Řetězcová skupina - String group
v topologie, pobočka matematika, a skupina řetězců je nekonečně dimenzionální skupina představil Stolz (1996) jako -připojený kryt a spinová skupina. A řetězec potrubí je potrubí se zvednutím jeho svazek rámů do svazku skupiny řetězců. To znamená, že kromě schopnosti definovat holonomy podél cest lze také definovat holonomy pro povrchy mezi řetězci. Existuje krátký přesná sekvence z topologické skupiny
kde je Eilenberg – MacLaneův prostor a je rotační skupina. Skupina řetězců je položka v souboru Whitehead tower (duální pojmu Postnikovova věž ) pro ortogonální skupina:
Získává se zabitím homotopická skupina pro stejným způsobem se získává z zabíjením . Výsledné potrubí nemůže být žádné konečně-dimenzionální Lež skupina, protože všechny konečně-dimenzionální kompaktní Lieovy skupiny mají nemizející . Následuje skupina pěti jeřábů zabitím .
Obecněji lze konstrukci věže Postnikov přes krátké přesné sekvence počínaje Eilenberg-MacLaneovými mezerami použít na jakýkoli Lež skupina G, dává skupinu řetězců Tětiva(G).
Intuice pro skupinu řetězců
Relevance prostoru Eilenberg-Maclane spočívá ve skutečnosti, že existují homotopické ekvivalence
pro třídicí prostor a skutečnost . Všimněte si, že protože komplexní skupina otáčení je příponou skupiny
skupinu String lze považovat za "vyšší" rozšíření skupiny spinů ve smyslu teorie vyšších skupin od prostoru je příkladem vyšší skupiny. Lze si představit topologickou realizaci grupoid jehož objekt je jediný bod a jehož morfismy jsou skupina . Všimněte si, že homotopický stupeň je , což znamená, že jeho homotopie je koncentrována ve stupních , protože pochází z homotopy vlákno mapy
z věže Whitehead, jejíž homotopní koks je . Je to proto, že homotopické vlákno snižuje stupeň o .
Porozumění geometrii
Geometrie Stringových svazků vyžaduje pochopení více konstrukcí v teorii homotopy,[1] ale v podstatě se snižují, aby pochopili, co -bundles jsou a jak se chovají tato rozšíření vyšších skupin. A to, - svazky v prostoru jsou reprezentovány geometricky jako svazek gerbes protože jakýkoli -bundle může být realizován jako vlákno homotopy mapy, které dává čtverec homotopy
kde . Pak svazek řetězců musí mapovat na balíček odstřeďování který je -equivariant, analogicky tomu, jak se svazky spinů ekvivariantně mapují na svazek rámců.
Fivebrane skupina a vyšší skupiny
Podobně lze chápat i skupinu pěti jeřábů[2] zabitím skupina skupiny řetězců pomocí věže Whitehead. Poté jej lze znovu pochopit pomocí přesné sekvence vyšší skupiny
přednášet jde o iterované rozšíření, tj. rozšíření o podle . Poznámka mapa vpravo je z věže Whitehead, a mapa vlevo je homotopy vlákno.
Viz také
Reference
- ^ Jurco, Branislav (srpen 2011). "Crossed Module Bundle Gerbes; Klasifikace, skupina řetězců a diferenciální geometrie". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 08 (05): 1079–1095. doi:10.1142 / S0219887811005555. ISSN 0219-8878.
- ^ Sati, Hisham; Schreiber, Urs; Stasheff, Jim (listopad 2009). "Fivebrane Structures". Recenze v matematické fyzice. 21 (10): 1197–1240. doi:10.1142 / S0129055X09003840. ISSN 0129-055X.
- Henriques, André G .; Douglas, Christopher L .; Hill, Michael A. (2008), Homologické překážky orientace strun, arXiv:0810.2131, Bibcode:2008arXiv0810.2131D
- Wockel, Christoph; Sachse, Christoph; Nikolaus, Thomas (2011), Hladký model pro skupinu řetězců, arXiv:1104.4288, Bibcode:2011arXiv1104.4288N
- Stolz, Stephan (1996), „Domněnka o pozitivním Ricciho zakřivení a rodu Witten“, Mathematische Annalen, 304 (4): 785–800, doi:10.1007 / BF01446319, ISSN 0025-5831, PAN 1380455
- Stolz, Stephan; Teichner, Peter (2004), „Co je to eliptický objekt?“ (PDF), Topologie, geometrie a teorie kvantového pole, London Math. Soc. Přednáška Ser., 308, Cambridge University Press, str. 247–343, doi:10.1017 / CBO9780511526398.013, PAN 2079378
externí odkazy
- Baez, J. (2007), Higher Gauge Theory and the String Group
- Od skupin smyček po 2 skupiny - udává charakterizaci řetězce (n) jako a 2-skupina
- skupina řetězců v nLab
- Whitehead tower v nLab
- Co je to eliptický objekt?