Iwahori – Hecke algebra - Iwahori–Hecke algebra

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice je Iwahori – Hecke algebranebo Hecke algebra, pojmenovaný pro Erich Hecke a Nagayoshi Iwahori, je deformace skupinová algebra a Skupina coxeterů.

Hecke algebry jsou kvocienty skupinových kruhů Artin copánky. Toto spojení našlo v aplikaci velkolepé uplatnění Vaughan Jones ' konstrukce nové invarianty uzlů. Zastoupení Heckeových algeber vedlo k objevu kvantové skupiny podle Michio Jimbo. Michael Freedman navrhl Hecke algebry jako základ pro topologický kvantový výpočet.

Hecke algebry Coxeterových skupin

Začněte s následujícími údaji:

• (Ž, S) je Coxeter systém s Coxeterovou maticí M = (m_Svatý),
• R je komutativní prsten s identitou.
• {q_s | s ∈ S} je rodina jednotek R takhle q_s = q_t kdykoli s a t jsou konjugovány v Ž
• A je prsten z Laurentovy polynomy přes Z s neurčitými q_s (a výše uvedené omezení q_s = q_t kdykoli s a t jsou konjugované), to znamená A = Z [q^±1
  _s]

Víceparametrové Heckeovy algebry

The víceparametrická Heckeova algebra H_R(W, S, q) je jednotný, asociativní R-algebra s generátory T_s pro všechny s ∈ S a vztahy:

• Vztahy s copánky: T_s T_t T_s ... = T_t T_s T_t ..., kde má každá strana m_Svatý <∞ faktory a Svatý patřit k S.
• Kvadratický vztah: Pro všechny s v S my máme: (T_s - q_s)(T_s + 1) = 0.

Varování: v pozdějších knihách a novinách použil Lusztig upravenou formu čtvercového kvadratického vztahu ${ displaystyle (T_ {s} -q_ {s} ^ {1/2}) (T_ {s} + q_ {s} ^ {- 1/2}) = 0.}$ Po rozšíření skalárů o poloviční celočíselné síly q^±½
_s výsledná Heckeova algebra je izomorfní s dříve definovanou (ale T_s zde odpovídá q^-½
_s T_s v naší notaci). I když to nemění obecnou teorii, mnoho vzorců vypadá jinak.

Obecná víceparametrická Hecke Algebras

H_A(W, S, q) je obecný víceparametrická Heckeova algebra. Tato algebra je univerzální v tom smyslu, že z ní lze získat (pomocí jedinečného) kruhového homomorfismu každou další víceparametrovou Heckovu algebru. A → R který mapuje neurčitého q_s ∈ A k jednotce q_s ∈ R. Tento homomorfismus se obrací R do A-algebra a skalární rozšíření H_A(W, S) ⊗_A R je kanonicky izomorfní s Hecke algebrou H_R(W, S, q) jak je konstruováno výše. Jeden volá tento proces specializace generické algebry.

Jednoparametrické Hecke algebry

Pokud se specializuje každý neurčitý q_s na jednoho neurčitého q přes celá čísla (nebo q^½
_s na q^½ respektive), pak se získá tzv. obecná jednoparametrická Heckeova algebra (W, S).

Vzhledem k tomu, že ve skupinách Coxeter s jednoduchými přichycenými Dynkinovými diagramy (například ve skupinách typu A a D) je každá dvojice generátorů Coxeteru konjugována, výše uvedené omezení q_s být si rovni q_t kdykoli s a t jsou konjugovány v Ž vynutí, aby byly multiparametr a Heparovy algebry s jedním parametrem stejné. Proto je také velmi běžné dívat se pouze na jednoparametrické Heckeovy algebry.

Skupiny coxeterů s váhami

Pokud je definována integrální funkce hmotnosti na Ž (tj. mapa L: Ž → Z s L (vw) = L (v) + L (w) pro všechny v, w ∈ Ž s l (vw) = l (v) + l (w)), pak běžnou specializací, na kterou se díváme, je specializace vyvolaná homomorfismem q_s ↦ q^{L (s)}, kde q je jediný neurčitý konec Z.

Pokud použijeme konvenci s polovičními celočíselnými mocnostmi, pak váhová funkce L: Ž → ½Z může být také povoleno. Z technických důvodů je také často vhodné uvažovat pouze o kladných hmotnostních funkcích.

Vlastnosti

1. Heckeova algebra má základ ${ displaystyle (T_ {w}) _ {w ve W}}$ přes A indexovány prvky skupiny Coxeter Ž. Zejména, H je zdarma A-modul. Li ${ displaystyle w = s_ {1} s_ {2} ldots s_ {n}}$ je snížený rozklad z w ∈ Ž, pak ${ displaystyle T_ {w} = T_ {s_ {1}} T_ {s_ {2}} ldots T_ {s_ {n}}}$. Tento základ Hecke algebry se někdy nazývá přírodní základ. The neutrální prvek z Ž odpovídá totožnosti H: T_E = 1.

