Invariance domény - Invariance of domain

Invariance domény je věta v topologie o homeomorfní podmnožiny z Euklidovský prostor ℝⁿ. Uvádí:

Li U je otevřená podmnožina z ℝⁿ a F : U → ℝⁿ je injekční průběžná mapa, pak PROTI := F(U) je otevřen v ℝⁿ a F je homeomorfismus mezi U a PROTI.

Věta a její důkaz jsou způsobeny L. E. J. Brouwer, publikoval v roce 1912.^[1] Důkaz používá nástroje algebraická topologie, zejména Brouwerova věta o pevném bodě.

Poznámky

Závěr věty lze ekvivalentně formulovat jako: „F je otevřít mapu ".

Normálně to zkontrolovat F je homeomorfismus, člověk by musel ověřit, že obojí F a jeho inverzní funkce F ⁻¹ jsou spojité; věta říká, že pokud je doména otevřeno podmnožina ℝⁿ a obrázek je také v ℝⁿ, pak kontinuita F ⁻¹ je automatické. Věta dále říká, že pokud existují dvě podmnožiny U a PROTI z ℝⁿ jsou homeomorfní a U je tedy otevřený PROTI musí být také otevřené. (Všimněte si, že V je otevřená jako podmnožina ℝⁿ, a to nejen v topologii podprostoru. Otevřenost V v topologii podprostoru je automatická.) Oba tyto výroky nejsou vůbec zřejmé a nejsou obecně pravdivé, pokud člověk opustí euklidovský prostor.

Mapa, která není homeomorfismem na svém obrazu: G : (−1,1, 1) → ℝ² sG(t) = (t² − 1, t³ − t)

Je zásadně důležité, aby obojí doména a rozsah z F jsou obsaženy v euklidovském prostoru stejné dimenze. Zvažte například mapu F : (0,1) → ℝ² definován F(t) = (t, 0). Tato mapa je injektivní a spojitá, doména je otevřenou podmnožinou ℝ, ale obrázek není otevřen v ℝ². Extrémnějším příkladem je mapa G : (−1,1, 1) → ℝ² definován G(t) = (t ² − 1, t ³ − t) protože tady G je injektivní a kontinuální, ale nepřináší ani homeomorfismus na svůj obraz.

Věta také obecně neplatí v nekonečných dimenzích. Zvažte například Banachův prostor l^∞ všech ohraničených skutečných sekvence. Definovat F : l^∞ → l^∞ jako směna F(X₁, X₂, ...) = (0, X₁, X₂, ...). Pak F je injektivní a kontinuální, doména je otevřená l^∞, ale obrázek není.

Důsledky

Důležitým důsledkem věty o doménové invariance je to ℝⁿ nemůže být homeomorfní ℝ^m -li m ≠ n. Ve skutečnosti žádná neprázdná otevřená podmnožina ℝⁿ může být homeomorfní pro jakoukoli otevřenou podmnožinu ℝ^m v tomto případě.

Zobecnění

Teorém o invariance domény lze zobecnit na rozdělovače: pokud M a N jsou topologické n- rozdělovače bez hranice a F : M → N je spojitá mapa, která je lokálně jedna k jedné (což znamená, že každý bod v M má sousedství takhle F omezeno na toto sousedství je injektivní) F je otevřít mapu (znamenající, že F(U) je otevřen v N kdykoli U je otevřená podmnožina M) a a místní homeomorfismus.

Existují také zobecnění určitých typů spojitých map z a Banachův prostor pro sebe.^[2]

Viz také

• Otevřená věta o mapování pro další podmínky, které zajišťují, že je daná souvislá mapa otevřená.

Reference

externí odkazy

• Mill, J. van (2001) [1994], „Invariance domény“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS