Nejdelší prvek skupiny Coxeter - Longest element of a Coxeter group

v matematika, nejdelší prvek skupiny Coxeter je jedinečný prvek maxima délka v konečná Coxeterova skupina s ohledem na zvolenou generující soustavu skládající se z jednoduchých odrazů. To je často označováno w₀. Viz (Humphreys 1992, Část 1.8: Jednoduchá tranzitivita a nejdelší prvek, str. 15–16 ) a (Davis 2007, Sekce 4.6, str. 51–53).

Vlastnosti

Skupina Coxeter má nejdelší prvek právě tehdy, pokud je konečný; „pouze pokud“ je proto, že velikost skupiny je omezena počtem slov o délce menší nebo rovnou maximálnímu.
Nejdelší prvek skupiny Coxeter je jedinečný maximální prvek vzhledem k Bruhatův řád.
Nejdelší prvek je involuce (má objednávku 2: ${displaystyle w_ {0} ^ {- 1} = w_ {0}}$ ), jedinečností maximální délky (inverze prvku má stejnou délku jako prvek).^[1]
Pro všechny ${displaystyle win W,}$ délka vyhovuje ${displaystyle ell (w_ {0} w) = ell (w_ {0}) - ell (w).}$ ^[1]
Snížený výraz pro nejdelší prvek není obecně jedinečný.
Ve sníženém výrazu pro nejdelší prvek musí každý jednoduchý odraz nastat alespoň jednou.^[1]
Pokud je skupina Coxeter konečná, pak délka w₀ je číslo pozitivní kořeny.^[1]
Otevřená buňka Bw₀B v Bruhatův rozklad a polojednoduchá algebraická skupina G je hustá v Zariski topologie; topologicky je to top dimenzionální buňka rozkladu a představuje základní třída.
Nejdelší prvek je centrální prvek –1 kromě ${displaystyle A_ {n}}$ ( ${displaystyle ngeq 2}$ ), ${displaystyle D_ {n}}$ pro n zvláštní, ${displaystyle E_ {6},}$ a ${displaystyle I_ {2} (p)}$ pro p liché, když je –1 vynásobeno řádovým 2 automorfismem Coxeterův diagram. ^[2]