Věta o Green-Tao - Green–Tao theorem
v teorie čísel, Věta o Green-Tao, prokázáno Ben Green a Terence Tao v roce 2004 uvádí, že sled prvočísla obsahuje libovolně dlouhý aritmetické průběhy. Jinými slovy, pro každé přirozené číslo k, existují aritmetický průběh prvočísel s k podmínky. Důkazem je rozšíření Szemerédiho věta. Problém lze vysledovat zpět k vyšetřování Lagrange a Waring z doby kolem roku 1770.[1]
Prohlášení
Nechat označte počet prvočísel menší nebo rovný . Li je podmnožina prvočísel taková, že
- ,
pak pro všechna kladná celá čísla , sada obsahuje nekonečně mnoho aritmetických průběhů délky . Zejména celá sada prvočísel obsahuje libovolně dlouhé aritmetické postupy.
Ve své pozdější práci na generalizované Hardy – domněnka Littlewood Green a Tao uvedli a podmíněně prokázali asymptotický vzorec
pro počet k n-tice prvočísel v aritmetickém postupu.[2] Tady, je konstanta
- .
Výsledek učinil Green – Tao bezpodmínečným [3] a Green – Tao – Ziegler.[4]
Přehled důkazu
Green and Tao's proof has three main components:
- Szemerédiho věta, který tvrdí, že podmnožiny celých čísel s kladnou horní hustotou mají libovolně dlouhé aritmetické průběhy. To není a priori platí pro prvočísla, protože prvočísla mají v celých číslech hustotu nula.
- Princip přenosu, který rozšiřuje Szemerédiho teorém na podmnožiny celých čísel, které jsou ve vhodném smyslu pseudonáhodné. Takový výsledek se nyní nazývá relativní Szemerédiho věta.
- Pseudonáhodná podmnožina celých čísel obsahující prvočísla jako hustou podmnožinu. K sestavení této sady použili Green a Tao nápady z prací Goldstona, Pintze a Yıldırıma na hlavní mezery.[5] Jakmile je stanovena pseudonáhodnost sady, může být použit princip přenosu, čímž se dokončí důkaz.
Četná zjednodušení argumentu v původním článku[1] byl nalezen. Conlon, Fox & Zhao (2014) poskytnout moderní výklad důkazu.
Numerická práce
Důkaz věty o Green-Tao neukazuje, jak najít postup prvočísel; pouze to dokazuje, že existují. K nalezení velkých aritmetických postupů v prvočíslech byla provedena samostatná výpočetní práce.
Dokument Green-Tao uvádí: „V době psaní je nejdelší známý aritmetický postup prvočísel dlouhý 23 a byl nalezen v roce 2004 Markusem Frindem, Paulem Underwoodem a Paulem Joblingem: 56211383760397 + 44546738095860 · k; k = 0, 1,. . ., 22. '.
18. ledna 2007 našel Jarosław Wróblewski první známý případ 24 prvočísla v aritmetické posloupnosti:[6]
- 468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n, pro n = 0 až 23.
Konstanta 223092870 je zde součinem prvočísel až 23 (viz primitivní ).
17. května 2008 našli Wróblewski a Raanan Chermoni první známý případ 25 prvočísel:
- 6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · n, pro n = 0 až 24.
12. dubna 2010 Benoãt Perichon se softwarem Wróblewského a Geoffa Reynoldse v distribuovaném PrimeGrid projekt našel první známý případ 26 prvočísel (sekvence A204189 v OEIS ):
- 43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n, pro n = 0 až 25.
Rozšíření a zobecnění
Mnoho z rozšíření Szemerédiho věty počkejte také na prvočísla.
Nezávisle na Tao a Zieglerovi[7] a Cook, Magyar a Titichetrakun[8][9] odvodil vícerozměrné zobecnění věty o Green-Tao. Důkaz o Tao-Zieglerovi zjednodušili také Fox a Zhao.[10]
V roce 2006 Tao a Ziegler rozšířili větu Green – Tao o polynomiální postupnosti.[11][12] Přesněji řečeno, jakýkoli celočíselné polynomy P1,..., Pk v jedné neznámé m vše s konstantním členem 0, existuje nekonečně mnoho celých čísel X, m takhle X + P1(m), ..., X + Pk(m) jsou současně prime. Zvláštní případ, kdy jsou polynomy m, 2m, ..., km znamená předchozí výsledek, že existují délky k aritmetický průběh prvočísel.
Tao se ukázalo jako analogie věty Green – Tao pro Gaussovy prvočísla.[13]
Viz také
- Erdőova domněnka o aritmetických postupech
- Dirichletova věta o aritmetických postupech
- Aritmetická kombinatorika
Reference
- ^ A b Zelená, Ben; Tao, Terence (2008). "Prvočísla obsahují libovolně dlouhé aritmetické průběhy". Annals of Mathematics. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT / 0404188. doi:10.4007 / annals.2008.167.481. PAN 2415379..
