Milnor mapa - Milnor map
V matematice Milnor mapy jsou pojmenovány na počest John Milnor, který je seznámil topologie a algebraická geometrie ve své knize Zvláštní body komplexních hyperplošin (Princeton University Press, 1968) a dřívější přednášky. Nejvíce studované Milnorovy mapy jsou ve skutečnosti fibrace a fráze Milnorova fibrace se častěji vyskytuje v matematické literatuře. Ty byly zavedeny ke studiu izolovaných singularit pomocí konstrukce numerické invarianty související s topologií hladké deformace singulárního prostoru.
Definice
Nechat být nekonstantní polynomiální funkce z komplexní proměnné kde mizející místo
je pouze na počátku, což znamená přidružené odrůda není hladký na počátku. Pak pro (koule uvnitř poloměru ) Milnorova fibrace[1]str. 68 spojené s je definována jako mapa
- ,
což je místně triviální hladký fibrace pro dostatečně malé . Původně to bylo prokázáno jako věta Milnorem, ale později to bylo považováno za definici Milnorovy fibrace. Toto je dobře definovaná mapa
- ,
kde je argument komplexního čísla.
Historická motivace
Jednou z původních motivací pro studium takových map bylo studium uzly postaven tím, že - koule kolem jedinečného bodu a rovinná křivka, který je izomorfní se skutečnou 4-dimenzionální koulí, a při pohledu na uzel uvnitř hranice, což je 1-potrubí uvnitř 3-koule. Protože tento koncept lze zobecnit na hyperplochy s izolovanými singularitami představil Milnor předmět a dokázal svou větu.
V algebraické geometrii
Další uzavřený související pojem v algebraická geometrie je Milnorovo vlákno izolované hyperpovrchové singularity. Toto má podobné nastavení, kde je polynom s mající singularitu na počátku, ale nyní polynomiální
je považován. Poté algebraické Milnorovo vlákno je považován za jeden z polynomů .
Vlastnosti a věty
Paralelizovatelnost
Jednou ze základních vět o struktuře Milnorových vláken jsou paralelizovatelné rozdělovače[1]str. 75.
Homotopický typ
Milnorova vlákna jsou speciální, protože mají homotopický typ a kytice koulí[1]str. 78. Ve skutečnosti lze počet koulí vypočítat pomocí vzorce
kde kvocientový ideál je Jacobian ideální, definovaný parciálními derivacemi . Tyto koule deformované na algebraické Milnorovo vlákno jsou Mizející cykly fibrace[1]str. 83. Naneštěstí výpočet vlastních čísel jejich monodromy je výpočetně náročný a vyžaduje pokročilé techniky, jako je b-funkce[2]str.
Milnorova věta o fibraci
Milnorova věta o fibrilaci uvádí, že pro každého takový, že původ je a singulární bod nadpovrchu (zejména pro každou nekonstantní polynom bez čtverců dvou proměnných, případ rovinných křivek), pak pro dostatečně malý,
je fibrace. Každé vlákno je nekompaktní diferencovatelné potrubí skutečné dimenze . Pamatujte, že uzavření každého vlákna je kompaktní potrubí s hranicí. Zde hranice odpovídá průsečíku s - koule (dostatečně malého poloměru), a proto se jedná o skutečný rozmanitý rozměr . Navíc toto kompaktní potrubí s ohraničením, které je známé jako Milnor vlákno (izolovaného singulárního bodu z v počátku), je difeomorfní k průsečíku uzavřeného - koule (ohraničená malou -sphere) s (ne-singulárním) nadpovrchem kde a je jakékoli dostatečně malé nenulové komplexní číslo. Tento malý kousek nadpovrchu se také nazývá a Milnor vlákno.
Milnorovy mapy v jiných poloměrech nejsou vždy fibrace, ale přesto mají mnoho zajímavých vlastností. Pro většinu (ale ne všechny) polynomy je Milnor mapa v nekonečnu (tj. v jakémkoli dostatečně velkém poloměru) je opět fibrace.
Příklady
Milnorská mapa v libovolném poloměru je fibrace; tato konstrukce dává trojlístkový uzel jeho struktura jako vláknitý uzel.
Viz také
Reference
- ^ A b C d Dimca, Alexandru (1992). Singularita a topologie hyperplošin. New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC 852790417.
- ^ Budur, Nero. „Násobitele ideálů, Milnorova vlákna a další invarianty singularity“ (PDF). Archivováno (PDF) z původního dne 15. srpna 2020.
- Milnor, John W. (1968), Singulární body komplexních hyperplošin, Annals of Mathematics Studies, č. 61. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokio, ISBN 0-691-08065-8