Bruhatův řád - Bruhat order

V matematice je Bruhatův řád (také zvaný silný řád nebo silný Bruhatův řád nebo Objednávka Chevalley nebo Objednávka Bruhat – Chevalley nebo Objednávka Chevalley – Bruhat) je částečná objednávka na prvcích a Skupina coxeterů, což odpovídá pořadí zařazení na Odrůdy Schubert.

Dějiny

Objednávka Bruhat na Odrůdy Schubert a příznak potrubí nebo a Grassmannian byl poprvé studován uživatelem Ehresmann (1934) a analogie pro obecnější polojednoduché algebraické skupiny byl studován uživatelem Chevalley (1958). Verma (1968) zahájil kombinatorické studium řádu Bruhatů na Weylova skupina, a zavedl název "Bruhatův řád" kvůli vztahu k Bruhatův rozklad představil François Bruhat.

Levé a pravé slabé Bruhatovo uspořádání studoval Björner (1984 ).

Definice

Pokud (Ž, S) je Coxeter systém s generátory S, pak je Bruhatův řád částečným řádem ve skupině Ž. Připomeňme, že redukované slovo pro prvek w z Ž je minimální délka výrazu w jako produkt prvků Sa délku ℓ(w) z w je délka redukovaného slova.

• (Silný) Bruhatův řád je definován u ≤ proti pokud nějaký podřetězec nějakého (nebo každého) redukovaného slova pro proti je omezené slovo prou. (Všimněte si, že zde podřetězec nemusí být nutně po sobě jdoucí podřetězec.)

• Pořadí slabé levice (Bruhat) je definováno u ≤_L proti pokud nějaký konečný podřetězec nějakého redukovaného slova pro proti je omezené slovo prou.
• Pořadí slabé pravice (Bruhat) je definováno u ≤_R proti pokud nějaký počáteční podřetězec nějakého redukovaného slova pro proti je omezené slovo prou.

Další informace o slabých objednávkách najdete v článku slabé pořadí permutací.

Bruhatův graf

Bruhatův graf je směrovaný graf vztahující se k (silnému) Bruhatovu řádu. Sada vrcholů je sada prvků skupiny Coxeter a sada hran se skládá z nasměrovaných hran (u, proti) kdykoli u = televize pro nějakou reflexi t a ℓ(u) < ℓ(proti). Jeden může zobrazit graf jako orientovaný graf označený hranou s popisky hran vycházejícími ze sady odrazů. (Dalo by se také definovat Bruhatův graf pomocí násobení vpravo; jako grafy jsou výsledné objekty izomorfní, ale označení okrajů se liší.)

Silný Bruhatův řád na symetrické skupině (permutace) má Möbiovu funkci danou ${displaystyle mu (pi, sigma) = (- 1) ^ {ell (sigma) -ell (pi)}}$, a tím je tato poseta euleriánská, což znamená, že její Möbiova funkce je produkována hodnostní funkcí na posetu.

Reference

• Björner, Anders (1984), „Objednávky skupin Coxeter“, v Greene, Curtis (vyd.), Kombinatorika a algebra (Boulder, Colo., 1983), Contemp. Matematika., 34„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 175–195, ISBN  978-0-8218-5029-9, PAN  0777701
• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Kombinatorika Coxeterových skupin, Postgraduální texty z matematiky, 231, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-27596-7, ISBN  978-3-540-44238-7, PAN  2133266
• Chevalley, C. (1958), „Sur les décompositions cellulaires des espaces G / B“, Haboush, William J .; Parshall, Brian J. (eds.), Algebraické skupiny a jejich zobecnění: klasické metody (University Park, PA, 1991), Proc. Symposy. Čistá matematika., 56„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 1–23, ISBN  978-0-8218-1540-3, PAN  1278698
• Ehresmann, Charles (1934), „Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes“, Annals of Mathematics, Druhá řada (ve francouzštině), Annals of Mathematics, 35 (2): 396–443, doi:10.2307/1968440, ISSN  0003-486X, JFM  60.1223.05, JSTOR  1968440
• Verma, Daya-Nand (1968), „Struktura určitých indukovaných reprezentací složitých polojednodušých Lieových algeber“, Bulletin of the American Mathematical Society, 74: 160–166, doi:10.1090 / S0002-9904-1968-11921-4, ISSN  0002-9904, PAN  0218417