Welchs t-test - Welchs t-test - Wikipedia

v statistika, Welch t-testnebo nerovné odchylky t-test, je dva vzorky test polohy který se používá k testování hypotézy, že dva populace mít stejné prostředky. Je pojmenován podle svého tvůrce, Bernard Lewis Welch a je adaptací Studentské t-test,^[1] a je spolehlivější, když mají dva vzorky nerovnoměrné odchylky a / nebo nerovnoměrné velikosti vzorků.^[2][3] Tyto testy se často označují jako „nepárové“ nebo „nezávislé vzorky“ t-testy, protože se obvykle používají, když se statistické jednotky, které jsou základem dvou porovnávaných vzorků, nepřekrývají. Vzhledem k tomu, že je to Welch t-test byl méně populární než Studentův t-test^[2] a může být čtenářům méně známý, informativnější název je „Welchovy nerovné odchylky t-test "- nebo" nerovné odchylky t-test "pro stručnost.^[3]

Předpoklady

Studentské t-test předpokládá, že výběrový průměr (statistika testu) dvou distribuovaných populačních distribucí je normálně distribuován se stejnou odchylkou. Welch t-test je určen pro nerovnoměrnou rozptyl distribuce vzorku, ale předpoklad normality distribuce vzorku je zachován^[1]. Welch t-test je přibližné řešení k Behrens – Fisherův problém.

Výpočty

Welch t-test definuje statistiku t podle následujícího vzorce:

${ displaystyle t quad = quad {; { overline {X}} _ {1} - { overline {X}} _ {2} ; přes { sqrt {; {s_ {1} ^ {2} přes N_ {1}} ; + ; {s_ {2} ^ {2} přes N_ {2}} quad}}} ,}$

kde ${ displaystyle { overline {X}} _ {j}}$, ${ displaystyle s_ {j}}$ a ${ displaystyle N_ {j}}$ jsou ${ displaystyle j ^ {th}}$ průměr vzorku, vzorek standardní odchylka a velikost vzorku, respektive ${ displaystyle j in {1,2 }}$. Na rozdíl od v Studentské t-test, jmenovatelem je ne na základě a sdružená varianta odhad.

The stupně svobody ${ displaystyle nu}$ spojené s tímto odhadem odchylky je aproximováno pomocí Welch – Satterthwaitova rovnice:

${ displaystyle nu quad přibližně quad {{ left (; {s_ {1} ^ {2} přes N_ {1}} ; + ; {s_ {2} ^ {2} přes N_ {2}} ; right) ^ {2}} přes { quad {s_ {1} ^ {4} přes N_ {1} ^ {2} nu _ {1}} ; + ; {s_ {2} ^ {4} přes N_ {2} ^ {2} nu _ {2}} quad}}}$

Tady ${ displaystyle nu _ {1} = N_ {1} -1}$, stupně volnosti spojené s prvním odhadem odchylky. ${ displaystyle nu _ {2} = N_ {2} -1}$, stupně volnosti spojené s odhadem 2. rozptylu.

Statistika je přibližně z t-distribuce protože máme aproximaci distribuce chí-kvadrát. Tuto aproximaci je lepší provést, když obojí ${ displaystyle N_ {1}}$ a ${ displaystyle N_ {2}}$ jsou větší než 5.^[4][5]

Statistický test

Jednou t a ${ displaystyle nu}$ byly vypočítány, lze tyto statistiky použít s t-rozdělení otestovat jeden ze dvou možných nulové hypotézy:

• že tyto dva populační prostředky jsou stejné, ve kterém a dvoustranný test je použito; nebo
• že jeden z populačních prostředků je větší nebo roven druhému, ve kterém a jednostranný test je použito.

Přibližné stupně volnosti jsou zaokrouhleny dolů na nejbližší celé číslo.^{[Citace je zapotřebí ]}

Výhody a omezení

Welch t-test je robustnější než Studentův t-testovat a udržovat chybovost typu I. téměř nominální pro nerovné odchylky a pro nerovné velikosti vzorků za normálních podmínek. Kromě toho Napájení Welchova t-test se blíží tomu Studentovu t-test, i když jsou odchylky populace stejné a velikosti vzorků jsou vyvážené.^[2] Welch t-test lze zobecnit na více než 2 vzorky,^[6] což je robustnější než jednosměrná analýza rozptylu (ANOVA).

to je nedoporučeno předběžně otestovat stejné odchylky a poté zvolit mezi Studentovými t-test nebo Welchův t-test.^[7] Spíše Welch t-test lze aplikovat přímo a bez jakýchkoli podstatných nevýhod na Studentův t-test, jak je uvedeno výše. Welch t-test zůstává robustní pro šikmé distribuce a velké velikosti vzorků.^[8] Spolehlivost klesá u zkosených distribucí a menších vzorků, kde by člověk mohl provádět Welchovo t-test.^[9]

Příklady

Následující tři příklady porovnávají Welchův t-test a student t-test. Vzorky pocházejí z náhodných normálních distribucí pomocí Programovací jazyk R..

