Fermatův kvocient - Fermat quotient

v teorie čísel, Fermatův kvocient z celé číslo A s ohledem na zvláštní primární p je definován jako:^[1][2][3][4]

${displaystyle q_ {p} (a) = {frac {a ^ {p-1} -1} {p}}.}$

nebo

${displaystyle delta _ {p} (a) = {frac {a-a ^ {p}} {p}}}$.

Tento článek je o prvním. Pro druhé viz p-derivace. Kvocient je pojmenován po Pierre de Fermat.

Pokud základna A je coprime exponentovi p pak Fermatova malá věta říká to q_p(A) bude celé číslo. Pokud základna A je také a generátor z multiplikativní skupina celých čísel modulo p, pak q_p(A) bude a cyklické číslo, a p bude plný reptend prime.

Vlastnosti

Z definice je zřejmé, že

${displaystyle {egin {aligned} q_ {p} (1) & equiv 0 && {pmod {p}} q_ {p} (- a) & equiv q_ {p} (a) && {pmod {p}} quad ({ext {since}} 2mid p-1) end {aligned}}}$

V roce 1850 Gotthold Eisenstein dokázal, že pokud A a b jsou oba coprime p, pak:^[5]

${displaystyle {egin {aligned} q_ {p} (ab) & equiv q_ {p} (a) + q_ {p} (b) && {pmod {p}} q_ {p} (a ^ {r}) & equiv rq_ {p} (a) && {pmod {p}} q_ {p} (pmp a) & equiv q_ {p} (a) pm {frac {1} {a}} && {pmod {p}} q_ {p} (pmp 1) & equiv pm 1 && {pmod {p}} konec {zarovnáno}}}$

Eisenstein přirovnal první dvě z těchto kongruencí k vlastnostem logaritmy. Tyto vlastnosti naznačují

${displaystyle {egin {aligned} q_ {p} left ({frac {1} {a}} ight) & equiv -q_ {p} (a) && {pmod {p}} q_ {p} left ({frac { a} {b}} ight) & equiv q_ {p} (a) -q_ {p} (b) && {pmod {p}} konec {zarovnáno}}}$

V roce 1895 Dmitrij Mirimanoff poukázal na to, že iterace Eisensteinových pravidel vyplývá z toho:^[6]

${displaystyle q_ {p} (a + np) equiv q_ {p} (a) -ncdot {frac {1} {a}} {pmod {p}}.}$

Z toho vyplývá, že:^[7]

${displaystyle q_ {p} left (a + np ^ {2} ight) equiv q_ {p} (a) {pmod {p}}.}$

Lerchův vzorec

M. Lerch v roce 1905 to prokázal^[8][9][10]

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {p-1} q_ {p} (j) equiv W_ {p} {pmod {p}}.}$

Tady ${displaystyle W_ {p}}$ je Wilsonův kvocient.

Speciální hodnoty

Eisenstein objevil, že Fermatův kvocient se základnou 2 lze vyjádřit jako součet recipročního režimu p z čísel ležících v první polovině rozsahu {1, ..., p − 1}:

${displaystyle -2q_ {p} (2) ekviv. součet _ {k = 1} ^ {frac {p-1} {2}} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$

Pozdější autoři ukázali, že počet výrazů požadovaných v takovém zastoupení lze snížit z 1/2 na 1/4, 1/5 nebo dokonce 1/6:

${displaystyle -3q_ {p} (2) ekviv. součet _ {k = 1} ^ {lfloor {frac {p} {4}} podlaha} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$^[11]

${displaystyle 4q_ {p} (2) ekviv. součet _ {k = lfloor {frac {p} {10}} patro +1} ^ {lfloor {frac {2p} {10}} patro} {frac {1} {k }} + součet _ {k = lfloor {frac {3p} {10}} patro +1} ^ {lfloor {frac {4p} {10}} patro} {frac {1} {k}} {pmod {p} }.}$^[12]

${displaystyle 2q_ {p} (2) ekviv. součet _ {k = lfloor {frac {p} {6}} patro +1} ^ {lfloor {frac {p} {3}} patro} {frac {1} {k }} {pmod {p}}.}$^[13][14]

Eisensteinova řada má také stále komplexnější souvislost s Fermatovými kvocienty s jinými základnami, přičemž prvních několik příkladů je:

${displaystyle -3q_ {p} (3) equiv 2sum _ {k = 1} ^ {lfloor {frac {p} {3}} floor} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$^[15]

${displaystyle -5q_ {p} (5) equiv 4sum _ {k = 1} ^ {lfloor {frac {p} {5}} floor} {frac {1} {k}} + 2sum _ {k = lfloor {frac {p} {5}} patro +1} ^ {lfloor {frac {2p} {5}} patro} {frac {1} {k}} {pmod {p}}.}$^[16]

Zobecněné Wieferichovy prvočísla

Li q_p(A) ≡ 0 (mod p) pak A^p-1 ≡ 1 (mod p²). Pro prvočísla, pro které to platí A = 2 jsou volána Wieferich připravuje. Obecně se jim říká Wieferich připravuje základnu a. Známá řešení q_p(A) ≡ 0 (mod p) pro malé hodnoty A jsou:^[2]

A	p (zkontrolováno až 5 × 1013)	OEIS sekvence
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (Všechna prvočísla)	A000040
2	1093, 3511	A001220
3	11, 1006003	A014127
4	1093, 3511
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801	A123692
6	66161, 534851, 3152573	A212583
7	5, 491531	A123693
8	3, 1093, 3511
9	2, 11, 1006003
10	3, 487, 56598313	A045616
11	71
12	2693, 123653	A111027
13	2, 863, 1747591	A128667
14	29, 353, 7596952219	A234810
15	29131, 119327070011	A242741
16	1093, 3511
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351	A128668
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043	A244260
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489	A090968
20	281, 46457, 9377747, 122959073	A242982
21	2
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159	A298951
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329	A128669
24	5, 25633
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707
27	11, 1006003
28	3, 19, 23
29	2
30	7, 160541, 94727075783

Další informace viz ^[17][18][19] a.^[20]

Nejmenší řešení q_p(A) ≡ 0 (mod p) s A = n jsou:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (sekvence A039951 v OEIS )

Pár (p, r) prvočísel taková q_p(r) ≡ 0 (mod p) a q_r(p) ≡ 0 (mod r) se nazývá a Wieferichův pár.

Reference

externí odkazy

• Gottfried Helms. Fermatové / Eulerovy kvocienty (A^p-1 – 1)/p^k s libovolným k.
• Richard Fischer. Fermatovy kvocienty B ^ (P-1) == 1 (mod P ^ 2).