Určitě kvadratická forma - Definite quadratic form

v matematika, a určitá kvadratická forma je kvadratická forma přes některé nemovitý vektorový prostor PROTI to má stejné podepsat (vždy pozitivní nebo vždy negativní) pro každý nenulový vektor PROTI. Podle tohoto znamení se nazývá kvadratická forma pozitivní-definitivní nebo negativní-definitivní.

A semidefinitní (nebo semi-definitivní) kvadratická forma je definována v podstatě stejným způsobem, kromě toho, že „vždy pozitivní“ a „vždy negativní“ jsou nahrazeny slovy „vždy negativní“ a „vždy pozitivní“. Jinými slovy, může nabývat nulových hodnot.

An neurčitý kvadratická forma nabývá kladných i záporných hodnot a nazývá se izotropní kvadratická forma.

Obecněji platí, že tyto definice platí pro jakýkoli vektorový prostor nad objednané pole.^[1]

Přidružená symetrická bilineární forma

Kvadratické formy odpovídají jedna k jedné symetrické bilineární tvary ve stejném prostoru.^[2] Symetrická bilineární forma je také popsána jako určitý, semidefinitníatd. podle příslušné kvadratické formy. Kvadratická forma Q a jeho přidružená symetrická bilineární forma B souvisí následujícími rovnicemi:

${displaystyle {egin {aligned} Q (x) & = B (x, x) B (x, y) & = B (y, x) = {frac {1} {2}} (Q (x + y) ) -Q (x) -Q (y)) konec {zarovnáno}}}$

Druhý vzorec vyplývá z rozšiřování ${displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)}$.

Příklady

Jako příklad, pojďme ${displaystyle V = mathbb {R} ^ {2}}$, a zvažte kvadratickou formu

${displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2}}$

kde X = (X₁, X₂) ${displaystyle in V}$ a C₁ a C₂ jsou konstanty. Li C₁ > 0 a C₂ > 0kvadratická forma Q je kladně definitivní, takže Q kdykoli vyhodnotí na kladné číslo ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) eq (0,0).}$ Pokud je jedna z konstant kladná a druhá je 0, pak Q je kladný semidefinit a vždy se vyhodnotí buď na 0, nebo na kladné číslo. Li C₁ > 0 a C₂ < 0, nebo naopak Q je neurčitý a někdy se vyhodnotí na kladné číslo a někdy na záporné číslo. Li C₁ < 0 a C₂ < 0kvadratická forma je záporně definitivní a vždy se kdykoli vyhodnotí na záporné číslo ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) eq (0,0).}$ A pokud je jedna z konstant záporná a druhá je 0, pak Q je záporný semidefinit a vždy se vyhodnotí buď jako 0, nebo jako záporné číslo.

Obecně kvadratická forma ve dvou proměnných bude také zahrnovat termín meziproduktu v X₁X₂:

${displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2}. }$

Tato kvadratická forma je kladně definitivní, pokud ${displaystyle c_ {1}> 0}$ a ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ negativní-definitivní, pokud ${displaystyle c_ {1} <0}$ a ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}> 0,}$ a neurčitý pokud ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} <0.}$ Je kladné nebo záporné semidefinitní, pokud ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,}$ se znamením semidefinitity shodným se znamením ${displaystyle c_ {1}.}$

Tato dvojrozměrná kvadratická forma se objevuje v kontextu kuželovité úseky na původ. Pokud je obecná kvadratická forma výše rovna 0, výsledná rovnice je rovnice an elipsa pokud je kvadratická forma kladná nebo záporně určitá, a hyperbola pokud je neurčitý, a parabola -li ${displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}$

Náměstí Euklidovská norma v n-rozměrný prostor, nejčastěji používaná míra vzdálenosti, je

${displaystyle x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2}.}$

Ve dvou dimenzích to znamená, že vzdálenost mezi dvěma body je druhou odmocninou součtu čtverců vzdáleností podél ${displaystyle x_ {1}}$ osa a ${displaystyle x_ {2}}$ osa.

Maticová forma

Kvadratickou formu lze napsat ve smyslu matice tak jako

${displaystyle x ^ {ext {T}} Sekera}$

kde X je jakýkoli n×1 Kartézský vektor ${displaystyle (x_ {1}, cdots, x_ {n}) ^ {ext {T}}}$ ve kterém ne všechny prvky jsou 0, horní index ^T označuje a přemístit, a A je n×n symetrická matice. Li A je úhlopříčka toto je ekvivalentní nematicové formě obsahující pouze výrazy zahrnující čtvercové proměnné; ale pokud A má nenulové off-diagonální prvky, nematrixový formulář bude také obsahovat některé výrazy zahrnující produkty dvou různých proměnných.

Kladná nebo záporná určitost nebo polořadovost nebo neurčitost této kvadratické formy je ekvivalentní stejná vlastnost A, které lze zkontrolovat zvážením všech vlastní čísla z A nebo kontrolou všech známek hlavní nezletilí.

Optimalizace

Určité kvadratické formy se snadno hodí optimalizace problémy. Předpokládejme, že kvadratická forma matice je rozšířena o lineární členy, jako

${displaystyle x ^ {ext {T}} Sekera + 2b ^ {ext {T}} x,}$

kde b je n脳 1 vektor konstant. The podmínky prvního řádu pro maximum nebo minimum najdete nastavením maticový derivát do nulového vektoru:

${displaystyle 2Ax + 2b = 0,}$

dávat

${displaystyle x = -A ^ {- 1} b}$

za předpokladu A je nesmyslný. Pokud kvadratická forma, a tudíž A, je kladně definitivní, podmínky druhého řádu v tomto okamžiku jsou splněny minimálně. Pokud je kvadratická forma záporně definitivní, jsou splněny podmínky druhého řádu pro maximum.

Důležitý příklad takové optimalizace vyvstává v vícenásobná regrese, ve kterém je hledán vektor odhadovaných parametrů, který minimalizuje součet čtverců odchylek od dokonalého přizpůsobení v datové sadě.

Viz také

• Izotropní kvadratická forma
• Pozitivně určitá funkce
• Kladná a určitá matice
• Polarizační identita

Poznámky

Reference

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmetika kvadratických forem. Cambridge Tracts v matematice. 106. Cambridge University Press. ISBN  0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Lang, Serge (2004), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Opravený čtvrtý tisk, revidované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, s. 578, ISBN  978-0-387-95385-4.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symetrické bilineární formuláře. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer. ISBN  3-540-06009-X. Zbl  0292.10016.