Centrální kompozitní design - Central composite design

v statistika, a centrální kompozitní design je experimentální design, užitečný v metodika povrchu odezvy pro stavbu (kvadratického) modelu druhého řádu pro proměnná odezvy aniž byste museli používat kompletní tříúrovňový faktoriální experiment.

Po provedení navrženého experimentu lineární regrese se používá, někdy iterativně, k získání výsledků. Při konstrukci tohoto návrhu se často používají kódované proměnné.

Implementace

Návrh se skládá ze tří odlišných sad experimentálních běhů:

1. A faktoriál (možná zlomek ) design ve studovaných faktorech, z nichž každý má dvě úrovně;
2. Sada středové body, experimentální běhy, jejichž hodnoty každého faktoru jsou mediánem hodnot použitých ve faktoriální části. Tento bod se často replikuje, aby se zlepšila přesnost experimentu;
3. Sada axiální body, experimentální běhy identické se středovými body, s výjimkou jednoho faktoru, který bude nabývat hodnot jak pod, tak nad mediánem dvou faktoriálních úrovní a obvykle oba mimo jejich rozsah. Tímto způsobem se mění všechny faktory.

Návrhová matice

Konstrukční matice pro experiment zahrnující centrální kompozitní design k faktory je odvozeno z matice, d, obsahující následující tři různé části odpovídající třem typům experimentálních běhů:

1. Matice F získané z faktoriálního experimentu. Úrovně faktorů jsou upraveny tak, aby jeho položky byly kódovány jako +1 a -1.
2. Matice C ze středových bodů, označených v kódovaných proměnných jako (0,0,0, ..., 0), kde jsou k nuly.
3. Matice E z osových bodů, s 2k řádky. Každý faktor je postupně umístěn na ± α a všechny ostatní faktory jsou na nule. Hodnotu α určuje projektant; zatímco libovolné, některé hodnoty mohou dát designu žádoucí vlastnosti. Tato část by vypadala takto:

${displaystyle mathbf {E} = {egin {bmatrix} alfa & 0 & 0 & cdots & cdots & cdots & 0 {- alpha} & 0 & 0 & cdots & cdots & cdots & 0 0 & alpha & 0 & cdots & cdots & cdots & 0 0 & {- alpha} & 0 & cdots & cdots & cdots & cdots & {} & {} & {} & vdots 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & cdots & alpha 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & cdots & {- alpha} end {bmatrix}}.}$

Pak d je vertikální zřetězení:

${displaystyle mathbf {d} = {egin {bmatrix} mathbf {F} mathbf {C} mathbf {E} end {bmatrix}}.}$

Konstrukční matice X v lineární regresi se používá horizontální zřetězení sloupce 1 s (intercept), da všechny elementární produkty dvojice sloupců d:

${displaystyle mathbf {X} = {egin {bmatrix} mathbf {1} & mathbf {d} & mathbf {d} (1) imes mathbf {d} (2) & mathbf {d} (1) imes mathbf {d} (3) & cdots & mathbf {d} (k-1) imes mathbf {d} (k) & mathbf {d} (1) ^ {2} & mathbf {d} (2) ^ {2} & cdots & mathbf {d} (k) ^ { 2} konec {bmatrix}},}$

kde d(i) představuje ith sloupec v d.

Volba α

Existuje mnoho různých metod pro výběr užitečné hodnoty α. Nechat F být počet bodů kvůli faktoriálům a T = 2k + n, počet dalších bodů, kde n je počet centrálních bodů v návrhu. Běžné hodnoty jsou následující (Myers, 1971):

1. Ortogonální design:: ${displaystyle alpha = (Q imes F / 4) ^ {1/4} ,!}$, kde ${displaystyle Q = ({sqrt {F + T}} - {sqrt {F}}) ^ {2}}$;
2. Otočný design: α = F^1/4 (návrh implementoval MATLAB Je ccdesign funkce).

Aplikace centrálních kompozitních návrhů pro optimalizaci

Statistické přístupy jako např Metodika povrchu odezvy lze použít k maximalizaci produkce speciální látky optimalizací provozních faktorů. Na rozdíl od konvenčních metod lze interakci mezi procesními proměnnými určit statistickými technikami. Například ve studii byl použit centrální kompozitní design ke zkoumání vlivu kritických parametrů předběžného zpracování organosolv rýžové slámy, včetně teploty, času a koncentrace ethanolu. Jako proměnné odezvy byly vybrány zbytkové pevné látky, výtěžek ligninu a výtěžek vodíku.^[1]

Reference

Myers, Raymond H. Metodika povrchu odezvy. Boston: Allyn a Bacon, Inc., 1971