aq / b & aq / c end {matrix}}; q, qa ^ {1/2} / bc right] = { frac {(aq, aq / bc, qa ^ {1/2} / b, qa ^ {1/2} / c; q) _ { infty}} {(aq / b, aq / c, qa ^ {1/2}, qa ^ {1/2} / bc; q) _ { infty}}}}$

kde |qa^1/2/před naším letopočtem| < 1.

Reference

• Dixon, A.C. (1891), „O součtu krychlí koeficientů v určitém rozšíření binomickou větou“, Posel matematiky, 20: 79–80, JFM  22.0258.01
• Dixon, A.C. (1902), "Shrnutí určité řady", Proc. London Math. Soc., 35 (1): 284–291, doi:10.1112 / plms / s1-35.1.284, JFM  34.0490.02
• Ekhad, Shalosh B. (1990), „Velmi krátký důkaz Dixonovy věty“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 54 (1): 141–142, doi:10.1016 / 0097-3165 (90) 90014-N, ISSN  1096-0899, PAN  1051787, Zbl  0707.05007
• Gessel, Ira; Stanton, Dennis (1985), „Krátké důkazy Saalschützových a Dixonových vět“, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 38 (1): 87–90, doi:10.1016/0097-3165(85)90026-3, ISSN  1096-0899, PAN  0773560, Zbl  0559.05008
• Ward, James (1991), „100 let Dixonovy identity“, Bulletin irské matematické společnosti (27): 46–54, ISSN  0791-5578, PAN  1185413, Zbl  0795.01009
• Wilf, Herbert S. (1994), Generovánífunkcionologie (2. vyd.), Boston, MA: Academic Press, ISBN  0-12-751956-4, Zbl  0831.05001