Spin skupina - Spin group
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
![]() |
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
v matematika the spinová skupina Roztočit(n)[1][2] je dvojitý kryt z speciální ortogonální skupina TAK(n) = SO (n, R), takže existuje a krátká přesná sekvence z Lež skupiny (když n ≠ 2)
Jako skupina Lie, Spin (n) proto sdílí své dimenze, n(n − 1)/2, a jeho Lež algebra se speciální ortogonální skupinou.
Pro n > 2, Točit (n) je jednoduše připojeno a tak se shoduje s univerzální kryt z TAK(n).
Netriviální prvek jádra je označen −1, což by nemělo být zaměňováno s ortogonální transformací odraz skrz původ, obecně označeno -Já.
Roztočit(n) lze zkonstruovat jako a podskupina invertibilních prvků v Cliffordova algebra Cl (n). Samostatný článek pojednává o rotační reprezentace.
Motivace a fyzická interpretace
Skupina odstřeďování se používá v fyzika popsat symetrie (elektricky neutrální, nenabité) fermiony. Jeho komplexizace, Spinc, se používá k popisu elektricky nabitých fermionů, nejvíce pozoruhodně elektron. Přísně vzato, spinová skupina popisuje fermion v prostoru nulové dimenze; ale prostor samozřejmě není nulový, a proto se k definování používá spinová skupina spinové struktury zapnuto (pseudo-)Riemannovy rozdělovače: spinovou skupinou je strukturní skupina a spinorský svazek. The afinní spojení na spinorovém svazku je spin připojení; připojení rotace je užitečné, protože může zjednodušit a přinést eleganci mnoha složitým výpočtům v obecná relativita. Spinové připojení zase umožňuje Diracova rovnice psát v zakřiveném časoprostoru (efektivně v tetrad souřadnice), což zase poskytuje základ pro kvantová gravitace, jakož i formalizace Hawkingovo záření (kde jeden z dvojice zapletených virtuálních fermionů spadne za horizont události a druhý ne). Stručně řečeno, spinová skupina je zásadním základním kamenem, který je zásadně důležitý pro pochopení pokročilých konceptů v moderní teoretické fyzice. V matematice je spinová skupina sama o sobě zajímavá: nejen z těchto důvodů, ale z mnoha dalších.
Konstrukce
Konstrukce skupiny Spin často začíná výstavbou a Cliffordova algebra ve skutečném vektorovém prostoru PROTI s určitá kvadratická forma q.[3] Cliffordova algebra je kvocientem tenzorová algebra TPROTI z PROTI oboustranným ideálem. Tenzorová algebra (nad reálemi) může být zapsána jako
Cliffordova algebra Cl (PROTI) je pak kvocient algebra
kde je kvadratická forma aplikovaná na vektor . Výsledný prostor je přirozený odstupňované, a lze jej zapsat jako
kde a . The spinová algebra je definován jako
kde poslední je krátká ruka PROTI být skutečným vektorovým prostorem skutečné dimenze n. Je to Lež algebra; má přirozený účinek na PROTI, a tímto způsobem může být prokázáno, že je izomorfní s Lieovou algebrou z speciální ortogonální skupina.
The skupina čepů je podskupina Cliffordova skupina všech prvků formuláře
kde každý je jednotkové délky:
Spinová skupina je pak definována jako
kde je podprostor generovaný prvky, které jsou produktem sudého počtu vektorů. To znamená, Spin (PROTI) se skládá ze všech prvků Pin (PROTI), výše, s omezením na k je sudé číslo. Omezení sudého podprostoru je klíčem k vytvoření dvousložkových (Weyl) spinorů, konstruovaných níže.
Pokud je sada jsou ortonormálním základem (skutečného) vektorového prostoru PROTI, pak výše uvedený kvocient propůjčuje prostoru přirozenou strukturu dojíždění:
- pro
což následuje zvážením pro . Ukázalo se, že tato anti-komutace má ve fyzice význam, protože zachycuje ducha Pauliho princip vyloučení pro fermiony. Přesná formulace je zde mimo rozsah, ale zahrnuje vytvoření a spinorský svazek na Minkowského časoprostor; výsledná spinorová pole lze považovat za dojíždění jako vedlejší produkt konstrukce Cliffordovy algebry. Tato vlastnost proti komutaci je také klíčem k formulaci supersymetrie. Cliffordova algebra a spinová skupina mají mnoho zajímavých a zvědavých vlastností, z nichž některé jsou uvedeny níže.