U všech tří příkladů byly populační prostředky ${ displaystyle mu _ {1} = 20}$ a ${ displaystyle mu _ {2} = 22}$.

První příklad je pro stejné odchylky (${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = sigma _ {2} ^ {2} = 4}$) a stejné velikosti vzorku (${ displaystyle N_ {1} = N_ {2} = 15}$). Nechť A1 a A2 označují dva náhodné vzorky:

${ displaystyle A_ {1} = {27.5,21.0,19.0,23.6,17.0,17.9,16.9,20.1,21.9,22.6,23.1,19.6,19.0,21.7,21.4 }}$

${ displaystyle A_ {2} = {27.1,22.0,20.8,23.4,23.4,23.5,25.8,22.0,24.8,20.2,21,9,22,1,22,9,20,5,24,4 }}$

Druhý příklad je určen pro nerovné odchylky (${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = 16}$, ${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2} = 1}$) a nerovné velikosti vzorků (${ displaystyle N_ {1} = 10}$, ${ displaystyle N_ {2} = 20}$). Menší vzorek má větší rozptyl:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} A_ {1} & = {17.2,20.9,22.6,18.1,21.7,21.4,23.5,24.2,14.7,21.8 } A_ {2} & = {21.5, 22,8,21,0,23,0,21,6,23,6,22,5,20,7,23,4,21,8,20,7,21,7,21,5,22,5,23,6,21,5,22,5,23,5,21,5,21,8 } end {zarovnáno}}}$

Třetí příklad je pro nerovné odchylky (${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2} = 1}$, ${ displaystyle sigma _ {2} ^ {2} = 16}$) a nerovné velikosti vzorků (${ displaystyle N_ {1} = 10}$, ${ displaystyle N_ {2} = 20}$). Větší vzorek má větší rozptyl:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} A_ {1} & = {19.8,20.4,19.6,17.8,18.5,18.9,18.3,18.9,19.5,22.0 } A_ {2} & = {28.2, 26.6,20,1,23,3,25,2,22,1,17,7,27,6,20,6,13,7,23,2,17,5,20,6,18,0,23,9,21,6,24,3,20,4,24,0,13,2 } end {zarovnáno}}}$

Referenční hodnoty p byly získány simulací distribucí t statistika pro nulovou hypotézu průměrných populačních průměrů (${ displaystyle mu _ {1} - mu _ {2} = 0}$). Výsledky jsou shrnuty v tabulce níže s dvoustrannými hodnotami p:

	Ukázka A1			Ukázka A2			Studentské t-test				Welch t-test
Příklad	${ displaystyle N_ {1}}$	${ displaystyle { overline {X}} _ {1}}$	${ displaystyle s_ {1} ^ {2}}$	${ displaystyle N_ {2}}$	${ displaystyle { overline {X}} _ {2}}$	${ displaystyle s_ {2} ^ {2}}$	${ displaystyle t}$	${ displaystyle nu}$	${ displaystyle P}$	${ displaystyle P _ { mathrm {sim}}}$	${ displaystyle t}$	${ displaystyle nu}$	${ displaystyle P}$	${ displaystyle P _ { mathrm {sim}}}$
1	15	20.8	7.9	15	23.0	3.8	−2.46	28	0.021	0.021	−2.46	24.9	0.021	0.017
2	10	20.6	9.0	20	22.1	0.9	−2.10	28	0.045	0.150	−1.57	9.9	0.149	0.144
3	10	19.4	1.4	20	21.6	17.1	−1.64	28	0.110	0.036	−2.22	24.5	0.036	0.042

Welch t-test a student t-test poskytl stejné výsledky, když mají dva vzorky identické odchylky a velikosti vzorků (příklad 1). Ale vezměte na vědomí, že pokud vzorkujete data z populací se stejnými odchylkami, budou se rozptyly vzorků lišit, stejně jako výsledky dvou t-testů. Takže se skutečnými údaji budou tyto dva testy téměř vždy poskytovat poněkud odlišné výsledky.

Pro nerovné odchylky, Student's t-test poskytl nízkou hodnotu p, když měl menší vzorek větší rozptyl (příklad 2) a vysokou hodnotu p, když měl větší vzorek větší rozptyl (příklad 3). Pro nerovné odchylky, Welch's t-test dal p-hodnoty blízké simulovaným p-hodnotám.

Softwarové implementace

Viz také

• Studentské t-test
• Z-test
• Faktoriální experiment
• Jednosměrná analýza rozptylu
• Statistika Hotellingu se dvěma vzorky ve tvaru T na druhou, vícerozměrné rozšíření Welch's t-test

Reference