Věta o podskupině ohniska - Focal subgroup theorem

v abstraktní algebra, fokální podskupinová věta popisuje fúzi prvků v a Podskupina Sylow a konečná skupina. Věta o ústřední podskupině byla představena v (Higman 1953 ) a je „první významnou aplikací převodu“ podle (Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, str. 90). Věta o ústřední podskupině souvisí s myšlenkami přenosu a fúze, jak jsou popsány v (Grün 1936 ). Různé aplikace těchto myšlenek zahrnují místní kritéria pro str-nilpotence a různé ne-jednoduchost kritéria zaměřená na prokázání, že konečná skupina má a normální podskupina z index str.

Pozadí

Věta o ohniskových podskupinách se týká několika linií vyšetřování v teorii konečných grup: normální podskupiny indexu a síla str, přenosový homomorfismus a fúze prvků.

Podskupiny

Následující tři normální podskupiny indexu o síle str jsou přirozeně definovány a vznikají jako nejmenší normální podskupiny tak, že kvocient je (určitý druh) str-skupina. Formálně jsou to jádra odrazu na reflexní podkategorie z str-skupiny (respektive elementární abelian str-skupiny, abelian str-skupiny).

E^str(G) je průsečík celého indexu str normální podskupiny; G/E^str(G) je elementární abelianská skupina a je největší elementární abelian str-skupina, do které G surjects.
A^str(G) (notace z (Isaacs 2008, 5D, s. 164)) je průsečík všech normálních podskupin K. takhle G/K. je abelian str-skupinka., K. je index ${ displaystyle p ^ {k}}$ normální podskupina, která obsahuje odvozenou skupinu ${ displaystyle [G, G]}$ ): G/A^str(G) je největší abelian str-skupina (nemusí být nutně základní), do které G surjects.
Ó^str(G) je průsečík všech normálních podskupin K. z G takhle G/K. je (možná neabelský) str-skupinka., K. je index ${ displaystyle p ^ {k}}$ normální podskupina): G/Ó^str(G) je největší str-skupina (ne nutně abelianská), do které G surjects. Ó^str(G) je také známý jako str-zbytková podskupina.

Za prvé, protože se jedná o slabší podmínky pro skupiny K, jeden získá kontejnery ${ displaystyle mathbf {E} ^ {p} (G) supseteq mathbf {A} ^ {p} (G) supseteq mathbf {O} ^ {p} (G).}$ Ty jsou dále příbuzné jako:

A^str(G) = Ó^str(G)[G,G].

Ó^str(G) má následující alternativní charakterizaci jako podskupinu generovanou všemi Sylow q- podskupiny G tak jako q≠str se pohybuje nad hlavními děliteli objednat z G odlišný od str.

Ó^str(G) se používá k definování dolní str-série z G, podobně jako horní str-série popsáno v p-jádro.

Přeneste homomorfismus

The přenášet homomorfismus je homomorfismus, který lze definovat z jakékoli skupiny G do skupiny abelianů H/[H,H] definovaný podskupinou H ≤ G z konečný index, to je [G:H] <∞. Mapa přenosu z konečné skupiny G do svého Sylow str-podskupina má a jádro to lze snadno popsat:

Jádro přenosového homomorfismu z konečné skupiny G do svého Sylow str- podskupina P má A^str(G) jako jeho jádro, (Isaacs 2008, Věta 5,20, s. 165).

Jinými slovy, „zjevný“ homomorfismus s abelianem str-skupina je ve skutečnosti nejobecnější takový homomorfismus.

Fúze

The fúze vzor podskupiny H v G je vztah ekvivalence na prvcích H kde dva prvky h, k z H jsou tavený Pokud jsou G-konjugovat, to znamená, že pokud nějaké existují G v G takhle h = k^G. Normální struktura G má vliv na fúzní vzorec jeho Sylow str-skupiny a naopak fúzní vzorec jeho Sylow str-subgroups má vliv na normální strukturu G, (Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, str. 89).

Fokální podskupina

Lze definovat, jako v (Isaacs 2008, str. 165) ohnisková podskupina z H s ohledem na G tak jako:

Foc_G(H) = ⟨ X⁻¹ y | X,y v H a X je G-konjugovat do y ⟩.

Tato ústřední skupina měří míru, v jaké prvky H pojistka G, zatímco předchozí definice měřila určitý abelian str-skupinové homomorfní obrázky skupiny G. Obsahem věty o ohniskové podskupině je, že tyto dvě definice ohniskové podskupiny jsou kompatibilní.

