Gausssův zákon pro gravitaci - Gausss law for gravity - Wikipedia

v fyzika, Gaussův zákon pro gravitaci, také známý jako Gaussova věta o toku gravitace, je zákon fyziky, který je ekvivalentní Newtonův zákon univerzální gravitace. Je pojmenován po Carl Friedrich Gauss. Gaussův zákon pro gravitaci je často pohodlnější pracovat, než je Newtonův zákon.

Forma Gaussova zákona pro gravitaci je matematicky podobná Gaussův zákon pro elektrostatika, jeden z Maxwellovy rovnice. Gaussův zákon pro gravitaci má stejný matematický vztah k Newtonovu zákonu, jaký má Gaussův zákon pro elektrostatiku Coulombův zákon. Je tomu tak proto, že to popisuje Newtonův zákon i Coulombův zákon inverzní čtverec interakce v trojrozměrném prostoru.

Kvalitativní vyjádření zákona

The gravitační pole G (také zvaný gravitační zrychlení ) je vektorové pole - vektor v každém bodě prostoru (a času). Je definována tak, že gravitační síla, kterou zažívá částice, se rovná hmotnosti částice vynásobené gravitačním polem v daném bodě.

Gravitační tok je povrchový integrál gravitačního pole na uzavřeném povrchu, analogicky jak magnetický tok je povrchový integrál magnetického pole.

Gaussův zákon pro gravitaci říká:

Gravitační tok skrz kterýkoli uzavřený povrch je úměrná uzavřenému Hmotnost.

Integrální forma

Integrální forma Gaussova zákona pro gravitaci říká:

kde

${ displaystyle scriptstyle částečné V}$ (také psáno ${ displaystyle mast _ { částečné V}}$) označuje povrchový integrál nad uzavřeným povrchem,

∂PROTI je jakýkoli uzavřený povrch ( hranice libovolného objemu PROTI),

dA je vektor, jehož velikost je plocha an infinitezimální kousek povrchu ∂PROTI, a jehož směr je směřující ven povrch normální (vidět povrchový integrál Více podrobností),

G je gravitační pole,

G je univerzální gravitační konstanta, a

M je celková hmotnost uzavřená v povrchu ∂PROTI.

Levá strana této rovnice se nazývá tok gravitačního pole. Všimněte si, že podle zákona je vždy záporný (nebo nulový) a nikdy pozitivní. To lze porovnat s Gaussův zákon pro elektřinu, kde tok může být buď kladný nebo záporný. Rozdíl je v tom, že nabít může být pozitivní nebo negativní, zatímco Hmotnost může být pouze pozitivní.

Diferenciální forma

Diferenciální forma Gaussova zákona pro gravitační stavy

kde ${ displaystyle nabla cdot}$ označuje divergence, G je univerzální gravitační konstanta, a ρ je hustota hmoty v každém bodě.

Vztah k integrální formě

Obě formy Gaussova zákona pro gravitaci jsou matematicky ekvivalentní. The věta o divergenci uvádí:

${ displaystyle mast _ { částečné V} mathbf {g} cdot d mathbf {A} = int _ {V} nabla cdot mathbf {g} dV}$

kde PROTI je uzavřená oblast ohraničená jednoduchou uzavřenou orientovanou plochou ∂PROTI a dV je nekonečně malý díl svazku PROTI (vidět objemový integrál Více podrobností). Gravitační pole G musí být průběžně diferencovatelné vektorové pole definované na sousedství PROTI.

Vzhledem k tomu také

${ displaystyle M = int _ {V} rho dV}$

můžeme použít teorém o divergenci na integrální formu Gaussova zákona pro gravitaci, která se stává:

${ displaystyle int _ {V} nabla cdot mathbf {g} dV = -4 pi G int _ {V} rho dV}$

které lze přepsat:

${ displaystyle int _ {V} ( nabla cdot mathbf {g}) dV = int _ {V} (- 4 pi G rho) dV.}$

To musí platit současně pro každý možný svazek PROTI; jediný způsob, jak se to může stát, je, pokud jsou celá čísla stejná. Proto jsme dorazili na

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = -4 pi G rho,}$

což je diferenciální forma Gaussova zákona pro gravitaci.

Je možné odvodit celočíselnou formu z diferenciální formy pomocí reverzu této metody.

Ačkoli jsou tyto dvě formy ekvivalentní, může být vhodnější použít jednu nebo druhou v konkrétním výpočtu.

Vztah k Newtonovu zákonu

Odvození Gaussova zákona od Newtonova zákona

Z Gaussova zákona pro gravitaci lze odvodit Newtonův zákon univerzální gravitace, který uvádí, že gravitační pole v důsledku a bodová hmotnost je:

${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - GM { frac { mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}$

kde

E_r je radiální jednotkový vektor,

r je poloměr, |r|.

