Maximální kompaktní podskupina - Maximal compact subgroup
v matematika, a maximální kompaktní podskupina K. a topologická skupina G je podskupina K. to je kompaktní prostor, v topologie podprostoru, a maximální mezi těmito podskupinami.
Maximální kompaktní podskupiny hrají důležitou roli při klasifikaci Lieových skupin a zejména polojednodušých Lieových skupin. Maximální kompaktní podskupiny Lieových skupin jsou ne obecně jedinečné, ale jsou jedinečné až časování - oni jsou v podstatě jedinečný.
Příklad
Příkladem může být podskupina O (2), ortogonální skupina, uvnitř obecná lineární skupina GL (2, R). Souvisejícím příkladem je kruhová skupina SO (2) uvnitř SL (2, R). Evidentně SO (2) uvnitř GL (2, R) je kompaktní a ne maximální. Jedinečnost těchto příkladů lze považovat za jakoukoli vnitřní produkt má přidruženou ortogonální skupinu a základní jedinečnost odpovídá základní jedinečnosti vnitřního produktu.
Definice
Maximální kompaktní podskupina je maximální podskupina mezi kompaktními podskupinami - a maximální (kompaktní podskupina) - spíše než být (alternativní možné čtení) a maximální podskupina to je kompaktní; který by se pravděpodobně nazýval a kompaktní (maximální podskupina), ale v žádném případě to není zamýšlený význam (a ve skutečnosti maximální správné podskupiny nejsou obecně kompaktní).
Existence a jedinečnost
The Věta Cartan-Iwasawa-Malcev tvrdí, že každá připojená Lieova skupina (a skutečně každá připojená lokálně kompaktní skupina) připouští maximální kompaktní podskupiny a že jsou všechny navzájem konjugované. Pro napůl jednoduchá Lieova skupina jedinečnost je důsledkem Věta o pevném bodě Cartan, který tvrdí, že pokud kompaktní skupina působí podle izometrií na úplné jednoduše připojené záporně zakřivené Riemannovo potrubí pak má pevný bod.
Maximální kompaktní podskupiny propojených Lieových skupin jsou obvykle ne jedinečné, ale jsou jedinečné až do konjugace, což znamená, že byly dány dvě maximální kompaktní podskupiny K. a L, existuje prvek G ∈ G takhle[1] gKg−1 = L. Proto je maximální kompaktní podskupina v podstatě jedinečný a lidé často mluví o „maximální“ kompaktní podskupině.
Pro příklad obecné lineární skupiny GL (n, R), to odpovídá skutečnosti, že žádný vnitřní produkt na Rn definuje (kompaktní) ortogonální skupinu (její izometrickou skupinu) - a že připouští ortonormální základ: změna základu definuje konjugační prvek konjugující izometrickou skupinu s klasickou ortogonální skupinou O (n, R).
Důkazy
Pro skutečnou polojedinou Lieovu skupinu lze Cartanova důkaz o existenci a jedinečnosti maximální kompaktní podskupiny nalézt v Borel (1950) a Helgason (1978). Cartier (1955) a Hochschild (1965) diskutovat o rozšíření připojených Lieových skupin a připojených lokálně kompaktních skupin.
U polojednodušých skupin je existence důsledkem existence kompaktu skutečná podoba nekompaktní polojednodušé Lieovy skupiny a odpovídající Rozklad kartanu. Důkaz jedinečnosti se opírá o skutečnost, že odpovídající Riemannovský symetrický prostor G/K. má negativní zakřivení a Cartanova věta o pevném bodě. Mostow (1955) ukázal, že derivát exponenciální mapy v kterémkoli bodě G/K. vyhovuje | d exp X| ≥ | X |. To z toho vyplývá G/K. je Hadamardův prostor, tj. a kompletní metrický prostor uspokojení oslabené formy pravidla rovnoběžníku v euklidovském prostoru. Jedinečnost lze poté odvodit z Věta o pevném bodě Bruhat-Tits. Ve skutečnosti je každá ohraničená uzavřená množina v Hadamardově prostoru obsažena v jedinečné nejmenší uzavřené kouli, jejíž střed se nazývá jeho circumcenter. Zejména kompaktní skupina působící pomocí izometrií musí fixovat circumcenter každé ze svých oběžných drah.
Důkaz jedinečnosti pro poloviční skupiny
Mostow (1955) souvisí také obecný problém pro polojednoduché skupiny s případem GL (n, R). Odpovídající symetrický prostor je prostor pozitivních symetrických matic. Přímý důkaz jedinečnosti spoléhající se na základní vlastnosti tohoto prostoru je uveden v Hilgert & Neeb (2012).
Nechat být skutečnou polojednodušou Lieovou algebrou Cartan involuce σ. Tak podskupina s pevným bodem σ je maximální kompaktní podskupina K. a dochází k rozkladu vlastního prostoru
kde , Lieova algebra K., je +1 vlastní prostor. Cartanův rozklad dává
Li B je Formulář zabíjení na dána B(X,Y) = Tr (reklama X) (reklama Y), pak
je skutečný vnitřní produkt . Pod adjunkční reprezentací K. je podskupinou G který zachovává tento vnitřní produkt.
