Hyperoktaedrická skupina - Hyperoctahedral group
C.2 skupina má pořadí 8, jak je znázorněno v tomto kruhu | C.3 (Óh) skupina má pořadí 48, jak je znázorněno těmito sférické odrazové domény trojúhelníku. |
v matematika, a hyperoktaedrická skupina je důležitý typ skupiny, kterou lze realizovat jako skupina symetrií a hyperkrychle nebo a křížový mnohostěn. Pojmenoval ji Alfred Young v roce 1930. Skupiny tohoto typu jsou identifikovány parametrem n, rozměr hyperkrychle.
Jako Skupina coxeterů je typu Bn = C.na jako Weylova skupina je spojen s ortogonální skupiny ve zvláštních rozměrech. Jako produkt věnce to je kde je symetrická skupina stupně n. Jako permutační skupina, skupina je podepsaná symetrická skupina permutacíπ některý z množiny {-n, −n + 1, ..., −1, 1, 2, ..., n } nebo množiny {-n, −n + 1, ..., n } takové π(i) = −π(−i) pro všechnyi. Jako maticová skupina, lze jej popsat jako skupinu n×n ortogonální matice jejichž položky jsou všechny celá čísla. Teorii reprezentace hyperoktaedrické skupiny popsal (Mladý 1930 ) podle (Kerber 1971, str. 2).
Ve třech dimenzích je hyperoktaedrická skupina známá jako Ó×S2 kde Ó≅S4 je oktaedrická skupina, a S2 je symetrická skupina (zde a cyklická skupina ) řádu 2. Říká se, že geometrické obrazce ve třech rozměrech s touto skupinou symetrie mají oktaedrická symetrie, pojmenoval podle pravidelného osmistěn, nebo 3-orthoplex. Ve 4-dimenzích se to nazývá a hexadekachorická symetrie, po pravidelné 16 buněk, nebo 4-orthoplex. Ve dvou dimenzích je struktura hyperoktaedrické skupiny abstraktní dihedrální skupina řádu osm, popisující symetrii a náměstí nebo 2-orthoplex.
Podle dimenze
Hyperoktaedrické skupiny lze pojmenovat jako Bn, závorka nebo jako graf skupiny Coxeter:
n | Symetrie skupina | Bn | Coxeterova notace | Objednat | Zrcadla | Struktura | Příbuzný běžné polytopy | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | D4 (*4•) | B2 | [4] | 222! = 8 | 4 | Náměstí, osmiúhelník | ||
3 | Óh (*432 ) | B3 | [4,3] | 233! = 48 | 3+6 | Krychle, osmistěn | ||
4 | ±1/6[OxO] .2 [1] (O / V; O / V)* [2] | B4 | [4,3,3] | 244! = 384 | 4+12 | Tesseract, 16 buněk, 24článková | ||
5 | B5 | [4,3,3,3] | 255! = 3840 | 5+20 | 5 kostek, 5-orthoplex | |||
6 | B6 | [4,34] | 266! = 46080 | 6+30 | 6 kostek, 6-orthoplex | |||
... | ||||||||
n | Bn | [4,3n-2] | ... | 2nn! = (2n)!! | n2 | hyperkrychle, orthoplex |
Podskupiny
Existuje pozoruhodná podskupina indexu dvě, odpovídající skupině Coxeter Dn a symetrie demihypercube. Zobrazeny jako produkt věnce, existují dvě přírodní mapy od hyperoktaedrické skupiny po cyklickou skupinu řádu 2: jedna mapa pocházející z „znásobte znaky všech prvků“ (v n kopie ) a jedna mapa vycházející z parity permutace. Jejich vynásobením získáte třetí mapu . Jádro první mapy je skupina Coxeter Ve smyslu podepsané permutace Tato třetí mapa, považovaná za matice, je jednoduše určující, zatímco první dvě odpovídají „vynásobení nenulových položek“ a „paritě podkladové (nepodepsané) permutace“, které pro matice obecně nemají smysl, ale jsou v případě kvůli shodě s produktem věnce.
Jádra těchto tří map jsou všechna tři index dvě podskupiny hyperoktaedrické skupiny, jak je popsáno v H1: Abelianizace níže a jejich průsečík je odvozená podskupina, indexu 4 (kvocient Kleinovy 4-skupiny), který odpovídá rotační symetrii demihypercube.
V opačném směru je střed podskupina skalárních matic, {± 1}; geometricky, kvocientování tímto odpovídá přechodu na projektivní ortogonální skupina.
V dimenzi 2 tyto skupiny zcela popisují hyperoktaedrickou skupinu, kterou je dihedrální skupina Dih4 objednávky 8, a je příponou 2.V (skupiny 4 cyklickou skupinou řádu 2). Obecně platí, že přechod do subkvotentu (odvozená podskupina, střed módu) je skupina symetrie projektivní demihyperkrychle.
