Metabelian skupina - Metabelian group

v matematika, a metabelian skupina je skupina jehož podskupina komutátoru je abelian. Ekvivalentně skupina G je metabelian právě tehdy, když existuje abelian normální podskupina A takové, že kvocientová skupina G / A je abelian.

Podskupiny metabelianských skupin jsou metabelianské, stejně jako obrázky metabelianských skupin skupinové homomorfismy.

Metabelianské skupiny jsou řešitelný. Ve skutečnosti jsou to právě řešitelné skupiny odvozená délka maximálně 2.

Příklady

• Žádný dihedrální skupina je metabelian, protože má cyklickou normální podskupinu index 2. Obecněji libovolné zobecněná dihedrální skupina je metabelian, protože má abelianskou normální podskupinu indexu 2.
• Li F je pole, skupina afinní mapy ${ displaystyle x mapsto sekera + b}$ (kde A ≠ 0) působící na F je metabelian. Zde abelian normální podskupina je skupina čistých překladů ${ displaystyle x mapsto x + b}$, a abelian kvocient skupina je izomorfní do skupiny homotheties ${ displaystyle x mapsto sekera}$. Li F je konečné pole s q prvků, tato metabelianská skupina je objednat q(q − 1).
• Skupina přímé izometrie z Euklidovské letadlo je metabelian. Je to podobné jako v předchozím příkladu, protože prvky jsou opět afinní mapy. Překlady roviny tvoří abelianskou normální podskupinu skupiny a odpovídající kvocient je kruhová skupina.
• Konečný Skupina Heisenberg H_3,p řádu p³ je metabelian. Totéž platí pro každou skupinu Heisenberg definovanou v a prsten (skupina horní trojúhelníkový 3 × 3 matice se záznamy v a komutativní prsten ).
• Všechno nilpotentní skupiny třídy 3 nebo méně jsou metabelianští.
• The skupina svítilen je metabelian.
• Všechny skupiny objednávek p⁵ jsou metabelianští (pro prime p).MSE
• Všechny skupiny řádu menší než 24 jsou metabelianské.

Na rozdíl od tohoto posledního příkladu symetrická skupina S₄ objednávky 24 není metabelian, protože její podskupina komutátorů je neabelian střídavá skupina A₄.

Reference

• Robinson, Derek J.S. (1996), Kurz teorie skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94461-6

externí odkazy

• Ryan Wisnesky, Řešitelné skupiny (pododdíl Metabelianské skupiny)
• Groupprops, Wiki Vlastnosti skupiny Metabelian skupina

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.