2. Prvky přírodního základu jsou multiplikativní, jmenovitě T_yw=T_y T_w kdykoli l (yw) = l (y) + l (w), kde l označuje délková funkce ve skupině Coxeter Ž.

3. Prvky přírodního základu jsou invertibilní. Například z kvadratického vztahu usuzujeme T⁻¹
_s = q⁻¹
_s T_s + (q⁻¹
_s-1).

4. Předpokládejme, že Ž je konečná skupina a zemnící kruh je pole C komplexních čísel. Jacques prsa dokázal, že pokud neurčitý q se specializuje na jakékoli komplexní číslo mimo výslovně daný seznam (skládající se z kořenů jednoty), pak výsledný jeden parametr Hecke algebra je polojednoduchý a je izomorfní s algebrou komplexní skupiny C[Ž] (což také odpovídá specializaci q ↦ 1)^{[Citace je zapotřebí ]}.

5. Obecněji, pokud Ž je konečná skupina a zemnící kruh R je obor charakteristická nula, pak je jeden parametr Hecke algebra a polojednoduchá asociativní algebra přes R[q^±1]. George Lusztig navíc rozšířil dřívější výsledky Bensona a Curtise a poskytl explicitní izomorfismus mezi Heckovou algebrou a skupinovou algebrou po rozšíření skalárů na pole kvocientu R[q^±½]

Kanonický základ

Velkým objevem Kazhdana a Lusztiga bylo, že Heckova algebra připouští a odlišný základ, který svým způsobem řídí teorii reprezentace různých souvisejících objektů.

Obecná multiparametrická Hecke algebra, H_A(W, S, q), má involuci bar že mapy q^½ na q^−½ a působí jako identita Z. Pak H připouští jedinečný prstencový automorfismus i to je semilineární s ohledem na barovou involuci A a mapy T_s na T⁻¹
_s. Dále lze dokázat, že tento automorfismus je involutivní (má pořadí dva) a bere jakýkoli T_w na ${ displaystyle T_ {w ^ {- 1}} ^ {- 1}.}$

Kazhdan - Lusztigova věta: Pro každého w ∈ Ž existuje jedinečný prvek ${ displaystyle C_ {w} ^ { prime}}$ který je neměnný pod involucí i a pokud někdo napíše jeho expanzi z hlediska přirozeného základu:

${ displaystyle C '_ {w} = doleva (q ^ {- 1/2} doprava) ^ {l (w)} součet _ {y leq w} P_ {y, w} T_ {y} ,}$

jeden má následující:

• P_{w, w}=1,
• P_{y, w} v Z[q] má stupeň menší nebo rovný ½(l (w) -l (y) -1) -li y v Bruhatův řád,
• P_{y, w}= 0 pokud ${ displaystyle y nleq w.}$

Elementy ${ displaystyle C_ {w} ^ { prime}}$ kde w mění se Ž tvoří základ algebry H, kterému se říká dvojí kanonický základ Heckeovy algebry H. The kanonický základ {C_w | w ∈ Ž} se získá podobným způsobem. Polynomy P_{y, w}(q) objevující se v této větě jsou Kazhdan – Lusztigovy polynomy.

Kazhdan – Lusztigova představa o levé, pravé a oboustranné buňky v Coxeteru jsou skupiny definovány chováním kanonického základu pod akcí H.

Hecke algebra lokálně kompaktní skupiny

Iwahori – Hecke algebry se poprvé objevily jako důležitý speciální případ velmi obecné konstrukce v teorii skupin. Nechat (G, K) být pár skládající se z a unimodulární lokálně kompaktní topologická skupina G a uzavřená podskupina K. z G. Pak prostor K.-binový variant spojité funkce z kompaktní podpora, C_C(K G / K), může být obdařen strukturou asociativní algebry v rámci operace konvoluce. Tato algebra je označena H (G // K) a zavolal Hecke prsten dvojice (G, K).

Příklad: Li G = SL (n,Q_str) a K. = SL (n,Z_str) pak je Heckův kruh komutativní a jeho reprezentace byly studovány Ian G. Macdonald. Obecněji, pokud (G, K) je Gelfandův pár pak se výsledná algebra ukáže jako komutativní.

Příklad: Li G = SL (2,Q) a K. = SL (2,Z) dostaneme abstraktní prsten za sebou Operátoři Hecke v teorii modulární formy, který dal jméno Hecke algebrám obecně.