The hyperoktaedrický podskupina, Dn podle rozměru:
n | Symetrie skupina | Dn | Coxeterova notace | Objednat | Zrcadla | Související polytopy | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | D2 (*2•) | D2 | [2] = [ ]×[ ] | 4 | 2 | Obdélník | |
3 | Td (*332 ) | D3 | [3,3] | 24 | 6 | čtyřstěn | |
4 | ±1/3[TxT].2 [3] (T / V; T / V)−* [4] | D4 | [31,1,1] | 192 | 12 | 16 buněk | |
5 | D5 | [32,1,1] | 1920 | 20 | 5-demicube | ||
6 | D6 | [33,1,1] | 23040 | 30 | 6-demicube | ||
... n | Dn | [3n-3,1,1] | ... | 2n-1n! | n (n-1) | demihypercube |
The chirální hyperoktaedrická symetrie, je přímá podskupina, index 2 hyperoktaedrické symetrie.
n | Symetrie skupina | Coxeterova notace | Objednat | |
---|---|---|---|---|
2 | C4 (4•) | [4]+ | 4 | |
3 | Ó (432 ) | [4,3]+ | 24 | |
4 | 1/6[O × O] .2 [5] (O / V; O / V) [6] | [4,3,3]+ | 192 | |
5 | [4,3,3,3]+ | 1920 | ||
6 | [4,3,3,3,3]+ | 23040 | ||
... n | [4,(3n-2)+] | ... | 2n-1n! |
Lze volat další významnou podskupinu indexu 2 hyperpyritohedrální symetrie, podle rozměru:[7] Tyto skupiny mají n ortogonální zrcadla v n-rozměry.
n | Symetrie skupina | Coxeterova notace | Objednat | Zrcadla | Související polytopy | |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | D2 (*2•) | [4,1+]=[2] | 4 | 2 | Obdélník | |
3 | Th (3*2 ) | [4,3+] | 24 | 3 | potlačit osmistěn | |
4 | ±1/3[T × T] .2 [8] (T / V; T / V)* [9] | [4,(3,3)+] | 192 | 4 | potlačit 24 buněk | |
5 | [4,(3,3,3)+] | 1920 | 5 | |||
6 | [4,(3,3,3,3)+] | 23040 | 6 | |||
... n | [4,(3n-2)+] | ... | 2n-1n! | n |
Homologie
The skupinová homologie hyperoktaedrická skupina je podobná skupině symetrické a vykazuje stabilizaci ve smyslu stabilní homotopická teorie.
H1: abelianizace
První homologická skupina, která souhlasí s abelianizace, stabilizuje se na Kleinova čtyřčlenná skupina, a je dán vztahem:
To je snadno vidět přímo: prvky jsou pořadí 2 (pro které není prázdné ) a všechny konjugované, stejně jako transpozice v (který není prázdný pro ), a to jsou dvě samostatné třídy. Tyto prvky generují skupinu, takže jedinou netriviální abelianizací jsou 2 skupiny a kteroukoli z těchto tříd lze poslat nezávisle na protože jsou to dvě samostatné třídy. Mapy jsou výslovně uvedeny jako "součin znaků všech prvků" (v EU) n kopie ) a znak permutace. Jejich vynásobením získáte třetí netriviální mapu ( určující matice, která odesílá obě tyto třídy do ) a společně s triviální mapou tvoří 4-skupinu.
H2: Schurovy multiplikátory
Druhá skupina homologie, klasicky známá jako Multiplikátory Schur, byly vypočítány v (Ihara a Yokonuma 1965 ).
Oni jsou:
Poznámky
Reference
- Miller, G. A. (1918). Msgstr "Skupiny tvořené speciálními maticemi". Býk. Dopoledne. Matematika. Soc. 24 (4): 203–206. doi:10.1090 / S0002-9904-1918-03043-7.
- Patrick du Val, Homografie, čtveřice a rotace (1964)
- Ihara, Shin-ichiro; Yokonuma, Takeo (1965), „O druhých kohomologických skupinách (Schurových multiplikátorech) skupin konečné reflexe“, Časopis Přírodovědecké fakulty. Tokijská univerzita. Oddíl IA. Matematika, 11: 155–171, ISSN 0040-8980, PAN 0190232
- Kerber, Adalbert (1971), Zastoupení permutačních skupin. JáPřednášky z matematiky, 240, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, PAN 0325752
- Kerber, Vojtěch (1975), Zastoupení permutačních skupin. IIPřednášky z matematiky, 495, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0085740, ISBN 978-3-540-07535-6, PAN 0409624
- Mladý, Alfrede (1930), „Kvantitativní substituční analýza 5“, Proceedings of the London Mathematical Society, Řada 2, 31: 273–288, doi:10.1112 / plms / s2-31.1.273, ISSN 0024-6115, JFM 56.0135.02
- H.S.M. Coxeter a W. O. J. Moser. Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny 4. vydání, Springer-Verlag. New York. 1980, str. 92, str. 122
- Baake, M. (1984). "Struktura a reprezentace hyperoktaedrické skupiny". J. Math. Phys. 25 (11): 3171. doi:10.1063/1.526087.
- Stembridge, John R. (1992). "Projektivní reprezentace hyperoktaedrické skupiny". J. Algebra. 145 (2): 396–453. doi:10.1016/0021-8693(92)90110-8. hdl:2027.42/30235.
- Coxeter, Krása geometrie: Dvanáct esejů (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8
- John Horton Conway, Na čtveřicích a oktonionech (2003)