Afinní kořenový systém - Affine root system
V matematice, an afinní kořenový systém je kořenový systém z afinně-lineární funkce na Euklidovský prostor. Používají se při klasifikaci afinních Lež algebry a superalgebry a polojednodušší str-adic algebraické skupiny a odpovídají rodinám Macdonaldovy polynomy. Redakční afinní kořenové systémy používali Kac a Moody při své práci na Kac – Moodyho algebry. Možná byly zavedeny a klasifikovány neredukované afinní kořenové systémy Macdonald (1972) a Bruhat & Tits (1972) (kromě toho, že oba tyto dokumenty omylem vynechaly Dynkinův diagram 
).
Definice
![[ikona]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Září 2011) |
Klasifikace
Systémy afinních kořenů A1 = B1 = B∨
1 = C1 = C∨
1 jsou stejné, stejně jako páry B2 = C2, B∨
2 = C∨
2, a A3 = D3
Počet oběžných drah uvedených v tabulce je počet oběžných drah jednoduchých kořenů ve skupině Weyl Dynkinovy diagramy, neredukované jednoduché kořeny α (s kořenem 2α a) jsou zbarveny zeleně. První Dynkinův diagram v řadě někdy nedodržuje stejné pravidlo jako ostatní.
| Afinní kořenový systém | Počet oběžných drah | Dynkinův diagram |
|---|---|---|
| An (n ≥ 1) | 2 pokud n= 1, 1 pokud n≥2 |  ,   ,   ,  , ... |
| Bn (n ≥ 3) | 2 |  ,  ,, ... |
| B∨ n (n ≥ 3) | 2 | , ,, ... |
| Cn (n ≥ 2) | 3 | , , , ... |
| C∨ n (n ≥ 2) | 3 | , , , ... |
| před naším letopočtemn (n ≥ 1) | 2 pokud n= 1, 3 pokud n ≥ 2 |  , , , , ... |
| Dn (n ≥ 4) | 1 |  , , , ... |
| E6 | 1 |   |
| E7 | 1 |   |
| E8 | 1 | |
| F4 | 2 | |
| F∨ 4 | 2 | |
| G2 | 2 |  |
| G∨ 2 | 2 |  |
| (před naším letopočtemn, Cn) (n ≥ 1) | 3 pokud n= 1, 4 pokud n≥2 | , , , , ... |
| (C∨ n, před naším letopočtemn) (n ≥ 1) | 3 pokud n= 1, 4 pokud n≥2 | , , , , ... |
| (Bn, B∨ n) (n ≥ 2) | 4 pokud n= 2, 3 pokud n≥3 | , , ,, ... |
| (C∨ n, Cn) (n ≥ 1) | 4 pokud n= 1, 5 pokud n≥2 | , , , , ... |
Neredukovatelné afinní kořenové systémy podle hodnosti
- 1. místo: A1, před naším letopočtem1, (před naším letopočtem1, C1), (C∨
1, před naším letopočtem1), (C∨
1, C1). - 2. místo: A2, C2, C∨
2, před naším letopočtem2, (před naším letopočtem2, C2), (C∨
2, před naším letopočtem2), (B2, B∨
2), (C∨
2, C2), G2, G∨
2. - 3. místo: A3, B3, B∨
3, C3, C∨
3, před naším letopočtem3, (před naším letopočtem3, C3), (C∨
3, před naším letopočtem3), (B3, B∨
3), (C∨
3, C3). - 4. místo: A4, B4, B∨
4, C4, C∨
4, před naším letopočtem4, (před naším letopočtem4, C4), (C∨
4, před naším letopočtem4), (B4, B∨
4), (C∨
4, C4), D4, F4, F∨
4. - 5. místo: A5, B5, B∨
5, C5, C∨
5, před naším letopočtem5, (před naším letopočtem5, C5), (C∨
5, před naším letopočtem5), (B5, B∨
5), (C∨
5, C5), D5. - 6. místo: A6, B6, B∨
6, C6, C∨
6, před naším letopočtem6, (před naším letopočtem6, C6), (C∨
6, před naším letopočtem6), (B6, B∨
6), (C∨
6, C6), D6, E6, - 7. místo: A7, B7, B∨
7, C7, C∨
7, před naším letopočtem7, (před naším letopočtem7, C7), (C∨
7, před naším letopočtem7), (B7, B∨
7), (C∨
7, C7), D7, E7, - 8. místo: A8, B8, B∨
8, C8, C∨
8, před naším letopočtem8, (před naším letopočtem8, C8), (C∨
8, před naším letopočtem8), (B8, B∨
8), (C∨
8, C8), D8, E8, - Hodnost n (n>8): An, Bn, B∨
n, Cn, C∨
n, před naším letopočtemn, (před naším letopočtemn, Cn), (C∨
n, před naším letopočtemn), (Bn, B∨
n), (C∨
n, Cn), Dn.
Aplikace
- Macdonald (1972) ukázal, že index afinních kořenových systémů Macdonaldovy identity
- Bruhat & Tits (1972) používá ke studiu afinní kořenové systémy str-adické algebraické skupiny.
- Redukované afinní kořenové systémy klasifikují afinitu Kac – Moodyho algebry, zatímco neredukované afinní kořenové systémy odpovídají afinitě Lež superalgebry.
- Macdonald (2003) ukázal, že afinní kořenové systémy indexují rodiny Macdonaldovy polynomy.
Reference
- Bruhat, F .; Kozy, Jacques (1972), „Groupes réductifs sur un corps local“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 41: 5–251, doi:10.1007 / bf02715544, ISSN 1618-1913, PAN 0327923
- Macdonald, I. G. (1972), „Afinní kořenové systémy a Dedekindova funkce η“, Inventiones Mathematicae, 15: 91–143, Bibcode:1971InMat..15 ... 91M, doi:10.1007 / BF01418931, ISSN 0020-9910, PAN 0357528
- Macdonald, I. G. (2003), Afinní Heckeovy algebry a ortogonální polynomy„Cambridge Tracts in Mathematics“, 157, Cambridge: Cambridge University Press, s. X + 175, doi:10.2277/0521824729, ISBN 978-0-521-82472-9, PAN 1976581