Tarskisova axiomatizace skutečností - Tarskis axiomatization of the reals - Wikipedia

V roce 1936 Alfred Tarski vyložit axiomatizace z reálná čísla a jejich aritmetika, skládající se pouze z 8 axiomy níže a pouhá čtyři primitivní pojmy:^[1] the soubor skutečností označených R, a binární celková objednávka přes R, označeno infix <, a binární operace přidání navíc R, označeno infix + a konstanta 1.

Literatura příležitostně zmiňuje tuto axiomatizaci, ale nikdy nejde do podrobností, bez ohledu na její ekonomiku a elegantní metamathematical vlastnosti. Tato axiomatizace se jeví jako málo známá, možná kvůli ní druhá objednávka Příroda. Tarskiho axiomatizaci lze považovat za verzi obvyklejší definice reálných čísel jako jedinečný Dedekind - kompletní objednané pole; je však mnohem výstižnější použitím neortodoxních variant standardních algebraických axiomů a dalších jemných triků (viz např. axiomy 4 a 5, které kombinují obvyklé čtyři axiomy abelianské skupiny ).

Termín „Tarskiho axiomatizace reálných čísel“ také odkazuje na teorii skutečná uzavřená pole, což Tarski ukázal zcela axiomatizuje první objednávka teorie struktury 〈R, +, ·, <〉.

Axiomy

Axiomy řádu (primitiva: R, <):

Axiom 1

Li X < ypak ne y < X. To znamená, že „<“ je asymetrický vztah. To znamená, že „<“ není a reflexní vztah, tj. pro všechny X, X < X je nepravdivé.

Axiom 2

Li X < z, existuje a y takhle X < y a y < z. Jinými slovy „<“ je hustý v R.

Axiom 3

„<“ je Dedekind - kompletní. Více formálně pro všechny X, Y ⊆ R, pokud pro všechny X ∈ X a y ∈ Y, X < y, pak existuje a z takové, že pro všechny X ∈ X a y ∈ Y, pokud z ≠ X a z ≠ y, pak X < z a z < y.

Abychom výše uvedené tvrzení trochu objasnili, dovolme X ⊆ R a Y ⊆ R. Nyní definujeme dvě běžná anglická slovesa zvláštním způsobem, který vyhovuje našemu účelu:

X předchází Y jen a jen pro každého X ∈ X a každý y ∈ Y, X < y.

Skutečné číslo z odděluje X a Y jen a jen pro každého X ∈ X s X ≠ z a každý y ∈ Y s y ≠ z, X < z a z < y.

Axiom 3 lze pak označit jako:

„Pokud množina skutečností předchází jinou množinu realit, pak existuje alespoň jedno reálné číslo oddělující tyto dvě množiny.“

Tři axiomy to naznačují R je lineární kontinuum.

Axiomy sčítání (primitiva: R, <, +):

Axiom 4

X + (y + z) = (X + z) + y.

Axiom 5

Pro všechny X, y, existuje a z takhle X + z = y.

Axiom 6

Li X + y < z + w, pak X < z nebo y < w.

Axiomy pro jednoho (primitiva: R, <, +, 1):

Axiom 7

1 ∈ R.

Axiom 8

1 < 1 + 1.

Tyto axiomy to naznačují R je lineárně uspořádáno abelianská skupina po přidání s rozlišovacím prvkem 1. R je také Dedekind - kompletní, dělitelný, a Archimedean.

Tarski bez důkazů uvedl, že tyto axiomy poskytly úplné uspořádání. Chybějící komponentu dodala v roce 2008 Stefanie Ucsnay.^[2]

Tato axiomatizace nezpůsobuje a teorie prvního řádu, protože formální tvrzení axiomu 3 zahrnuje dva univerzální kvantifikátory přes všechny možné podskupiny R. Tarski dokázal, že těchto 8 axiomů a 4 primitivní pojmy jsou nezávislé.

Jak tyto axiomy znamenají pole

Tarski načrtl (netriviální) důkaz toho, jak tyto axiomy a primitiva naznačují existenci a binární operace nazývá násobení a má očekávané vlastnosti, takže R je kompletní objednané pole pod sčítáním a násobením. Tento důkaz staví rozhodujícím způsobem na celých číslech, přičemž sčítání je abelianskou skupinou a má svůj původ Eudoxus ' definice velikosti.

Reference