Haken potrubí - Haken manifold
v matematika, a Haken potrubí je kompaktní, P²-neredukovatelné 3-potrubí to je dostatečně velký, což znamená, že obsahuje správně vložený oboustranný nestlačitelný povrch. Někdy se uvažuje pouze o orientovatelných Hakenových potrubích, v takovém případě je Hakenova potrubí kompaktní, orientovatelná, neredukovatelná 3-potrubí, která obsahuje orientovatelný, nestlačitelný povrch.
Říká se, že 3-potrubí konečně zakryté Hakenovým potrubím prakticky Haken. The Prakticky Hakenova domněnka tvrdí, že každé kompaktní, neredukovatelné 3-potrubí s nekonečnou základní skupinou je prakticky Haken. Tuto domněnku prokázal Ian Agol.[1]
Haken potrubí byly představeny Wofgang Haken (1961 ). Haken (1962) dokázal, že Hakenova potrubí mají a hierarchie, kde je lze rozdělit na 3 koule podél nestlačitelných povrchů. Haken také ukázal, že existuje konečný postup k nalezení nestlačitelného povrchu, pokud by jej měl 3-potrubí. William Jaco a Ulrich Oertel (1984 ) poskytl algoritmus k určení, zda byl 3-variátor Haken.
Normální povrchy jsou v teorii Hakenových variet všudypřítomné a jejich jednoduchá a tuhá struktura vede zcela přirozeně k algoritmům.
Haken hierarchie
Budeme uvažovat pouze o případu orientovatelný Haken manifolds, protože to zjednodušuje diskusi; A pravidelné sousedství orientovatelného povrchu v orientovatelném 3-potrubí je jen „zesílená“ verze povrchu, tj. triviální Já- svazek. Pravidelné sousedství je tedy trojrozměrný podmanifold s hranicí obsahující dvě kopie povrchu.
Vzhledem k orientovatelnému Hakenovu potrubí M, podle definice obsahuje orientovatelný, nestlačitelný povrch S. Vezměte pravidelné sousedství S a odstranit jeho interiér z M, což má za následek M ' . Ve skutečnosti jsme řezali M podél povrchu S. (Toto je analogické, v jedné menší dimenzi, jako řezání povrchu podél kruhu nebo oblouku.) Je to věta, že každé orientovatelné kompaktní potrubí s hraniční složkou, která není sférou, má nekonečnou první homologickou skupinu, což znamená, že má správně vložený 2stranný nerozdělitelný nestlačitelný povrch, stejně jako Hakenův potrubí. Můžeme tedy vybrat další nestlačitelný povrch M ' a rozřezat to. Pokud nakonec tato sekvence řezání vyústí v potrubí, jehož kusy (nebo komponenty) jsou jen 3 koule, nazýváme tuto sekvenci hierarchií.
Aplikace
Hierarchie činí z dokazování určitých druhů vět o Hakenových rozmanitostech záležitost indukce. Jeden dokazuje teorém pro 3 kuličky. Pak jeden prokáže, že pokud věta platí pro části, které jsou výsledkem řezání Hakenova potrubí, pak platí pro tento Hakenův potrubí. Klíčem je, že řezání probíhá podél povrchu, který byl velmi „pěkný“, tj. Nestlačitelný. Díky tomu je prokázání kroku indukce v mnoha případech proveditelné.
Haken načrtl důkaz algoritmu, aby zkontroloval, zda jsou dvě Hakenova potrubí homeomorfní nebo ne. Jeho obrys byl vyplněn podstatným úsilím Friedhelm Waldhausen Klaus Johannson, Geoffrey Hemion, Sergeĭ Matveev a kol. Jelikož existuje algoritmus ke kontrole, zda je 3-variátor Haken (srov. Jaco – Oertel), lze základní problém rozpoznávání 3-variet považovat za vyřešený pro Haken varieta.
Waldhausen (1968 ) dokázal, že uzavřené Hakenovy potrubí jsou topologicky rigidní: zhruba každá homotopická ekvivalence Hakenových potrubí je homotopická s homeomorfismem (pro případ hranice je nutná podmínka na periferní struktuře). Takže tato tři potrubí jsou zcela určena jejich základní skupinou. Waldhausen navíc dokázal, že základní skupiny Hakenových variet mají řešitelnou slovní úlohu; to platí také pro prakticky Hakenova potrubí.
Hierarchie hrála v roce klíčovou roli William Thurston je věta o hyperbolizaci pro Hakenova potrubí, součást jeho revolučního programu geometrizace pro 3-potrubí.
Johannson (1979) dokázal to atoroidní, prstencový, Hraničně neredukovatelné, Hakenovy tři rozdělovače mají konečné mapování skupin tříd. Tento výsledek lze získat z kombinace Poskytnout tuhost s Thurstonovou větou o geometrizaci.
Příklady Hakenových potrubí
Některé rodiny příkladů jsou obsaženy v jiných.
- Kompaktní, neredukovatelné 3-rozdělovače s kladným prvním Betti číslo
- Povrchové svazky přes kruh, jedná se o speciální případ výše uvedeného příkladu.
- Link doplňuje
- Většina Seifert vláknové prostory mít mnoho nestlačitelných tori
Viz také
Reference
- ^ Agol, Iane (2013). „Virtuální Hakenova domněnka. S dodatkem od Agola, Daniela Grovese a Jasona Manninga.“ (PDF). Documenta Mathematica. 18: 1045–1087. PAN 3104553.
- Haken, Wolfgang (1961). „Theorie der Normalflächen. Ein Isotopiekriterium für den Kreisknoten“. Acta Mathematica. 105 (3–4): 245–375. doi:10.1007 / BF02559591. ISSN 0001-5962. PAN 0141106.
- Haken, Wolfgang (1968). "Některé výsledky na plochách ve 3 rozdělovačích". v Hilton, Peter J. (vyd.). Studie moderní topologie. Mathematical Association of America (distribuuje Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ). 39–98. ISBN 978-0-88385-105-0. PAN 0224071.
- Haken, Wolfgang (1962). „Über das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. Já.“ Mathematische Zeitschrift. 80: 89–120. doi:10.1007 / BF01162369. ISSN 0025-5874. PAN 0160196.
- Hempel, John (1976). 3 rozdělovače. Annals of Mathematics Studies. 86. Princeton University Press. ISBN 978-0-8218-3695-8. PAN 0415619.
- Jaco, William; Oertel, Ulrich (1984). Msgstr "Algoritmus pro rozhodnutí, zda 3-potrubí je Hakenovo potrubí". Topologie. 23 (2): 195–209. doi:10.1016/0040-9383(84)90039-9. ISSN 0040-9383. PAN 0744850.
- Johannson, Klaus (1979). Msgstr "Na skupině tříd mapování jednoduchých 3-variet". In Fenn, Roger A. (ed.). Topologie nízkodimenzionálních potrubí (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977). Přednášky z matematiky. 722. Berlín, New York: Springer-Verlag. str. 48–66. doi:10.1007 / BFb0063189. ISBN 978-3-540-09506-4. PAN 0547454.
- Waldhausen, Friedhelm (1968). „Na neredukovatelných 3-potrubích, která jsou dostatečně velká“. Annals of Mathematics. Druhá série. 87 (1): 56–88. doi:10.2307/1970594. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970594. PAN 0224099.