Konvergence v míře - Convergence in measure

Konvergence v míře je jeden ze dvou odlišných matematických konceptů, z nichž oba zobecňují koncept konvergence v pravděpodobnosti.

Definice

Nechat ${displaystyle f, f_ {n} (nin mathbb {N}): X o mathbb {R}}$ být měřitelné funkce na změřte prostor ${displaystyle (X, Sigma, mu)}$. Sekvence ${displaystyle f_ {n}}$ říká se konvergovat globálně v míře na ${displaystyle f}$ pokud pro každého ${displaystyle epsilon> 0}$,

${displaystyle lim _ {n o infty} mu ({xin X: | f (x) -f_ {n} (x) | geq varepsilon}) = 0}$,

a do konvergovat lokálně v míře na ${displaystyle f}$ pokud pro každého ${displaystyle epsilon> 0}$ a každý ${displaystyle Fin Sigma}$ s${displaystyle mu (F)$,

${displaystyle lim _ {n o infty} mu ({xin F: | f (x) -f_ {n} (x) | geq varepsilon}) = 0}$.

Konvergence v míře může odkazovat na globální konvergenci v míře nebo na místní konvergenci v míře, v závislosti na autorovi.

Vlastnosti

Po celou dobu, F a F_n (n ${displaystyle in}$ N) jsou měřitelné funkce X → R.

• Globální konvergence v míře znamená místní konvergenci v míře. Konverzace je však falešná; tj., místní konvergence v opatření je přísně slabší než globální konvergence v opatření obecně.
• Pokud však ${displaystyle mu (X)$ nebo obecněji, pokud F a všechny F_n zmizí mimo nějakou sadu konečných opatření, potom rozdíl mezi místní a globální konvergencí v míře zmizí.
• Li μ je σ-konečný a (F_n) konverguje (místně nebo globálně) na F v míře existuje subsekvence konvergující k F téměř všude. Předpoklad σ- konečnost není nutná v případě globální konvergence v míře.
• Li μ je σ- konečný, (F_n) konverguje k F lokálně v míře kdyby a jen kdyby každá subsekvence má zase sekvenci, která konverguje k F téměř všude.
• Zejména pokud (F_n) konverguje k F tedy téměř všude (F_n) konverguje k F lokálně v míře. Opak je falešný.
• Fatouovo lemma a monotónní věta o konvergenci držet, pokud je téměř všude konvergence nahrazena (lokální nebo globální) konvergencí v míře.^{[je zapotřebí objasnění ]}
• Li μ je σ- konečný, Lebesgueův dominující věta o konvergenci také platí, pokud je téměř všude konvergence v měřítku nahrazena (lokální nebo globální) konvergencí.^{[je zapotřebí objasnění ]}
• Li X = [A,b] ⊆ R a μ je Lebesgueovo opatření, existují sekvence (G_n) krokových funkcí a (h_n) spojitých funkcí globálně konvergujících v míře k F.^{[je zapotřebí objasnění ]}
• Li F a F_n (n ∈ N) jsou v L^str(μ) pro některé str > 0 a (F_n) konverguje k F v str-norm, pak (F_n) konverguje k F globálně v míře. Opak je falešný.
• Li F_n konverguje k F v míře a G_n konverguje k G tedy v míře F_n + G_n konverguje k F + G v míře. Navíc, pokud je měrný prostor konečný, F_nG_n také konverguje k fg.

Protiklady

Nechat ${displaystyle X = mathbb {R}}$, μ být Lebesgueovým opatřením a F konstantní funkce s nulovou hodnotou.

• Sekvence ${displaystyle f_ {n} = chi _ {[n, infty)}}$ konverguje k F místně v míře, ale sbližuje se F globálně v míře.
• Sekvence ${displaystyle f_ {n} = chi _ {left [{frac {j} {2 ^ {k}}}, {frac {j + 1} {2 ^ {k}}} ight]}}$ kde ${displaystyle k = lfloor log _ {2} nfloor}$ a ${displaystyle j = n-2 ^ {k}}$

(Prvních pět termínů, které jsou ${displaystyle chi _ {left [0,1ight]} ,; chi _ {left [0, {frac {1} {2}} ight]} ,; chi _ {left [{frac {1} {2}}, 1ight]} ,; chi _ {left [0, {frac {1} {4}} ight]} ,; chi _ {left [{frac {1} {4}}, {frac {1} {2}} v noci]}}$) konverguje k 0 globálně v míře; ale ne X dělá F_n(X) konvergovat k nule (F_n) nedokáže konvergovat do F téměř všude.

• Sekvence ${displaystyle f_ {n} = nchi _ {left [0, {frac {1} {n}} ight]}}$ konverguje k F téměř všude a globálně v míře, ale ne v EU str- normální pro každého ${displaystyle pgeq 1}$.

Topologie

Tady je topologie, volal topologie (místní) konvergence v míře, o shromažďování měřitelných funkcí z X tak, aby místní konvergence v míře odpovídala konvergenci této topologie. Tato topologie je definována rodinou pseudometrika

${displaystyle {ho _ {F}: Fin Sigma, mu (F)$

kde

${displaystyle ho _ {F} (f, g) = int _ {F} min {| f-g |, 1}, dmu}$.

Obecně se člověk může omezit na nějakou podskupinu množin F (místo všech možných podmnožin konečné míry). To stačí pro každého ${displaystyle Gsubset X}$ konečné míry a ${displaystyle varepsilon> 0}$ tady existuje F v rodině takové ${displaystyle mu (Gsetminus F)$ Když ${displaystyle mu (X)$, můžeme uvažovat pouze o jedné metrice ${displaystyle ho _ {X}}$, takže topologie konvergence v konečné míře je měřitelná. Li ${displaystyle mu}$ je libovolná míra konečná nebo ne

${displaystyle d (f, g): = inf limity _ {delta> 0} mu ({| f-g | geq delta}) + delta}$

stále definuje metriku, která generuje globální konvergenci v míře.^[1]

Protože tato topologie je generována rodinou pseudometrií, je uniformizovatelný Práce s jednotnými strukturami namísto topologií nám umožňuje formulovat jednotné vlastnosti jakoCauchyness.

Reference

• Fremlin, 2000. Teorie měření. Torres Fremlin.
• HL Royden, 1988. Skutečná analýza. Prentice Hall.
• G. B. Folland 1999, oddíl 2.4. Skutečná analýza. John Wiley & Sons.