Wolstenholmesova věta - Wolstenholmes theorem - Wikipedia

v matematika, Wolstenholmeova věta uvádí, že pro a prvočíslo ${ displaystyle p geq 5}$shoda

${ displaystyle {2p-1 vyberte p-1} ekviv 1 { pmod {p ^ {3}}}}$

platí, kde závorky označují a binomický koeficient. Například s p = 7, toto říká, že 1716 je jeden více než násobek 343. Věta byla poprvé prokázána Joseph Wolstenholme v roce 1862. V roce 1819 Charles Babbage ukázal stejnou kongruenci modulo p², který platí pro ${ displaystyle p geq 3}$. Ekvivalentní formulací je shoda

${ displaystyle {ap select bp} equiv {a select b} { pmod {p ^ {3}}}}$

pro ${ displaystyle p geq 5}$, což je způsobeno Wilhelm Ljunggren^[1] (a ve zvláštním případě ${ displaystyle b = 1}$, do J. W. L. Glaisher^{[Citace je zapotřebí ]}) a je inspirován Lucasova věta.

Není známo složená čísla uspokojit Wolstenholmeovu větu a předpokládá se, že žádné neexistují (viz níže). Prvočíslo, které splňuje kongruenci modulo p⁴ se nazývá a Wolstenholme prime (viz. níže).

Jak sám Wolstenholme stanovil, jeho teorém lze také vyjádřit jako dvojici kongruencí pro (zobecněné) harmonická čísla:

${ displaystyle 1+ {1 nad 2} + {1 nad 3} + ... + {1 nad p-1} ekviv 0 { pmod {p ^ {2}}} { mbox {, a}}}$

${ displaystyle 1+ {1 nad 2 ^ {2}} + {1 nad 3 ^ {2}} + ... + {1 nad (p-1) ^ {2}} ekv 0 { pmod {p}}.}$

(Kongruence s zlomky dávají smysl za předpokladu, že jmenovatelé jsou coprime k modulu.) Například s p= 7, první z nich říká, že čitatel 49/20 je násobkem 49, zatímco druhý říká, že čitatel 5369/3600 je násobkem 7.

Wolstenholme připravuje

Prime p se nazývá Wolstenholme prime iff platí následující podmínka:

${ displaystyle {{2p-1} zvolit {p-1}} equiv 1 { pmod {p ^ {4}}}.}$

Li p je Wolstenholme prime, pak Glaisherova věta platí modulo p⁴. Jediné známé Wolstenholmovy prvočísla jsou zatím 16843 a 2124679 (sekvence A088164 v OEIS ); jakýkoli jiný Wolstenholme prime musí být větší než 10⁹.^[2] Tento výsledek je v souladu s heuristický argument že zbytek modulo p⁴ je pseudonáhodné násobek p³. Tato heuristika předpovídá, že počet Wolstenholmů je mezi K. a N je zhruba ln ln N - ln ln K.. Stav Wolstenholme byl zkontrolován až na 10⁹a heuristika říká, že mezi 10 by měl být zhruba jeden Wolstenholme prime⁹ a 10²⁴. Podobná heuristika předpovídá, že neexistují žádné „dvojnásobně Wolstenholme“ prvočísla, pro která by kongruence platila modulo p⁵.

Důkaz věty

Existuje více než jeden způsob, jak dokázat Wolstenholmeovu větu. Zde je důkaz, který přímo zavádí Glaisherovu verzi pomocí kombinatoriky i algebry.

Prozatím nechte p být jakýkoli předseda a nechat A a b být nezáporná celá čísla. Pak sada A s ap prvky lze rozdělit na A kroužky o délce pa kroužky lze otáčet samostatně. To znamená, že A-násobný přímý součet cyklické skupiny objednávky p jedná na scéně A, a rozšířením působí na množinu podmnožin velikosti bp. Každá oběžná dráha této skupinové akce má p^k prvky, kde k je počet neúplných zazvonění, tj. pokud existují k kroužky, které pouze částečně protínají podmnožinu B na oběžné dráze. Existují ${ displaystyle textstyle {a vyberte b}}$ oběžné dráhy o velikosti 1 a neexistují žádné oběžné dráhy o velikosti p. Nejprve tedy získáme Babbageovu větu

${ displaystyle {ap choose bp} equiv {a select b} { pmod {p ^ {2}}}.}$

Zkoumání oběžných drah velikosti p², také získáváme

${ displaystyle {ap zvolit bp} ekviv {a zvolit b} + {a zvolit 2} doleva ({2p zvolit p} -2 doprava) {a-2 zvolit b-1} { pmod {p ^ {3}}}.}$

Tato rovnice nám mimo jiné říká, že tomu tak je a = 2 a b = 1 implikuje obecný případ druhé formy Wolstenholmeovy věty.

