Věta o korespondenci (teorie grup) - Correspondence theorem (group theory)

V oblasti matematika známý jako teorie skupin, věta o korespondenci,^{[1][2][3][4][5][6][7][8]} někdy označované jako Čtvrtý věta o izomorfismu^{[6][9][poznámka 1][poznámka 2]} nebo věta o mřížce,^[10] uvádí, že pokud ${ displaystyle N}$ je normální podskupina a skupina ${ displaystyle G}$, pak existuje a bijekce ze sady všech podskupiny ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle G}$ obsahující ${ displaystyle N}$, na množinu všech podskupin kvocientová skupina ${ displaystyle G / N}$. Struktura podskupin ${ displaystyle G / N}$ je přesně stejná jako struktura podskupin ${ displaystyle G}$ obsahující ${ displaystyle N}$, s ${ displaystyle N}$ se zhroutil do prvek identity.

Konkrétně pokud

G je skupina,

N je normální podskupina z G,

${ displaystyle { mathcal {G}}}$ je množina všech podskupin A z G takhle ${ displaystyle N subseteq A subseteq G}$, a

${ displaystyle { mathcal {N}}}$ je množina všech podskupin G / N,

pak existuje bijektivní mapa ${ displaystyle phi: { mathcal {G}} do { mathcal {N}}}$ takhle

${ displaystyle phi (A) = A / N}$ pro všechny ${ displaystyle A v { mathcal {G}}.}$

Jeden dále má, že pokud A a B jsou v ${ displaystyle { mathcal {G}}}$, a A '= A / N a B '= B / N, pak

• ${ displaystyle A subseteq B}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A ' subseteq B'}$;
• -li ${ displaystyle A subseteq B}$ pak ${ displaystyle | B: A | = | B ': A' |}$, kde ${ displaystyle | B: A |}$ je index z A v B (počet kosety bA z A v B);
• ${ displaystyle langle A, B rangle / N = langle A ', B' rangle,}$ kde ${ displaystyle langle A, B rangle}$ je podskupinou ${ displaystyle G}$ generováno podle ${ displaystyle A pohár B;}$
• ${ displaystyle (A cap B) / N = A ' cap B'}$, a
• ${ displaystyle A}$ je normální podskupina ${ displaystyle G}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle A '}$ je normální podskupina ${ displaystyle G / N}$.

Tento seznam není zdaleka vyčerpávající. Ve skutečnosti je většina vlastností podskupin zachována na jejich obrazech pod bijekcí do podskupin skupiny kvocientů.

Obecněji existuje monotónní připojení Galois ${ displaystyle (f ^ {*}, f _ {*})}$ mezi mřížka podskupin z ${ displaystyle G}$ (nemusí nutně obsahovat ${ displaystyle N}$) a mřížka podskupin ${ displaystyle G / N}$: spodní adjoint podskupiny ${ displaystyle H}$ z ${ displaystyle G}$ darováno ${ displaystyle f ^ {*} (H) = HN / N}$ a horní adjoint podskupiny ${ displaystyle K / N}$ z ${ displaystyle G / N}$ je dáno ${ displaystyle f _ {*} (K / N) = K}$. Přidružené operátor uzavření v podskupinách ${ displaystyle G}$ je ${ displaystyle { bar {H}} = HN}$; přidružené operátor jádra v podskupinách ${ displaystyle G / N}$ je identita.

Podobné výsledky platí pro prsteny, moduly, vektorové prostory, a algebry.

Viz také

• Modulární mříž

Poznámky

Reference