(Gorenstein 1980, str. 246) ukazuje, že ohnisková podskupina z P v G je křižovatka P∩[G,G] Sylow str- podskupina P konečné skupiny G s odvozená podskupina [G,G] z G. Fokální podskupina je důležitá, protože se jedná o Sylow str-podskupina odvozené podskupiny. Jeden také získá následující výsledek:

Existuje normální podskupina K. z G s G/K. an abelian str-skupina izomorfní s P/P∩[G,G] (tady K. označuje A^str(G)), a

-li K. je normální podskupina G s G/K. abelianská p-skupina P∩[G,G] ≤ K., a G/K. je homomorfní obraz P/P∩[G,G], (Gorenstein 1980, Věta 7.3.1, str. 90).

Výrok věty

Ohnisková podskupina konečné skupiny G se Sylowem str- podskupina P darováno:

P∩[G,G] = P∩A^str(G) = P∩ker (proti) = Foc_G(P) = ⟨ X⁻¹ y | X,y v P a X je G-konjugovat do y ⟩

kde proti je přenosový homomorfismus z G na P/[P,P], (Isaacs 2008, Věta 5,21, s. 165).

Historie a zobecnění

Toto spojení mezi přenosem a fúzí se připisuje (Higman 1958 ),^[1] kde v jiném jazyce byla prokázána fokální podskupinová věta spolu s různými zobecněními. Požadavek, že G/K. be abelian bylo upuštěno, takže Higman také studoval Ó^str(G) a nilpotentní zbytek y_∞(G), tzv hyperfokální podskupiny. Higman se také neomezil na jediný prime str, ale spíše povoleno π-skupiny pro sady prvočísel π a použité Philip Hall věta o Hall podskupiny za účelem prokázání podobných výsledků o převodu do Hall π- podskupiny; brát π = {str} hala π-podskupina je Sylow str-skupina a výsledky Higmana jsou uvedeny výše.

Zájem o hyperfokální podskupiny byl obnoven prací (Puig 2000 ) při porozumění teorie modulární reprezentace určitých dobře vychovaných bloků. Hyperfokální podskupina P v G lze definovat jako P.Γ_∞(G), tj. jako Sylow str- podskupina nilpotentního zbytku G. Li P je Sylow str- podskupina konečné skupiny G, pak získáme standardní větu o podskupině:

P.Γ_∞(G) = P∩Ó^str(G) = ⟨ X⁻¹ y : X,y v P a y = X^G pro některé G v G objednávky coprime do str ⟩

a místní charakterizace:

P∩Ó^str(G) = ⟨ X⁻¹ y : X,y v Q ≤ P a y = X^G pro některé G hospoda_G(Q) objednávky coprime do str ⟩.

To je srovnatelné s lokální charakterizací ústřední podskupiny jako:

P∩A^str(G) = ⟨ X⁻¹ y : X,y v Q ≤ P a y = X^G pro některé G hospoda_G(Q) ⟩.

Puig má zájem na zevšeobecnění této situace na fúzní systémy, a kategorický model fúzního vzoru Sylow str-podskupina s ohledem na konečnou skupinu, která také modeluje fúzní vzorec defektní skupiny a str-blok v teorii modulárního znázornění. Ve skutečnosti fúzní systémy našly řadu překvapivých aplikací a inspirací v oblasti algebraická topologie známý jako ekvivariant teorie homotopy. Některé z hlavních algebraických vět v této oblasti mají v tuto chvíli pouze topologické důkazy.

Další charakterizace

Různí matematici představili metody výpočtu ohniskové podskupiny z menších skupin. Například vlivná práce (Alperin 1967 ) rozvíjí myšlenku lokální kontroly fúze a jako příklad aplikace ukazuje, že:

P ∩ A^str(G) je generován podskupinami komutátoru [Q, N_G(Q)] kde Q se v rámci rodiny liší C podskupin zP

Volba rodiny C lze vyrobit mnoha způsoby (C je to, čemu se říká „slabá konjugační rodina“ v (Alperin 1967 )) a je uvedeno několik příkladů: jeden může vzít C být všechny podskupiny neidentity P, nebo menší výběr jen z křižovatek Q = P ∩ P^G pro G v G ve kterém N_P(Q) a N_P^G(Q) jsou oba Sylow str-skupiny N_G(Q). Druhá možnost se provádí v (Gorenstein 1980, Věta 7.4.1, str. 251). Práce (Grün 1935 ) studoval také aspekty přenosu a fúze, což vedlo k Grünova první věta:

P ∩ A^str(G) je generován P ∩ [N, N] a P ∩ [Q, Q] kde N = N_G(P) a Q se pohybuje přes sadu Sylow str- podskupiny Q = P^G z G (Gorenstein 1980, Věta 7.4.2, str. 252).