- ^ Zelená, Ben; Tao, Terence (2010). "Lineární rovnice v prvočíslech". Annals of Mathematics. 171 (3): 1753–1850. arXiv:matematika / 0606088. doi:10.4007 / annals.2010.171.1753. PAN 2680398.
- ^ Zelená, Ben; Tao, Terence (2012). "Möbiova funkce je silně kolmá k nilsequences". Annals of Mathematics. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. doi:10.4007 / annals.2012.175.2.3. PAN 2877066.
- ^ Zelená, Ben; Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2012). "Inverzní věta pro Gowers Us + 1 [N] -norm". Annals of Mathematics. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. doi:10.4007 / annals.2012.176.2.11. PAN 2950773.
- ^ Goldston, Daniel A .; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. (2009). „Připravuje v n-ticích. Já.“ Annals of Mathematics. 170 (2): 819–862. arXiv:matematika / 0508185. doi:10.4007 / annals.2009.170.819. PAN 2552109.
- ^ Andersen, Jens Kruse. „Připraví se v aritmetických záznamech o postupu“. Citováno 2015-06-27.
- ^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2015). „Vícerozměrná Szemerédiho věta pro prvočísla prostřednictvím principu korespondence“. Israel J. Math. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. doi:10.1007 / s11856-015-1157-9. PAN 3358045.
- ^ Cook, Brian; Magyar, Ákos (2012). "Souhvězdí v ". Int. Matematika. Res. Ne. IMRN. 2012 (12): 2794–2816. doi:10.1093 / imrn / rnr127. PAN 2942710.
- ^ Cook, Brian; Magyar, Ákos; Titichetrakun, Tatchai (2015). „Multidimenzionální Szemerédiho věta v prvočíslech“. arXiv:1306.3025 [math.NT ].
- ^ Fox, Jacob; Zhao, Yufei (2015). „Krátký důkaz vícerozměrné Szemerédiho věty v prvočíslech“. Amer. J. Math. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. doi:10.1353 / ajm.2015.0028. PAN 3372317.
- ^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008). Msgstr "Prvočísla obsahují libovolně dlouhé polynomiální průběhy". Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math.NT / 0610050. doi:10.1007 / s11511-008-0032-5. PAN 2461509.
- ^ Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2013). „Erratum na„ Prvočísla obsahují libovolně dlouhé polynomiální průběhy ““. Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. doi:10.1007 / s11511-013-0097-7. PAN 3070570.
- ^ Tao, Terence (2006). „Gaussovy prvočísla obsahují libovolně tvarovaná souhvězdí“. J. Anal. Matematika. 99 (1): 109–176. arXiv:matematika / 0501314. doi:10.1007 / BF02789444. PAN 2279549.
Další čtení
- Conlon, David; Fox, Jacobe; Zhao, Yufei (2014). „Věta Green – Tao: výklad“. Průzkumy EMS v matematických vědách. 1 (2): 249–282. arXiv:1403.2957. doi:10,4171 / EMSS / 6. PAN 3285854.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Gowers, Timothy (2010). "Dekompozice, přibližná struktura, přenos a Hahn-Banachova věta". Bulletin of London Mathematical Society. 42 (4): 573–606. arXiv:0811.3103. doi:10.1112 / blms / bdq018. PAN 2669681.
- Green, Ben (2007). "Dlouhý aritmetický postup prvočísel". Vévoda, William; Tschinkel, Yuri (eds.). Teorie analytických čísel. Clay Mathematics Proceeding. 7. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9. PAN 2362199.
- Hostitel, Bernard (2006). „Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)“ [Aritmetický postup v prvočíslech (po B. Greenovi a T. Taoovi)] (PDF). Astérisque (ve francouzštině) (307): 229–246. PAN 2296420.
- Kra, Bryno (2006). „Věta Green – Tao o aritmetických postupech v prvočíslech: ergodické hledisko“. Bulletin of the American Mathematical Society . 43 (1): 3–23. doi:10.1090 / S0273-0979-05-01086-4. PAN 2188173.
- Tao, Terence (2006). „Aritmetické průběhy a prvočísla“. Collectanea Mathematica. Sv. Extra: 37–88. PAN 2264205. Archivovány od originál dne 2015-08-05. Citováno 2015-06-05.
- Tao, Terence (2006). "Překážky uniformity a aritmetické vzorce v prvočíslech". Čistá a aplikovaná matematika čtvrtletně. 2 (2): 395–433. arXiv:matematika / 0505402. doi:10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a2. PAN 2251475.
- Tao, Terence (01.01.2008). „Přednáška AMS: Struktura a náhodnost v prvočíslech“.