Binární čtyřboká skupina - Binary tetrahedral group

Pravidelný složitý mnohostěn, 3 {6} 2 nebo nebo , představuje Cayleyův diagram pro binární čtyřboká skupina, s každým červeným a modrým trojúhelníkem směrovaný podgraf.^[1]

v matematika, binární čtyřboká skupina, označený 2T nebo ⟨2,3,3⟩ je jistý neabelská skupina z objednat 24. Je to rozšíření z čtyřboká skupina T nebo (2,3,3) řádu 12 podle a cyklická skupina řádu 2 a je preimage čtyřboké skupiny pod 2: 1 pokrývající homomorfismus Roztočte (3) → SO (3) z speciální ortogonální skupina podle spinová skupina. Z toho vyplývá, že binární čtyřboká skupina je a diskrétní podskupina of Spin (3) objednávky 24. The komplexní reflexní skupina s názvem 3 (24) 3 podle G.C. Shephard nebo 3 [3] 3 a podle Coxeter, je izomorfní s binární čtyřboká skupinou.

Binární čtyřboká skupina je nejsnadněji popsána konkrétně jako diskrétní podskupina jednotkové čtveřice pod izomorfismem Spin (3) ≅ Sp (1), kde Sp (1) je multiplikativní skupina čtverců jednotek. (Popis tohoto homomorfismu viz článek na čtveřice a prostorové rotace.)

Elementy

Cayleyův graf SL (2,3)

Projekce symetrie

8krát	12krát
24 čtveřice prvků: 1 objednávka - 1: 1 1 objednávka-2: -1 6 order-4: ± i, ± j, ± k 8. řád-6: (+ 1 ± i ± j ± k) / 2 8 order-3: (-1 ± i ± j ± k) / 2.

Explicitně je binární čtyřboká skupina uvedena jako skupina jednotek v prsten z Hurwitzova celá čísla. K dispozici je 24 takových jednotek

${displaystyle {pm 1, pm i, pm j, pm k, {frac {1} {2}} (pm 13:00 ipm jpm k)}}$

se všemi možnými kombinacemi znaků.

Všech 24 jednotek má absolutní hodnotu 1, a proto leží ve skupině čtveřice jednotek Sp (1). The konvexní obal z těchto 24 prvků ve 4-dimenzionálním prostoru tvoří a konvexní pravidelný 4-polytop volal 24článková.

Vlastnosti

Binární čtyřboká skupina, označená 2T, zapadá do krátká přesná sekvence

${displaystyle 1 o {pm 1} o 2mathrm {T} o mathrm {T} o 1.}$

Tato posloupnost není rozdělit, což znamená, že 2T je ne A polopřímý produkt z {± 1} od T. Ve skutečnosti neexistuje žádná podskupina 2T izomorfní s T.

Binární čtyřboká skupina je krycí skupina čtyřboké skupiny. Myšlení čtyřboké skupiny jako střídavá skupina na čtyři písmena, T ≅ A₄, máme tedy binární čtyřboká skupina jako krycí skupina, 2T ≅ ${displaystyle {widehat {mathrm {A} _ {4}}}}$.

The centrum 2T je podskupina {± 1}. The skupina vnitřního automorfismu je izomorfní s A₄a plné automorfická skupina je izomorfní vůči S.₄.^[2]

Násobení doleva -ω, an objednat -6 prvek: podívejte se na šedé, modré, fialové a oranžové koule a šipky, které tvoří 4oběžné dráhy (dvě šipky nejsou zobrazeny). ω sama o sobě je nejspodnější koule: ω = (−ω)(−1) = (−ω)⁴

Binární čtyřboká skupina může být zapsána jako polopřímý produkt

${displaystyle 2mathrm {T} = mathrm {Q} krát mathrm {C} _ {3}}$

kde Q je čtveřice skupina skládající se z 8 Jednotky Lipschitz a C.₃ je cyklická skupina objednávky 3 vygenerované uživatelem ω = −1/2(1 + i + j + k). Skupina Z₃ působí na normální podskupinu Q časování. Konjugace ω je automorfismus Q, který se cyklicky otáčí i, j, a k.

Lze ukázat, že binární čtyřboká skupina je isomorfní s speciální lineární skupina SL (2,3) - skupina všech 2 × 2 matice nad konečné pole F₃ s jednotkovým determinantem, přičemž tento izomorfismus pokrývá izomorfismus z projektivní speciální lineární skupina PSL (2,3) se střídavou skupinou A₄.

Prezentace

Skupina 2T má a prezentace dána

${displaystyle langle r, s, tmid r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {3} = rstangle}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle langle s, tmid (st) ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {3} úhel.}$

Generátory s těmito vztahy jsou dány

${displaystyle r = kqquad s = {frac {1} {2}} (1 + i + j + k) qquad t = {frac {1} {2}} (1 + i + j-k).}$

S ${displaystyle r ^ {2} = s ^ {3} = t ^ {3} = - 1}$

Podskupiny

The binární čtyřboká skupina, 2T = <3,3,2>, má 2 primární podskupiny:
* čtveřice skupina, Q = <2,2,2>, index 3
* dihedrální skupina Z6 = <3>, index 4.

The čtveřice skupina skládající se z 8 Jednotky Lipschitz tvoří a normální podskupina 2T z index 3. Tato skupina a střed {± 1} jsou jediné netriviální normální podskupiny.

Všechny ostatní podskupiny 2T jsou cyklické skupiny generované různými prvky s objednávkami 3, 4 a 6.^[3]

Vyšší rozměry

Stejně jako se čtyřboká skupina zobecňuje na skupinu rotační symetrie n-simplexní (jako podskupina SO (n)), existuje odpovídající vyšší binární skupina, což je 2-násobný obal, pocházející z krytu Spin (n) → SO (n).

Skupina rotační symetrie n-simplex lze považovat za střídavá skupina na n + 1 bod, A_n+1a odpovídající binární skupina je dvojnásobná krycí skupina. Pro všechny vyšší dimenze kromě A₆ a A.₇ (odpovídá 5rozměrným a 6rozměrným simplexům), tato binární skupina je krycí skupina (maximální krytí) a je superperfektní, ale pro dimenzionální 5 a 6 existuje další výjimečný trojnásobný obal a binární skupiny nejsou superperfektní.

Využití v teoretické fyzice

Binární čtyřboká skupina byla použita v kontextu Teorie Yang – Mills v roce 1956 Chen Ning Yang a další.^[4]Poprvé byl použit při vytváření modelů fyziky příchutí Paul Frampton a Thomas Kephart v roce 1994.^[5]V roce 2012 se ukázalo ^[6] že je odvozen vztah mezi dvěma úhly směšování neutrin^[7]použitím této binární čtyřboké symetrie chuti souhlasí s experimentem.

Viz také

• Binární polyedrická skupina
• binární cyklická skupina, ⟨n⟩, Objednávka 2n
• binární dihedrální skupina, ⟨2,2,n⟩, Objednávka 4n
• binární oktaedrická skupina, 2O = ⟨2,3,4⟩, objednávka 48
• binární ikosaedrální skupina, 2I = ⟨2,3,5⟩, objednávka 120

Poznámky

Reference

• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003). Na čtveřicích a oktonionech. Natick, Massachusetts: AK Peters, Ltd. ISBN  1-56881-134-9.
• Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generátoři a vztahy pro jednotlivé skupiny, 4. vydání. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9. 6.5 Binární mnohostěnné skupiny, str. 68