Dehnova operace - Dehn surgery

v topologie, obor matematiky, a Dehnova operace, pojmenoval podle Max Dehn, je konstrukce sloužící k úpravám 3 rozdělovače. Proces bere jako vstup 3-potrubí společně s a odkaz. Často je koncipován jako dva kroky: vrtání pak plnicí.

Definice

Vzhledem k 3-potrubí ${ displaystyle M}$ a a odkaz ${ displaystyle L podmnožina M}$ , potrubí ${ displaystyle M}$ vrtané spolu ${ displaystyle L}$ se získá odstraněním otevřeného trubkové sousedství z ${ displaystyle L}$ z ${ displaystyle M}$ . Rozdělovač ${ displaystyle M}$ vrtané spolu ${ displaystyle L}$ je také známý jako doplněk odkazu, protože pokud někdo odstranil odpovídající uzavřené tubulární okolí z ${ displaystyle M}$ , získá se mnohotvárný difeomorfní ${ displaystyle M setminus L}$ .
Vzhledem k tomu, 3-potrubí s torus hraničních složek, můžeme lepit v pevný torus podle a homeomorfismus (resp. difeomorfismus ) jeho hranice s hraniční složkou torusu ${ displaystyle T}$ původního 3-potrubí. Obecně existuje mnoho nerovných způsobů, jak toho dosáhnout. Tento proces se nazývá Plnění Dehn.
Dehnova operace na 3-rozdělovači obsahujícím článek sestává z vyvrtání trubkovitého okolí článku společně s Plnění Dehn na všech komponentách hranice odpovídající odkazu.

Můžeme vybrat dva orientované jednoduché uzavřené křivky m a ℓ na hraničním torusu 3-potrubí, které generuje základní skupina torusu. To dává jakoukoli jednoduchou uzavřenou křivku ${ displaystyle gamma}$ na tomto torusu dvě souřadnice p a q, přičemž každá souřadnice odpovídá algebraickému průsečíku křivky s m a ℓ resp. Tyto souřadnice závisí pouze na třída homotopy z ${ displaystyle gamma}$ .

Můžeme určit homeomorfismus hranice pevného torusu do T tím, že má poledníková křivka mapy pevného torusu s křivkou homotopickou k ${ displaystyle gamma}$ . Pokud se poledník mapuje na chirurgický sklon ${ displaystyle [ gamma]}$ , výsledná Dehnova operace přinese 3-varietu, která nebude záviset na konkrétním lepení (až do homeomorfismu). Poměr p/q se nazývá chirurgický koeficient.

V případě odkazů ve sféře 3 nebo obecněji v oblasti orientované homologie existuje kanonická volba meridiánů a zeměpisných délek T. Zeměpisná délka je zvolena tak, aby byla v doplňku uzlu nulová homologní - ekvivalentně, pokud je hranicí Seifertův povrch. Poledník je křivka, která ohraničuje disk v tubulárním sousedství článku. Když poměry p/q jsou všechna celá čísla, chirurgie se nazývá integrální chirurgie. S takovými operacemi úzce souvisí řídítka, cobordism a Morseovy funkce.

Výsledek

Každý Zavřeno, orientovatelný, připojeno 3-potrubí se získá provedením Dehnovy operace na odkazu v 3 koule. Tento výsledek Lickorish – Wallaceova věta, bylo poprvé prokázáno Andrew H. Wallace v roce 1960 a samostatně W. B. R. Lickorish v silnější podobě v roce 1962. Prostřednictvím dnes již dobře známého vztahu mezi skutečná operace a cobordism, tento výsledek je ekvivalentní s teorémem, že orientovaná skupina cobordism 3-variet je triviální, věta původně prokázaná Vladimír Abramovič Rokhlin v roce 1951.

Vzhledem k tomu, že všechny orientovatelné rozdělovače 3 lze generovat vhodně zdobenými odkazy, je možné si položit otázku, jak by mohly souviset různé chirurgické prezentace daného rozdělovače 3. Odpověď se nazývá Kirbyův počet.

Viz také

Hyperbolická Dehnova operace
Trubkové okolí
Chirurgická operace na potrubích, v obecném smyslu, také nazývaných sférická modifikace.

Reference

Dehn, Max (1938), „Die Gruppe der Abbildungsklassen“, Acta Mathematica, 69 (1): 135–206, doi:10.1007 / BF02547712.
Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables“, Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007 / BF02566923, PAN 0061823^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
Kirby, Rob (1978), „Calculus for framed links in S³", Inventiones Mathematicae, 45 (1): 35–56, doi:10.1007 / BF01406222, PAN 0467753.
Fenn, Roger; Rourke, Coline (1979), „Na Kirbyho počtu odkazů“, Topologie, 18 (1): 1–15, doi:10.1016/0040-9383(79)90010-7, PAN 0528232.
Gompf, Robert; Stipsicz, András (1999), 4-rozdělovače a Kirbyův počet, Postgraduální studium matematiky, 20, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10,1090 / gsm / 020, ISBN 0-8218-0994-6, PAN 1707327.