Dvojité zakrytí
Dvojité pokrytí SO (n) od Spin (n) lze uvést výslovně následovně. Nechat být ortonormální základ pro PROTI. Definovat antiautomorfismus podle
To lze rozšířit na všechny prvky podle homomorfismu:
Pozorujte to roztočení (PROTI) pak lze definovat jako všechny prvky pro který
S touto notací je explicitní dvojité pokrytí homomorfismus daný
kde . Výše uvedené dává dvojí pokrytí obou O (n) od Pin (n) a SO (n) od Spin (n) protože dává stejnou transformaci jako . S malým množstvím práce je to vidět odpovídá odrazu přes hyperplán; vyplývá to z anti-dojíždějící vlastnosti Cliffordovy algebry.
Spinorův prostor
Stojí za to přezkoumat, jak spinorový prostor a Weyl spinors jsou konstruovány, vzhledem k tomuto formalizmu. Vzhledem ke skutečnému vektorovému prostoru PROTI dimenze n = 2m sudé číslo, jeho komplexifikace je . Může být zapsán jako přímý součet podprostoru spinorů a podprostoru anti-spinors:
Prostor je překlenuta spinorypro a složité konjugované spinory se rozprostírají . Je zřejmé, že spinory působí proti dojíždění a že produkt spinoru a anti-spinoru je skalární.
The spinorův prostor je definován jako vnější algebra . (Složitá) Cliffordova algebra působí na tento prostor přirozeně; (komplexizovaná) spinová skupina odpovídá zachování délky endomorfismy. Na vnější algebře je přirozená gradace: součin lichého počtu kopií odpovídají fyzikálnímu pojmu fermiony; sudý podprostor odpovídá bosonům. Reprezentace působení spinové skupiny na spinorový prostor lze sestavit relativně přímočaře.[3]
Složitý případ
SpinC skupina je definována přesná sekvence
Jedná se o multiplikativní podskupinu komplexifikace Cliffordovy algebry, konkrétně jde o podskupinu generovanou Spinem (PROTI) a kruh jednotky v C. Alternativně je to kvocient
kde ekvivalence identifikuje (A, u) s (−A, −u).
To má důležité aplikace v teorii čtyř potrubí a Teorie Seiberg – Witten. Ve fyzice je skupina Spin vhodná pro popis nenabitých fermionů, zatímco SpinC skupina se používá k popisu elektricky nabitých fermionů. V tomto případě je symetrie U (1) konkrétně měřicí skupina z elektromagnetismus.
Náhodné izomorfismy
V nízkých rozměrech existují izomorfismy mezi klasickými Lieovými skupinami náhodné izomorfismy. Například mezi nízkodimenzionálními spinovými skupinami a některými klasickými Lieovými skupinami existují izomorfismy, vzhledem k nízkodimenzionálním izomorfismům mezi kořenové systémy (a odpovídající izomorfismy z Dynkinovy diagramy ) různých rodin jednoduché Lie algebry. Psaní R pro realitu, C pro komplexní čísla, H pro čtveřice a obecné chápání, že Cl (n) je krátká ruka pro Cl (Rn) a to Spin (n) je krátká ruka pro Spin (Rn) a tak dále, jeden to pak má[3]
- Cldokonce(1) = R skutečná čísla
- Kolík (1) = {+ i, −i, +1, −1}
- Točení (1) = O (1) = {+1, −1} ortogonální skupina nulové dimenze.
--
- Cldokonce(2) = C komplexní čísla
- Točení (2) = U (1) = SO (2), na které působí z v R2 dvojitou fázovou rotací z ↦ u2z. dim = 1
--
--
- Cldokonce(4) = H ⊕ H
- Otočení (4) = SU (2) × SU (2), odpovídající . dim = 6
--
- Cldokonce(5) = M (2, H) matice dva ku dvěma s kvaternionovými koeficienty
- Točení (5) = Sp (2), souhlasí s . dim = 10
--
- Cldokonce(6) = M (4, C) matice čtyři ku čtyřem se složitými koeficienty
- Točení (6) = SU (4), souhlasí s . dim = 15
Z těchto izomorfismů zbyly určité pozůstatky n = 7, 8 (vidět Spin (8) Více podrobností). Pro vyšší n, tyto izomorfismy úplně zmizí.