M je hmotnost částice, která se považuje za a bodová hmotnost nachází se na původ.

Důkaz pomocí vektorového počtu je uveden v rámečku níže. Je matematicky totožný s dokladem o Gaussův zákon (v elektrostatika ) začínající od Coulombův zákon.^[1]

Nástin důkazu: (Klikněte na tlačítko [zobrazit] vpravo.)

G(r), gravitační pole v r, lze vypočítat sečtením příspěvku do G(r) kvůli každému kousku hmoty ve vesmíru (viz princip superpozice ). Abychom to mohli udělat, začleňujeme se do všech bodů s ve vesmíru, sečtením příspěvku do G(r) spojené s hmotností (pokud existuje) při s, kde je tento příspěvek vypočítán podle Newtonova zákona. Výsledek je: ${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - G int rho ( mathbf {s}) { frac {( mathbf {r} - mathbf {s})} {| mathbf {r} - mathbf {s} | ^ {3}}} d ^ {3} mathbf {s}.}$ (d3s znamená dsXdsydsz, z nichž každá je integrována od -∞ do + ∞.) Pokud vezmeme divergenci obou stran této rovnice s ohledem na ra použijte známou větu[1] ${ displaystyle nabla cdot left ({ frac { mathbf {r}} {| mathbf {r} | ^ {3}}} right) = 4 pi delta ( mathbf {r}) }$ kde δ (r) je Diracova delta funkce, výsledek je ${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} ( mathbf {r}) = - 4 pi G int rho ( mathbf {s}) delta ( mathbf {r} - mathbf {s }) d ^ {3} mathbf {s}.}$ Pomocí „vlastnosti prosévání“ delta funkce Dirac se dostáváme k ${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} ( mathbf {r}) = - 4 pi G rho ( mathbf {r})}$ což je podle potřeby diferenciální forma Gaussova zákona pro gravitaci.

Odvození Newtonova zákona od Gaussova zákona a irrotationality

Je nemožné matematicky dokázat Newtonův zákon z Gaussova zákona sama, protože Gaussův zákon specifikuje divergenci G ale neobsahuje žádné informace týkající se kučera z G (vidět Helmholtzův rozklad ). Kromě Gaussova zákona se používá předpoklad, že G je irrotační (má nulové zvlnění), protože gravitace je a konzervativní síla:

${ displaystyle nabla times mathbf {g} = 0}$

Ani to nestačí: Hraniční podmínky zapnuty G jsou také nezbytné k prokázání Newtonova zákona, jako je předpoklad, že pole je nula nekonečně daleko od hmoty.

Důkaz Newtonova zákona z těchto předpokladů je následující:

Nástin důkazu

Začněte s integrální formou Gaussova zákona: ${ displaystyle mast _ { částečné V} mathbf {g} cdot d mathbf {A} = -4 pi GM.}$ Aplikujte tento zákon na situaci, kdy objem PROTI je koule o poloměru r soustředěný na hmotu bodu M. Je rozumné očekávat, že gravitační pole z bodové hmoty bude sféricky symetrické. (Důkaz pro jednoduchost vynecháme.) Tím, že použijeme tento předpoklad, G má následující podobu: ${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = g (r) mathbf {e_ {r}}}$ (tj. směr G je rovnoběžná se směrem ra velikost G záleží pouze na velikosti, nikoli na směru r). Připojte to a využijte skutečnost, že ∂PROTI je sférický povrch s konstantou r a oblast ${ displaystyle 4 pi r ^ {2}}$, ${ displaystyle g (r) mast _ { částečné V} mathbf {e_ {r}} cdot d mathbf {A} = -4 pi GM}$ ${ displaystyle g (r) (4 pi r ^ {2}) = - 4 pi GM}$ ${ displaystyle g (r) = - GM / r ^ {2}}$ ${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - GM { frac { mathbf {e_ {r}}} {r ^ {2}}}}$ což je Newtonův zákon.

Poissonova rovnice a gravitační potenciál

Protože gravitační pole má nulové zvlnění (ekvivalentně je gravitace a konzervativní síla ) jak je uvedeno výše, lze jej zapsat jako spád a skalární potenciál, nazvaný gravitační potenciál:

${ displaystyle mathbf {g} = - nabla phi.}$

Pak se stane diferenciální forma Gaussova zákona pro gravitaci Poissonova rovnice:

${ displaystyle nabla ^ {2} phi = 4 pi G rho.}$

To poskytuje alternativní prostředky pro výpočet gravitačního potenciálu a gravitačního pole. Ačkoli výpočetní G pomocí Poissonovy rovnice je matematicky ekvivalentní výpočtu G přímo z Gaussova zákona může být jeden nebo druhý přístup v dané situaci snadnějším výpočtem.

