Zakřivení neměnné (obecná relativita) - Curvature invariant (general relativity)

v obecná relativita, zakřivení invarianty jsou souborem skaláry vytvořený z Riemann, Weyl a Ricci tenzory - které představují zakřivení, odtud název, - a případně operace na nich, jako je kontrakce, kovarianční diferenciace a dualizace.

Určité invarianty vytvořené z těchto tenzorů zakřivení hrají při klasifikaci důležitou roli časoprostory. Invarianty jsou ve skutečnosti méně účinné pro rozlišení lokálněizometrické Lorentzian potrubí než jsou pro rozlišení Riemannovy rozdělovače. To znamená, že jsou ve svých aplikacích omezenější než u potrubí vybavených a pozitivní určitý metrický tenzor.

Hlavní invarianty

Hlavní invarianty Riemannova a Weylova tenzoru jsou jisté kvadratický polynomiální invarianty (tj. součty čtverců komponent).

Hlavní invarianty Riemannův tenzor čtyřrozměrného Lorentzianova potrubí jsou

1. the Kretschmann skalární ${ displaystyle K_ {1} = R_ {abcd} , R ^ {abcd}}$
2. the Chern – Pontryagin skalární ${ displaystyle K_ {2} = {{} ^ { star} R} _ {abcd} , R ^ {abcd}}$
3. the Eulerův skalární ${ displaystyle K_ {3} = {{} ^ { star} R ^ { star}} _ {abcd} , R ^ {abcd}}$

Jedná se o kvadratické polynomiální invarianty (součty čtverců komponent). (Někteří autoři definují skalár Chern – Pontryagin pomocí pravý duální místo vlevo dvojí.)

První z nich představil Erich Kretschmann. Druhá dvě jména jsou poněkud anachronická, ale protože integrály posledních dvou souvisí s instanton číslo a Eulerova charakteristika respektive mají určité odůvodnění.

Hlavní invarianty Weylův tenzor jsou

1. ${ displaystyle I_ {1} = C_ {abcd} , C ^ {abcd}}$
2. ${ displaystyle I_ {2} = {{} ^ { star} C} _ {abcd} , C ^ {abcd}}$

(Protože ${ displaystyle {{} ^ { star} C ^ { star}} _ {abcd} = - C_ {abcd}}$, není nutné definovat třetí hlavní invariant pro Weylův tenzor.)

Vztah s Ricciho rozkladem

Jak by se dalo očekávat od Ricciho rozklad Riemannova tenzoru do Weylova tenzoru plus součet tenzorů čtvrté řady zkonstruovaných z druhé řady Ricciho tenzor a od Ricci skalární, tyto dvě sady invariants jsou příbuzné (v d = 4):

${ displaystyle K_ {1} = I_ {1} +2 , R_ {ab} , R ^ {ab} - { tfrac {1} {3}} , R ^ {2}}$

${ displaystyle K_ {3} = - I_ {1} +2 , R_ {ab} , R ^ {ab} - { tfrac {2} {3}} , R ^ {2}}$

Vztah s Belovým rozkladem

Ve čtyřech rozměrech Bel rozklad Riemannova tenzoru s ohledem na vektorové pole časové jednotky ${ displaystyle { vec {X}}}$, nemusí nutně být geodetické nebo nadpovrchové ortogonální, sestává ze tří částí

1. the elektrogravitický tenzor ${ displaystyle E [{ vec {X}}] _ {ab} = R_ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$
2. the magnetogravitický tenzor ${ displaystyle B [{ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ { star} R} _ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$
3. the topogravitický tenzor ${ displaystyle L [{ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ { star} R ^ { star}} _ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n }}$

Protože to jsou všechno příčný (tj. promítnuté na prvky prostorové nadroviny kolmé na naše vektorové pole časové jednotky), mohou být reprezentovány jako lineární operátory na trojrozměrných vektorech nebo jako tři třemi reálnými maticemi. Jsou respektive symetrické, bez stopy, a symetrické (6,8,6 lineárně nezávislé komponenty, celkem 20). Píšeme-li tyto operátory jako E, B, L respektive hlavní invarianty Riemannova tenzoru se získají takto:

• ${ displaystyle K_ {1} / 4}$ je stopa E² + L² - 2 B B^T,
• ${ displaystyle -K_ {2} / 8}$ je stopa B ( E - L ),
• ${ displaystyle K_ {3} / 8}$ je stopa E L - B².

Vyjádření ve formalismu Newman – Penrose

Z hlediska Weylovy skaláry v Newman – Penroseův formalismus, hlavní invarianty Weylova tenzoru lze získat převzetím skutečné a imaginární části výrazu

${ displaystyle I_ {1} -i , I_ {2} = 16 , vlevo (3 Psi _ {2} ^ {2} + Psi _ {0} , Psi _ {4} -4 , Psi _ {1} Psi _ {3} vpravo)}$

(Ale všimněte si znaménka mínus!)

Hlavní kvadratický invariant z Ricciho tenzor, ${ displaystyle R_ {ab} , R ^ {ab}}$, lze získat jako složitější výraz zahrnující Ricciho skaláry (viz příspěvek Cherubini et al. citovaný níže).

Rozlišující Lorentzian potrubí

Důležitou otázkou týkající se invariantů zakřivení je, když lze sadu polynomiálních invariantů zakřivení použít k (lokálnímu) rozlišení variet. K tomu je nutné zahrnout invarianty vyššího řádu včetně derivátů Riemannova tenzoru, ale v případě Lorentzian je známo, že existují časoprostory, které nelze rozlišit; např Časoprostory VSI pro které všechny takové zakřivení invarianty mizí, a proto je nelze odlišit od plochého prostoru. Toto selhání schopnosti rozlišovat Lorentzianova potrubí souvisí se skutečností, že Skupina Lorentz je nekompaktní.

Stále existují příklady případů, kdy můžeme rozlišit Lorentzian variet pomocí jejich invarianty. Příklady takových jsou zcela obecné Petrovský typ Časoprostor bez vražedných vektorů, viz Coley et al. níže. Ve skutečnosti se zde zjistilo, že časoprostory, které nelze odlišit sadou zakřivovacích invariantů, jsou všechny Časoprostory Kundta.

Viz také

• Bachův tenzor, pro někdy užitečný tenzor generovaný ${ displaystyle I_ {2}}$ prostřednictvím variačního principu.
• Carminati-McLenaghan invarianty, pro sadu polynomiálních invariantů Riemannova tenzoru čtyřrozměrného Lorentzianova potrubí, o kterém je známo, že je kompletní za určitých okolností.
• Zakřivení neměnné, pro invarianty zakřivení v obecnějším kontextu.

Reference

• Cherubini, C .; Bini, D .; Capozziello, S .; Ruffini R. (2002). "Skalární invarianty druhého řádu Riemannova tenzoru: aplikace na časoprostory černé díry". Int. J. Mod. Phys. D. 11 (6): 827–841. arXiv:gr-qc / 0302095. Bibcode:2002IJMPD..11..827C. doi:10.1142 / S0218271802002037. Viz také eprint verze.
• Coley, A .; Hervik, S .; Pelavas, N. (2009). "Prostory charakterizované jejich skalárními zakřiveními invarianty". Třída. Kvantová gravitace. 26: 025013. arXiv:0901.0791. Bibcode:2009CQGra..26b5013C. doi:10.1088/0264-9381/26/2/025013.