Mathisson – Papapetrou – Dixonovy rovnice - Mathisson–Papapetrou–Dixon equations

Část série článků o
Obecná relativita
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočívej rám Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Stupnice relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​polní rovnice Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

v fyzika konkrétně obecná relativita, Mathisson – Papapetrou – Dixonovy rovnice popsat pohyb masivního rotujícího tělesa pohybujícího se v a gravitační pole. Jiné rovnice s podobnými názvy a matematickými formami jsou Mathisson – Papapetrouovy rovnice a Papapetrou – Dixonovy rovnice. Všechny tři sady rovnic popisují stejnou fyziku.

Jsou pojmenovány pro M. Mathisson,^[1] W. G. Dixon,^[2] a A. Papapetrou.^[3]

Tento článek v celém textu používá přirozené jednotky C = G = 1 a notace tenzorového indexu.

Mathisson – Papapetrou – Dixonovy rovnice

Mathisson – Papapetrou – Dixonovy (MPD) rovnice pro hmotu ${ displaystyle m}$ rotující tělo jsou

${ displaystyle { frac {Dk _ { nu}} {D tau}} + { frac {1} {2}} S ^ { lambda mu} R _ { lambda mu nu rho} V ^ { rho} = 0,}$

${ displaystyle { frac {DS ^ { lambda mu}} {D tau}} + V ^ { lambda} k ^ { mu} -V ^ { mu} k ^ { lambda} = 0 .}$

Tady ${ displaystyle tau}$ je správný čas na trajektorii, ${ displaystyle k _ { nu}}$ je moment hybnosti těla

${ displaystyle k _ { nu} = int _ {t = { rm {const}}} {T ^ {0}} _ { nu} { sqrt {g}} d ^ {3} x,}$

vektor ${ displaystyle V ^ { mu}}$ je čtyřrychlost nějakého referenčního bodu ${ displaystyle X ^ { mu}}$ v těle a šikmý symetrický tenzor ${ displaystyle S ^ { mu nu}}$ je moment hybnosti

${ displaystyle S ^ { mu nu} = int _ {t = { rm {const}}} {(x ^ { mu} -X ^ { mu}) T ^ {0 nu} - (x ^ { nu} -X ^ { nu}) T ^ {0 mu} } { sqrt {g}} d ^ {3} x}$

těla v tomto bodě. V integrálech s časovým řezem předpokládáme, že tělo je dostatečně kompaktní, abychom mohli použít ploché souřadnice uvnitř těla, kde je tenzor energie-hybnosti ${ displaystyle T ^ { mu nu}}$ je nenulová.

V současné době existuje pouze deset rovnic k určení třinácti veličin. Tato množství jsou šesti složkami ${ displaystyle S ^ { lambda mu}}$, čtyři složky ${ displaystyle k _ { nu}}$ a tři nezávislé složky ${ displaystyle V ^ { mu}}$. Rovnice musí být proto doplněna třemi dalšími omezeními, která slouží k určení, který bod v těle má rychlost ${ displaystyle V ^ { mu}}$. Mathison a Pirani se původně rozhodli uložit podmínku ${ displaystyle V ^ { mu} S _ { mu nu} = 0}$ který, i když zahrnuje čtyři komponenty, obsahuje pouze tři omezení, protože ${ displaystyle V ^ { mu} S _ { mu nu} V ^ { nu}}$ je shodně nula. Tento stav však nevede k jedinečnému řešení a může vést k záhadným „šroubovicovým pohybům“.^[4] Stav Tulczyjew – Dixon ${ displaystyle k _ { mu} S ^ { mu nu} = 0}$ dělá vést k jedinečnému řešení, protože vybírá referenční bod ${ displaystyle X ^ { mu}}$ být těžištěm těla v rámu, ve kterém je jeho hybnost ${ displaystyle (k_ {0}, k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}) = (m, 0,0,0)}$.