Li H je další kompaktní podskupina G, pak zprůměrování vnitřního produktu H s ohledem na Haarovu míru dává vnitřní produkt invariantní pod H. Provozovatelé Ad str s str v P jsou pozitivní symetrické operátory. Tento nový vnitřní produkt lze psát jako
kde S je pozitivní symetrický operátor na takový, že Ad (h)tS Inzerát h = S pro h v H (s transpozicemi počítanými s ohledem na vnitřní produkt). Navíc pro X v G,
Tak pro h v H,
Pro X v definovat
Li Ei je ortonormální základ vlastních vektorů pro S s Sei = λi Ei, pak
aby F je přísně pozitivní a má sklon ∞ jako |X| inklinuje k ∞. Ve skutečnosti je tato norma ekvivalentní normě operátora v reklamě symetrických operátorů X a každé nenulové vlastní číslo se vyskytuje s jeho záporem, protože i ad X je operátor zkosení v kompaktní reálné podobě .
Tak F má globální minimum na Y říci. Toto minimum je jedinečné, protože pokud Z tehdy byli další
kde X v je definován Cartanovým rozkladem
Li Fi je ortonormální základ vlastních vektorů reklamy X s odpovídajícími reálnými vlastními čísly μi, pak
Protože pravá strana je pozitivní kombinací exponenciálů, funkce se skutečnou hodnotou G je přísně konvexní -li X ≠ 0, takže má jedinečné minimum. Na druhou stranu má lokální minima v t = 0 a t = 1, tedy X = 0 a str = exp Y je jedinečné globální minimum. Podle konstrukceF(X) = F(σ (h)xh−1) pro h v H, aby str = σ (h)ph−1 pro h v H. Proto σ (h)= php−1. V důsledku toho, pokud G = exp Y/2, gHg−1 je fixováno σ, a proto leží v K..
Aplikace
Teorie reprezentace
Maximální kompaktní podskupiny hrají v EU základní roli teorie reprezentace když G není kompaktní. V takovém případě maximální kompaktní podskupina K. je kompaktní Lieova skupina (protože uzavřená podskupina Lieovy skupiny je Lieova skupina), pro kterou je teorie jednodušší.
Operace týkající se teorií reprezentace G a K. jsou omezující reprezentace z G na K., a vyvolání reprezentací z K. na G, a ty jsou docela dobře pochopeny; jejich teorie zahrnuje teorii sférické funkce.
Topologie
The algebraická topologie skupiny Lie je také převážně nesena maximální kompaktní podskupinou K.. Abych byl přesný, spojená Lieova skupina je topologický produkt (i když ne skupinový teoretický produkt) maximálního kompaktu K. a euklidovský prostor - G = K. × Rd - tedy zejména K. je zatažení deformace z G, a je ekvivalent homotopy, a proto mají stejné homotopické skupiny. Skutečnost, začlenění a zatažení deformace jsou homotopické ekvivalence.
Pro obecnou lineární skupinu je tento rozklad QR rozklad a deformační zatažení je Gram-Schmidtův proces. Pro obecnou polojednodušou Lieovu skupinu je rozklad Iwasawa rozklad z G tak jako G = KAN ve kterém K. vyskytuje se u produktu s a smluvní podskupina AN.
Viz také
Poznámky
- ^ Všimněte si, že tento prvek G není jedinečný - jakýkoli prvek ve stejné cosetu gK udělalo by to stejně.
Reference
- Borel, Armand (1950), Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33), Séminaire Bourbaki, 1
- Cartier, P. (1955), Struktura topologique des groupes de Lie généraux (expozice č. 22), Séminaire "Sophus Lie", 1
- Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semi-simple Lie groups, Chapter XXIPojednání o analýze, 5Akademický tisk, ISBN 012215505X
- Helgason, Sigurdur (1978), Diferenciální geometrie, Lieovy skupiny a symetrické prostoryAkademický tisk, ISBN 978-0-12-338460-7
- Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann (2012), Struktura a geometrie Lieových skupinSpringerovy monografie z matematiky, Springer, ISBN 0387847944
- Hochschild, G. (1965), Struktura Lieových skupin, Holden-Day
- Mostow, G. D. (1955), Některé nové věty o rozkladu pro semi-jednoduché skupiny, Mem. Amer. Matematika. Soc., 14, str. 31–54
- Onishchik, A.L .; Vinberg, E.B. (1994), Lie Skupiny a Lie Algebry III: Struktura Lie Skupin a Lie AlgebryEncyklopedie matematických věd, 41Springer, ISBN 9783540546832
- Malcev, A. (1945), „K teorii Lieových skupin ve velkém“, Rohož. Sbornik, 16: 163–189
- Iwasawa, K. (1949), „O některých typech topologických skupin“, Ann. matematiky., 50: 507–558, doi:10.2307/1969548