Aplikace

Prezentace učebnice v (Rose 1978, str. 254–264), (Isaacs 2008, Kapitola 5), (Hall 1959, Kapitola 14), (Suzuki 1986, §5.2, s. 138–165), všechny obsahují různé aplikace fokální podskupinové věty týkající se fúze, přenosu a určitého druhu rozdělení volala str-nilpotence.

V průběhu Alperin – Brauer – Gorensteinova věta klasifikace konečná jednoduché skupiny s kvazi-dihedral Sylow 2-podskupiny, je nutné rozlišovat čtyři typy skupin s kvazi-dihedrálními 2-podskupinami Sylow: 2-nilpotentní skupiny, Q-typové skupiny, jejichž ohniskovou podskupinou je a zobecněná čtveřice skupina indexu 2, D-typové skupiny, jejichž ohnisková podskupina a dihedrální skupina indexu 2 a QD-typové skupiny, jejichž ohniskovou podskupinou je celá kvazi-dihedrální skupina. Pokud jde o fúzi, 2-nilpotentní skupiny mají 2 třídy involucí a 2 třídy cyklických podskupin řádu 4; the Q-typ mají 2 třídy involucí a jednu třídu cyklické podskupiny řádu 4; the QD-typ mají vždy jednu třídu involucí a cyklických podskupin řádu 4. Jinými slovy, konečné skupiny s kvazi-dihedrálními 2 podskupinami Sylow lze klasifikovat podle jejich fokální podskupiny nebo ekvivalentně podle jejich fúzních vzorů. Explicitní seznamy skupin s každým vzorem fúze jsou obsaženy v (Alperin, Brauer & Gorenstein 1970 ).

Poznámky

^ Věta o ohniskové podskupině a / nebo ohnisková podskupina je způsobena (Higman 1958 ) podle (Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, str. 90), (Rose 1978, str. 255), (Suzuki 1986, str. 141); ústřední věta o podskupině, jak je zde uvedena, je zde o něco starší a již se objevuje ve formě učebnice v (Hall 1959, str. 215). Tam a v (Puig 2000 ) nápady se připisují (Grün 1935 ); porovnat s (Grün 1935, Satz 5) ve zvláštním případě str-normální skupiny a obecný výsledek v Satz 9, což je v jistém smyslu zdokonalení fokální věty o podskupině.

Reference

Alperin, J. L. (1967), „Sylowovy křižovatky a fúze“, Journal of Algebra, 6 (2): 222–241, doi:10.1016/0021-8693(67)90005-1, ISSN 0021-8693, PAN 0215913
Alperin, J. L.; Brauer, R.; Gorenstein, D. (1970), „Konečné skupiny s kvazi-dihedrálním a věncovitým 2 podskupinami Sylow“, Transakce Americké matematické společnosti, Americká matematická společnost, 151 (1): 1–261, doi:10.2307/1995627, ISSN 0002-9947, JSTOR 1995627, PAN 0284499
Gorenstein, D. (1980), Konečné skupiny, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, PAN 0569209
Gorenstein, D.; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), Klasifikace konečných jednoduchých skupin. Číslo 2. Část I. Kapitola G Matematické průzkumy a monografie 40„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0390-5, PAN 1358135
Grün, Otto (1936), „Beiträge zur Gruppentheorie. I.“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 174: 1–14, ISSN 0075-4102, Zbl 0012.34102
Hall, Marshall, Jr. (1959), Teorie grup, New York: Macmillan, PAN 0103215
Higman, Donald G. (1953), „Focal series in finite groups“, Kanadský žurnál matematiky, 5: 477–497, doi:10.4153 / cjm-1953-055-5, ISSN 0008-414X, PAN 0058597
Isaacs, I.Martin (2008), Teorie konečné skupiny, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-4344-4
Puig, Lluis (2000), „Hyperfokální subalgebra bloku“, Inventiones Mathematicae, 141 (2): 365–397, doi:10,1007 / s002220000072, ISSN 0020-9910, PAN 1775217
Rose, John S. (1994) [1978], Kurz teorie skupin, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-68194-8, PAN 0498810
Suzuki, Michio (1986), Skupinová teorie. IIGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 248, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-10916-9, PAN 0815926

[1] Věta o ohniskové podskupině a / nebo ohnisková podskupina je způsobena (Higman 1958 ) podle (Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, str. 90), (Rose 1978, str. 255), (Suzuki 1986, str. 141); ústřední věta o podskupině, jak je zde uvedena, je zde o něco starší a již se objevuje ve formě učebnice v (Hall 1959, str. 215). Tam a v (Puig 2000 ) nápady se připisují (Grün 1935 ); porovnat s (Grün 1935, Satz 5) ve zvláštním případě str-normální skupiny a obecný výsledek v Satz 9, což je v jistém smyslu zdokonalení fokální věty o podskupině.

[1]