Slutského věta - Slutskys theorem - Wikipedia

v teorie pravděpodobnosti, Slutského věta rozšiřuje některé vlastnosti algebraických operací na konvergentní sekvence z reálná čísla na sekvence náhodné proměnné.^[1]

Věta byla pojmenována po Eugen Slutsky.^[2] Slutského teorém je také přičítán Harald Cramér.^[3]

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle X_ {n}, Y_ {n}}$ být sekvence skalární / vektor / matice náhodné prvky.Li ${ displaystyle X_ {n}}$ konverguje v distribuci na náhodný prvek ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y_ {n}}$ konverguje v pravděpodobnosti na konstantu ${ displaystyle c}$ , pak

${ displaystyle X_ {n} + Y_ {n} { xrightarrow {d}} X + c;}$
${ displaystyle X_ {n} Y_ {n} xrightarrow {d} Xc;}$
${ displaystyle X_ {n} / Y_ {n} { xrightarrow {d}} X / c,}$ pokud C je invertibilní,

kde ${ displaystyle { xrightarrow {d}}}$ označuje konvergence v distribuci.

Poznámky:

Požadavek, že Y_n konverguje na konstantu je důležité - pokud by konvergovalo na nedegenerovanou náhodnou proměnnou, věta by již nebyla platná. Například nechte ${ displaystyle X_ {n} sim { rm {Uniform}} (0,1)}$ a ${ displaystyle Y_ {n} = - X_ {n}}$ . Součet ${ displaystyle X_ {n} + Y_ {n} = 0}$ pro všechny hodnoty n. Navíc, ${ displaystyle Y_ {n} { xrightarrow {d}} { rm {Uniform}} (- 1,0)}$ , ale ${ displaystyle X_ {n} + Y_ {n}}$ nekonverguje v distribuci do ${ displaystyle X + Y}$ , kde ${ displaystyle X sim { rm {Uniform}} (0,1)}$ , ${ displaystyle Y sim { rm {Uniform}} (- 1,0)}$ , a ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou nezávislé.^[4]
Věta zůstane platná, pokud nahradíme všechny konvergence v distribuci konvergencemi v pravděpodobnosti.

Důkaz

Tato věta vyplývá ze skutečnosti, že pokud X_n konverguje v distribuci do X a Y_n konverguje v pravděpodobnosti na konstantu C, pak společný vektor (X_n, Y_n) konverguje v distribuci na (X, C) (viz zde ).

Dále použijeme věta o spojitém mapování, rozpoznávající funkce G(X,y) = X + y, G(X,y) = xy, a G(X,y) = X y⁻¹ jsou spojité (aby byla poslední funkce spojitá, y musí být invertibilní).

Viz také

Konvergence náhodných proměnných

Reference

^ Goldberger, Arthur S. (1964). Ekonometrická teorie. New York: Wiley. str.117 –120.
^ Slutsky, E. (1925). „Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte“. Metron (v němčině). 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03.
^ Slutského věta se také nazývá Cramér Věta podle poznámky 11.1 (strana 249) ze dne Gut, Allan (2005). Pravděpodobnost: postgraduální kurz. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.
^ Vidět Zeng, Donglin (podzim 2018). "Velká ukázková teorie náhodných proměnných (přednášky)" (PDF). Pokročilá pravděpodobnost a statistická inference I (BIOS 760). University of North Carolina at Chapel Hill. Snímek 59.

Další čtení

Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistická inference. Pacific Grove: Duxbury. 240–245. ISBN 0-534-24312-6.
Grimmett, G .; Stirzaker, D. (2001). Pravděpodobnost a náhodné procesy (3. vyd.). Oxford.
Hayashi, Fumio (2000). Ekonometrie. Princeton University Press. str. 92–93. ISBN 0-691-01018-8.

[1] Goldberger, Arthur S. (1964). Ekonometrická teorie. New York: Wiley. str.117 –120.

[2] Slutsky, E. (1925). „Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte“. Metron (v němčině). 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03.

[3] Slutského věta se také nazývá Cramér Věta podle poznámky 11.1 (strana 249) ze dne Gut, Allan (2005). Pravděpodobnost: postgraduální kurz. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.

[4] Vidět Zeng, Donglin (podzim 2018). "Velká ukázková teorie náhodných proměnných (přednášky)" (PDF). Pokročilá pravděpodobnost a statistická inference I (BIOS 760). University of North Carolina at Chapel Hill. Snímek 59.

[1]

[2]

[3]

[4]