Dirac operátor - Dirac operator
v matematika a kvantová mechanika, a Dirac operátor je operátor diferenciálu to je formální druhá odmocnina, nebo napůl iterovat, operátora druhého řádu, jako je a Laplacian. Původní případ, který se týkal Paul Dirac bylo formálně formalizovat operátora pro Minkowského prostor, abychom získali formu kvantové teorie kompatibilní s speciální relativita; získat relevantní Laplacian jako produkt operátorů prvního řádu, které představil rotory.
Formální definice
Obecně řečeno D být operátorem diferenciálu prvního řádu působícím na a vektorový svazek PROTI přes Riemannovo potrubí M. Li
kde ∆ je Laplacian z PROTI, pak D se nazývá a Dirac operátor.
v vysokoenergetická fyzika, tento požadavek je často uvolněný: pouze část druhého řádu D2 musí se rovnat Laplacian.
Příklady
Příklad 1
D = −i ∂X je operátor Dirac na internetu tečný svazek přes čáru.
Příklad 2
Vezměme si jednoduchý balíček pozoruhodného významu ve fyzice: konfigurační prostor částice se spinem 1/2 omezena na rovinu, která je také základním potrubím. Představuje to vlnovou funkci ψ : R2 → C2
kde X a y jsou obvyklé souřadnicové funkce R2. χ specifikuje amplituda pravděpodobnosti pro částici, která je ve stavu roztočení, a podobně pro η. Takzvaný operátor spin-Dirac pak lze psát
kde σi jsou Pauliho matice. Všimněte si, že díky anticommutačním vztahům pro Pauliho matice je důkaz výše definující vlastnosti triviální. Tyto vztahy definují pojem a Cliffordova algebra.
Řešení Diracova rovnice pro spinorová pole se často nazývají harmonické spinory.[1]
Příklad 3
Feynmanův Diracův operátor popisuje šíření svobodného fermion ve třech rozměrech a je elegantně napsán
za použití Feynman lomítko notace. V úvodních učebnicích k kvantová teorie pole, objeví se ve formuláři
kde jsou mimo úhlopříčku Diracovy matice , s a zbývající konstanty jsou the rychlost světla, bytost Planckova konstanta, a the Hmotnost fermionu (například an elektron ). Působí na čtyřsložkovou vlnovou funkci , Sobolevův prostor plynulých, čtvercově integrovatelných funkcí. Lze jej rozšířit na operátora s vlastní adjoint v dané doméně. Čtverec v tomto případě není Laplacian, ale místo toho (po nastavení )
Příklad 4
Vzniká další operátor Dirac Cliffordova analýza. V euklidovštině n-prostor to je
kde {Ej: j = 1, ..., n} je ortonormální základ pro euklidovský n-prostor a Rn je považován za vložený do a Cliffordova algebra.
Toto je zvláštní případ Provozovatel Atiyah – Singer – Dirac působící na úsecích a spinorský svazek.
Příklad 5
Pro roztočit potrubí, M, operátor Atiyah – Singer – Dirac je místně definován takto: Pro X ∈ M a E1(X), ..., Ej(X) místní ortonormální základ pro tečný prostor M na X, operátor Atiyah – Singer – Dirac
kde je spin připojení, zvedání Připojení Levi-Civita na M do spinorský svazek přes M. Čtverec v tomto případě není Laplacian, ale místo toho kde je skalární zakřivení spojení.[2]
Zobecnění
V Cliffordově analýze operátor D : C∞(Rk ⊗ Rn, S) → C∞(Rk ⊗ Rn, Ck ⊗ S) působící na spinorově hodnotné funkce definované pomocí
je někdy nazýván Dirac operátor v k Cliffordovy proměnné. V notaci S je prostor spinorů, jsou n-dimenzionální proměnné a je operátor Dirac v i-tá proměnná. Toto je běžné zobecnění operátora Dirac (k = 1) a Operátor Dolbeault (n = 2, k libovolný). Je to invariantní diferenciální operátor, neměnný v rámci akce skupiny SL (k) × Otáčení (n). The rozlišení z D je znám pouze v některých zvláštních případech.
Viz také
Reference
- ^ "Spinorova struktura", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- ^ Jurgen Jost, (2002) „Riemannova geometrie a geometrická analýza (3. vydání)“, Springer. Viz oddíl 3.4, stránky 142 a násl.
- Friedrich, Thomas (2000), Diracoví operátoři v Riemannově geometrii, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-2055-1
- Colombo, F., I .; Sabadini, I. (2004), Analýza Diracových systémů a výpočetní algebryBirkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5