Při přechodu z kombinatoriky na algebru jsou obě strany této kongruence polynomy A pro každou pevnou hodnotu b. Shoda tedy platí, když A je celé číslo, kladné nebo záporné, za předpokladu, že b je pevné kladné celé číslo. Zejména pokud a = -1 a b = 1, shoda se stává

${ displaystyle {-p vybrat p} ekviv {-1 zvolit 1} + {- 1 zvolit 2} doleva ({2p zvolit p} -2 doprava) { pmod {p ^ {3} }}.}$

Tato shoda se stává rovnicí pro ${ displaystyle textstyle {2p vyberte p}}$ pomocí vztahu

${ displaystyle {-p zvolit p} = { frac {(-1) ^ {p}} {2}} {2p zvolit p}.}$

Když p je liché, vztah je

${ displaystyle 3 {2p vyberte p} equiv 6 { pmod {p ^ {3}}}.}$

Když p≠ 3, k dokončení argumentu můžeme rozdělit obě strany na 3.

Podobná derivační modulo p⁴ stanoví to

${ displaystyle {ap choose bp} equiv {a select b} { pmod {p ^ {4}}}}$

pro všechny pozitivní A a b jen a jen pokud drží kdy a = 2 a b = 1, tj. právě tehdy p je Wolstenholme prime.

Konverzace jako domněnka

Předpokládá se, že pokud

${ displaystyle {2n-1 zvolit n-1} ekviv 1 { pmod {n ^ {k}}}}$

(1)

když k = 3, pak n je hlavní. Domněnku lze pochopit zvážením k = 1 a 2 stejně jako 3. Kdy k = 1, Babbageova věta znamená, že platí pro n = p² pro p liché prvočíslo, zatímco Wolstenholmeova věta naznačuje, že platí n = p³ pro p > 3, a platí pro n = p⁴ -li p je Wolstenholme prime. Když k = 2, platí pro n = p² -li p je Wolstenholme prime. Tato tři čísla, 4 = 2², 8 = 2³a 27 = 3³ nejsou drženy pro (1) s k = 1, ale všechny ostatní primární čtverečky a primární kostky jsou drženy pro (1) s k = 1. Pouze 5 dalších složených hodnot (ani primární čtverec ani hlavní kostka) z n je známo, že platí pro (1) s k = 1, jsou voláni Wolstenholme pseudoprimes, oni jsou

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (sekvence A082180 v OEIS )

První tři nejsou hlavní síly (sekvence A228562 v OEIS ), poslední dva jsou 16843⁴ a 2124679⁴, 16843 a 2124679 jsou Wolstenholme připravuje (sekvence A088164 v OEIS ). Kromě toho, s výjimkou 16843² a 2124679², není známo, že by byly drženy žádné kompozity (1) s k = 2, mnohem méně k = 3. Tedy domněnka je považována za pravděpodobnou, protože Wolstenholmeova shoda se zdá být pro složená čísla příliš omezená a umělá. Navíc, pokud kongruence platí pro konkrétní n jiné než hlavní nebo hlavní síla a jakékoli konkrétní k, to neznamená

${ displaystyle {an choose bn} equiv {a choose b} { pmod {n ^ {k}}}.}$

Zobecnění

Leudesdorf to dokázal pro kladné celé číslo n coprime do 6, platí následující shoda:^[3]

${ displaystyle sum _ {i = 1 na vrcholu (i, n) = 1} ^ {n-1} { frac {1} {i}} equiv 0 { pmod {n ^ {2}}} .}$

Viz také

• Fermatova malá věta
• Wilsonova věta
• Wieferich prime
• Wilson připravit
• Zeď-Slunce-Slunce
• Seznam speciálních tříd prvočísel
• Tabulka shody

Poznámky

Reference

• Babbage, C. (1819), „Demonstrace věty o prvočíslech“, Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49.
• Glaisher, J.W.L. (1900), „Shody týkající se součtů produktů prvních n čísel a dalších součtů produktů“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 31: 1–35.
• Glaisher, J.W.L. (1900), „Rezidua binomicko-teorémových koeficientů ve vztahu k p³", Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 31: 110–124.
• Glaisher, J.W.L. (1900), „O zbytcích součtů součinů prvních čísel p − 1 a jejich silách do modulu p² nebo str³", Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 31: 321–353.
• Granville, Andrew (1997), "Binomické koeficienty modulo prime power" (PDF), Sborník z konference o kanadské matematické společnosti, 20: 253–275, PAN  1483922, archivovány z originál (PDF) dne 02.02.2017.
• McIntosh, R. J. (1995), „Na opačnou stranu Wolstenholmovy věty“ (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10,4064 / aa-71-4-381-389.
• R. Mestrovic, Wolstenholmeova věta: její zobecnění a rozšíření za posledních sto padesát let (1862–2012).
• Wolstenholme, Joseph (1862), „O určitých vlastnostech prvočísel“, Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky, 5: 35–39.

externí odkazy

• Hlavní glosář: Wolstenholme prime
• Stav hledání Wolstenholme připraví