Neomezený podpis
v neurčitý podpis, rotační skupina Roztočit(str, q) je konstruováno skrz Cliffordské algebry podobným způsobem jako standardní skupiny spinů. Je to dvojitý kryt z TAK0(str, q), propojená složka identity z neurčitá ortogonální skupina TAK(str, q). Pro str + q > 2, Roztočit(str, q) je připojen; pro (str, q) = (1, 1) existují dvě připojené komponenty.[4]:193 Stejně jako v definitivním podpisu existují i malé náhodné izomorfismy v nízkých rozměrech:
- Točení (1, 1) = GL (1, R)
- Točení (2, 1) = SL (2, R)
- Točení (3, 1) = SL (2, C)
- Točení (2, 2) = SL (2, R) × SL (2, R)
- Točení (4, 1) = Sp (1, 1)
- Točení (3, 2) = Sp (4, R)
- Točení (5, 1) = SL (2, H)
- Točení (4, 2) = SU (2, 2)
- Točení (3, 3) = SL (4, R)
- Točení (6, 2) = SU (2, 2, H)
Všimněte si, že Roztočit(str, q) = Otáčení (q, str).
Topologické úvahy
Připojeno a jednoduše připojeno Skupiny lži jsou klasifikovány podle jejich lži. Takže když G je spojená Lieova skupina s jednoduchou Lieovou algebrou, s G„ univerzální kryt z G, existuje zahrnutí
se Z (G′) centrum z G′. Toto zahrnutí a Lieova algebra z G určit G úplně (všimněte si, že tomu tak není a π1(G) určit G zcela; například SL (2, R) a PSL (2, R) mají stejnou Lieovu algebru a stejnou základní skupinu Z, ale nejsou izomorfní).
Definitivní podpis Spin (n) všichni jsou jednoduše připojeno pro n > 2, jedná se tedy o univerzální obaly SO (n).
V neurčitém podpisu, Spin (str, q) nemusí být nutně spojeno a obecně složka identity, Spin0(str, q), není jednoduše připojen, nejedná se tedy o univerzální kryt. Základní skupinu lze nejsnadněji pochopit zvážením maximální kompaktní podskupina SO (str, q), což je SO (str) × SO (q), a poznamenává, že spíše než produkt 2-násobných krytů (tedy 4-násobného krytu), Spin (str, q) je „diagonální“ 2-násobný kryt - jedná se o 2-násobný kvocient čtyřnásobného krytu. Výslovně maximální kompaktní připojená podskupina Spinu (str, q) je
- Roztočit(str) × Otáčení (q)/{(1, 1), (−1, −1)}.
To nám umožňuje vypočítat základní skupiny of Spin (str, q), přičemž str ≥ q:
Tak jednou str, q > 2 základní skupina je Z2, protože se jedná o dvojnásobný kvocient produktu dvou univerzálních krytů.
Mapy základních skupin jsou uvedeny níže. Pro str, q > 2, to znamená, že mapa π1(Roztočit(str, q)) → π1(TAK(str, q)) darováno 1 ∈ Z2 chystat se (1, 1) ∈ Z2 × Z.2. Pro str = 2, q > 2, tato mapa je dána 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z.2. A konečně pro str = q = 2, (1, 0) ∈ Z × Z je odeslán na (1,1) ∈ Z × Z a (0, 1) je odeslán na (1, −1).
Centrum
Střed rotačních skupin, pro n ≥ 3, (komplexní a skutečné) jsou uvedeny následovně:[4]:208
Kvocientové skupiny
Kvocientové skupiny lze získat ze spinové skupiny kvocizací podskupinou středu, přičemž spinovou skupinou pak je a krycí skupina výsledného kvocientu a obě skupiny mají stejnou Lieovu algebru.
Quotienting out by the center center yields the minimal such group, the projektivní speciální ortogonální skupina, který je bez centra, zatímco kvocientem o {± 1} získáme speciální ortogonální skupinu - pokud je střed roven {± 1} (konkrétně v liché dimenzi), tyto dvě skupiny kvocientů souhlasí. Pokud je skupina spinů jednoduše připojena (jako Spin (n) je pro n > 2), pak je Spin maximální skupina v sekvenci a jedna má sekvenci tří skupin,
- Roztočit(n) → SO (n) → PSO (n),
dělení podle paritních výnosů:
- Točit (2n) → SO (2n) → PSO (2n),
- Točit (2n+1) → SO (2n+1) = PSO (2n+1),
což jsou tři kompaktní skutečné formy (nebo dva, pokud SO = PSO) z kompaktní Lieova algebra
The homotopické skupiny krytí a podílu souvisí s dlouhá přesná sekvence fibrace, s diskrétním vláknem (vlákno je jádro) - tedy všechny homotopické skupiny pro k > 1 jsou stejné, ale π0 a π1 se mohou lišit.