V radiálně symetrických systémech je gravitační potenciál funkcí pouze jedné proměnné (jmenovitě ${ displaystyle r = | mathbf {r} |}$) a stane se Poissonova rovnice (viz Del ve válcových a sférických souřadnicích ):

${ displaystyle { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} , { frac { částečné phi} { částečné r}} pravé) = 4 pi G rho (r)}$

zatímco gravitační pole je:

${ displaystyle mathbf {g} ( mathbf {r}) = - mathbf {e_ {r}} { frac { částečné phi} { částečné r}}.}$

Při řešení rovnice je třeba vzít v úvahu, že v případě konečných hustot ∂ϕ/∂r musí být spojitý na hranicích (diskontinuity hustoty) a nula pro r = 0.

Aplikace

Gaussův zákon lze použít ke snadnému odvození gravitačního pole v určitých případech, kdy by přímá aplikace Newtonova zákona byla obtížnější (ale ne nemožná). Viz článek Gaussův povrch pro více podrobností o tom, jak se tyto derivace provádějí. Tři takové aplikace jsou následující:

Bouguerova deska

Můžeme to uzavřít (pomocíGaussova krabička "), že pro nekonečný, plochý talíř (Bouguerova deska ) jakékoli konečné tloušťky, gravitační pole mimo desku je kolmé k desce, směrem k ní, s velikostí 2πG násobek hmotnosti na jednotku plochy, nezávisle na vzdálenosti k desce^[2] (viz také gravitační anomálie ).

Obecněji řečeno, pro distribuci hmoty s hustotou v závislosti na jedné karteziánské souřadnici z pouze gravitace pro všechny z je 2πG násobek rozdílu hmotnosti na jednotku plochy na obou stranách z hodnota.

Zejména paralelní kombinace dvou paralelních nekonečných desek stejné hmotnosti na jednotku plochy mezi nimi nevytváří žádné gravitační pole.

Válcově symetrické rozdělení hmoty

V případě nekonečné uniformy (v z) válcově symetrické rozdělení hmoty můžeme uzavřít (pomocí válcového Gaussův povrch ), že intenzita pole na dálku r od středu je dovnitř s velikostí 2G/r krát celková hmotnost na jednotku délky v menší vzdálenosti (od osy), bez ohledu na jakékoli hmotnosti ve větší vzdálenosti.

Například uvnitř nekonečného jednotného dutého válce je pole nulové.

Sféricky symetrické rozdělení hmoty

V případě sféricky symetrického rozdělení hmoty můžeme usuzovat (pomocí sférického Gaussův povrch ), že intenzita pole na dálku r od středu je dovnitř s velikostí G/r² krát pouze celková hmotnost na menší vzdálenost než r. Celá hmota na větší vzdálenost než r ze středu nemá žádný výsledný efekt.

Například dutá koule nevytváří uvnitř žádnou gravitační síť. Gravitační pole uvnitř je stejné, jako kdyby tam nebyla dutá koule (tj. Výsledné pole je pole všech hmot bez sféry, které mohou být uvnitř i vně koule).

Ačkoli to vyplývá z jedné nebo dvou linií algebry z Gaussova zákona pro gravitaci, trvalo to Isaacovi Newtonovi několik stránek těžkopádného počtu, aby jej odvodil přímo pomocí svého gravitačního zákona; viz článek věta o skořápce pro tuto přímou derivaci.

Odvození od Lagrangeovy

The Lagrangeova hustota Newtonova gravitace je

${ displaystyle { mathcal {L}} ({ vec {x}}, t) = - rho ({ vec {x}}, t) phi ({ vec {x}}, t) - {1 nad 8 pi G} ( nabla phi ({ vec {x}}, t)) ^ {2}}$

Přihlašování Hamiltonův princip k tomuto Lagrangeovi je výsledkem Gaussův zákon gravitace:

${ displaystyle 4 pi G rho ({ vec {x}}, t) = nabla ^ {2} phi ({ vec {x}}, t).}$

Vidět Lagrangian (teorie pole) pro detaily.

Viz také

Reference

Další čtení

• Pro použití výrazu „Gaussův zákon pro gravitaci“ viz například Moody, M. V .; Paik, H. J. (1. března 1993). "Gaussův zákonový test gravitace na krátkou vzdálenost". Dopisy o fyzické kontrole. 70 (9): 1195–1198. Bibcode:1993PhRvL..70.1195M. doi:10.1103 / PhysRevLett.70.1195. PMID  10054315.