Přijímáme podmínku Tulczyjew – Dixon ${ displaystyle k _ { mu} S ^ { mu nu} = 0}$, můžeme manipulovat s druhou z MPD rovnic do formy

${ displaystyle { frac {DS _ { lambda mu}} {D tau}} + { frac {1} {m ^ {2}}} vlevo (S _ { lambda rho} k _ { mu } { frac {Dk ^ { rho}} {D tau}} + S _ { rho mu} k _ { lambda} { frac {Dk ^ { rho}} {D tau}} vpravo ) = 0,}$

Toto je forma Fermiho-Walkerova transportu spinového tenzoru po trajektorii - ale jedna zachovávající ortogonalitu k vektoru hybnosti ${ displaystyle k ^ { mu}}$ spíše než tečný vektor ${ displaystyle V ^ { mu} = dX ^ { mu} / d tau}$. Dixon tomu říká M-transport.

Viz také

• Úvod do matematiky obecné relativity
• Geodetická rovnice
• Pauli – Lubanski pseudovektor
• Vyzkoušejte částice
• Relativistická momentová hybnost
• Těžiště (relativistické)

Reference

Poznámky

Vybrané příspěvky

• C. Chicone; B. Mashhoon; B. Punsly (2005). "Relativistický pohyb rotujících částic v gravitačním poli". Fyzikální písmena A. 343 (1–3): 1–7. arXiv:gr-qc / 0504146. Bibcode:2005PhLA..343 .... 1C. doi:10.1016 / j.physleta.2005.05.072. hdl:10355/8357.
• N. Messios (2007). "Točení částic v prostorech s torzí". International Journal of Theoretical Physics. Obecná relativita a gravitace. 46 (3). Springer. 562–575. Bibcode:2007IJTP ... 46..562M. doi:10.1007 / s10773-006-9146-8.
• D. Singh (2008). "Analytický poruchový přístup pro klasickou dynamiku rotujících částic". International Journal of Theoretical Physics. Obecná relativita a gravitace. 40 (6). Springer. str. 1179–1192. doi:10.1007 / s10714-007-0597-x.
• L. F. O. Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). "Mathissonovy šroubovité pohyby jsou demystifikovány". AIP Conf. Proc. Sborník konferencí AIP. 1458: 367–370. arXiv:1206.7093. doi:10.1063/1.4734436.
• R. M. Plyatsko (1985). "Přidání Piraniho podmínky k Mathisson-Papapetrouovým rovnicím v Schwarzschildově poli". Sovětský fyzikální deník. 28 (7). Springer. str. 601–604. Bibcode:1985SvPhJ..28..601P. doi:10.1007 / BF00896195.
• R.R. Lompay (2005). "Odvození Mathisson-Papapetrouových rovnic z relativistické pseudomechaniky". arXiv:gr-qc / 0503054.
• R. Plyatsko (2011). „Mohou Mathisson-Papapetrouovy rovnice poskytnout vodítko pro některé problémy v astrofyzice?“. arXiv:1110.2386 [gr-qc ].
• M. Leclerc (2005). „Mathisson-Papapetrouovy rovnice v metrických a kalibračních teoriích gravitace v lagrangianské formulaci“. Klasická a kvantová gravitace. 22 (16): 3203–3221. arXiv:gr-qc / 0505021. Bibcode:2005CQGra..22.3203L. doi:10.1088/0264-9381/22/16/006.
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn; M. Fenyk (2011). „Mathisson-Papapetrou-Dixonovy rovnice v pozadí Schwarzschild a Kerr“. Klasická a kvantová gravitace. 28 (19): 195025. arXiv:1110.1967. Bibcode:2011CQGra..28s5025P. doi:10.1088/0264-9381/28/19/195025.
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn (2008). "O společných řešeních Mathissonových rovnic za různých podmínek". arXiv:0803.0121. Bibcode:2008arXiv0803.0121P. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
• R. M. Plyatsko; A. L. Vynar; Ya. N. Pelekh (1985). "Podmínky pro vznik gravitační ultrarelativistické spin-orbitální interakce". Sovětský fyzikální deník. 28 (10). Springer. str. 773–776. Bibcode:1985SvPhJ..28..773P. doi:10.1007 / BF00897946.
• K. Svirskas; K. Pyragas (1991). „Sféricky-symetrické trajektorie spinových částic v Schwarzschildově poli“. Astrofyzika a vesmírná věda. 179 (2). Springer. str. 275–283. Bibcode:1991Ap & SS.179..275S. doi:10.1007 / BF00646947.