Případ vedoucí k Hecke algebře konečné Weylovy skupiny je kdy G je konečný Skupina Chevalley přes konečné pole s str^k prvky a B je jeho Podskupina Borel. Iwahori ukázal, že Hecke prsten H (G // B) se získává z obecné Hecke algebry H_q z Weylova skupina Ž z G specializací neurčitého q druhé algebry na str^kmohutnost konečného pole. George Lusztig poznamenal v roce 1984 (Znaky redukčních skupin nad konečným polem, xi, poznámka pod čarou):

Myslím, že by bylo nejvhodnější říkat to Iwahori algebra, ale jméno Hecke ring (nebo algebra), které dal sám Iwahori, se používá téměř 20 let a je pravděpodobně příliš pozdě to změnit.

Iwahori a Matsumoto (1965) zvažovali případ, kdy G je skupina bodů a reduktivní algebraická skupina přes non-archimedean místní pole K., jako Q_str, a K. je to, co se nyní nazývá Podskupina Iwahori z G. Výsledný Heckův kruh je izomorfní s Heckovou algebrou afinní Weylova skupina z G, nebo afinní Hecke algebra, kde neurčitý q se specializuje na mohutnost zbytkové pole z K..

Práce Rogera Howea v 70. letech a jeho práce s Allenem Moyem o reprezentacích str-adic GL (n) otevřel možnost klasifikace neredukovatelných přípustných reprezentací reduktivních skupin na místní pole ve smyslu vhodně konstruovaných Heckeových algeber. (Důležité příspěvky poskytli také Joseph Bernstein a Andrey Zelevinsky.) Tyto myšlenky byly posunuty mnohem dále v Colin Bushnell a Philip Kutzko je teorie typů, což jim umožňuje dokončit klasifikaci v obecném lineárním případě. Mnoho z těchto technik může být rozšířeno na další redukční skupiny, které zůstávají oblastí aktivního výzkumu. Předpokládalo se, že všechny Heckeovy algebry, které jsou kdy zapotřebí, jsou mírné zobecnění afinních Heckeových algeber.

Zastoupení Hecke algeber

Z Iwahoriho práce vyplývá, že složité reprezentace Heckových algeber konečného typu úzce souvisí se strukturou sférické reprezentace hlavních řad konečných skupin Chevalley.

George Lusztig posunul tuto souvislost mnohem dále a dokázal popsat většinu postav konečných skupin Lieova typu z hlediska teorie reprezentace Hecke algebry. Tato práce využívala směs geometrických technik a různých redukcí, vedla k zavedení různých objektů zevšeobecňujících Hecke algebry a podrobnému porozumění jejich znázornění (pro q není kořenem jednoty). Modulární reprezentace Heckových algeber a reprezentace v kořenech jednoty se ukázalo být spojeno s teorií kanonických základů v afinní kvantové skupiny a kombinatorika.

Teorie reprezentace afinních Heckových algeber byla vyvinuta Lusztigem za účelem její aplikace na popis reprezentací str-adické skupiny. V mnoha ohledech se liší^{[jak? ]} z konečného případu. Zobecnění afinních Heckových algeber, tzv dvojitá afinní Hecke algebra, byl používán Ivan Čeredník v jeho důkazu o Macdonaldova konstantní domněnka.

Reference

• David Goldschmidt Skupinové znaky, symetrické funkce a Hecke algebra PAN1225799,ISBN  0-8218-3220-4
• Iwahori, Nagayoshi; Matsumoto, Hideya Na nějakém rozkladu Bruhat a struktuře Heckových kruhů p-adických Chevalleyových skupin. Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 25 (1965), s. 5–48. PAN0185016
• Alexander Kleshchev, Lineární a projektivní reprezentace symetrických skupin, Cambridge tracts in mathematics, sv. 163. Cambridge University Press, 2005. PAN2165457, ISBN  0-521-83703-0
• George Lusztig, Hecke algebry s nerovnými parametry, Série monografií CRM, sv. 18, American Mathematical Society, 2003. PAN1658581, ISBN  0-8218-3356-1
• Andrew Mathas, Iwahori-Hecke algebry a Schurovy algebry symetrické skupiny, University Lecture Series, sv. 15, American Mathematical Society, 1999. PAN1711316, ISBN  0-8218-1926-7
• Lusztig, George, K teorému o Bensonovi a CurtisoviJ. Algebra 71 (1981), č. 1, str. 2, 490–498. PAN0630610, doi:10.1016/0021-8693(81)90188-5
• Colin Bushnell a Philip Kutzko, Přípustná dvojice GL (n) prostřednictvím kompaktních otevřených podskupin, Annals of Mathematics Studies, sv. 129, Princeton University Press, 1993. PAN1204652, ISBN  0-691-02114-7