Pro n > 2, Točit (n) je jednoduše připojeno (π0 = π1 = Z1 je triviální), takže SO (n) je připojen a má základní skupinu Z2 zatímco PSO (n) je spojen a má základní skupinu rovnající se středu Spinu (n).
V neurčitém podpisu jsou obaly a skupiny homotopy komplikovanější - Spin (str, q) není jednoduše spojeno a kvocientování ovlivňuje také připojené komponenty. Analýza je jednodušší, pokud se vezme v úvahu maximální (připojený) kompaktní TAK(str) × SO (q) ⊂ SO (str, q) a skupina komponent z Roztočit(str, q).
Whitehead tower
Skupina odstřeďování se objeví v a Whitehead tower ukotven u ortogonální skupina:
Věž je získávána postupným odstraňováním (zabíjením) homotopických skupin rostoucího řádu. To se provádí konstrukcí krátké přesné sekvence začínající na Eilenberg – MacLaneův prostor pro odstranění skupiny homotopy. Zabíjení π3 homotopická skupina ve Spinu (n), jeden získá nekonečně-dimenzionální skupina řetězců Tětiva(n).
Diskrétní podskupiny
Diskrétní podskupiny spinové skupiny lze pochopit jejich spojením s diskrétními podskupinami speciální ortogonální skupiny (rotační bodové skupiny ).
Vzhledem k dvojitému krytu Roztočit(n) → SO (n)tím, že věta o mřížce, tady je Galoisovo spojení mezi podskupinami Spinu (n) a podskupiny SO (n) (skupiny rotačních bodů): obraz podskupiny Spin (n) je skupina rotačních bodů a preimage skupiny bodů je podskupinou Spin (n) a operátor uzavření na podskupinách Spinu (n) je násobení {± 1}. Mohou se nazývat „skupiny binárních bodů“; nejznámější je trojrozměrný případ, známý jako binární polyedrické skupiny.
Konkrétně je každá skupina binárních bodů buď předobrazem skupiny bodů (proto je označena jako 2G, pro skupinu bodů G), nebo je podskupina indexu 2 preimage skupiny bodů, která mapuje (izomorfně) na skupinu bodů; v druhém případě je úplná binární skupina abstraktně (protože {± 1} je centrální). Jako příklad těchto druhých lze uvést cyklickou skupinu lichého pořadí v SO (n), jeho preimage je cyklická skupina dvojnásobného řádu, a podskupina Z2k+1
Za zmínku stojí dvě série:
- vyšší binární čtyřboké skupiny, což odpovídá 2-násobnému krytu symetrií n-simplex; tuto skupinu lze také považovat za dvojité krytí symetrické skupiny, 2⋅An → An, přičemž střídavou skupinou je skupina (rotační) symetrie n-jednodušší.
- vyšší binární oktaedrické skupiny, odpovídající 2-násobným krytům hyperoktaedrická skupina (symetrie hyperkrychle, nebo ekvivalent jeho dvojího, křížový mnohostěn ).
U skupin bodů, které mají obrácenou orientaci, je situace komplikovanější, protože existují dvě připnout skupiny, takže existují dvě možné binární skupiny odpovídající dané skupině bodů.
Viz také
Související skupiny
- Připnout skupinu Kolík(n) - dvojitý kryt ortogonální skupina, O (n)
- Metaplektická skupina Mp (2n) - dvojitý kryt symplektická skupina, Sp (2n)
- Řetězcová skupina Řetězec (n) - další skupina ve věži Whitehead
Reference
- ^ Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometrie točení. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. strana 14
- ^ Friedrich, Thomas (2000), Diracoví operátoři v Riemannově geometrii, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2055-1 strana 15
- ^ A b C Jürgen Jost, Riemannova geometrie a geometrická analýza, (2002) Springer Verlag ISBN 3-540-42627-2 (Viz kapitola 1.)
- ^ A b Varadarajan, V. S. (2004). Supersymetrie pro matematiky: úvod. Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN 0821835742. OCLC 55487352.
Další čtení
- Karoubi, Max (2008). K-teorie. Springer. 210–214. ISBN 978-3-540-79889-7.