Markovova nerovnost - Markovs inequality - Wikipedia

Markovova nerovnost dává horní mez pro míru množiny (označeno červeně) kde ${ displaystyle f (x)}$ překračuje danou úroveň ${ displaystyle varepsilon}$. Vázaný kombinuje úroveň ${ displaystyle varepsilon}$ s průměrnou hodnotou ${ displaystyle f}$.

v teorie pravděpodobnosti, Markovova nerovnost dává horní hranice pro pravděpodobnost že a nezáporné funkce a náhodná proměnná je větší nebo rovno nějakému pozitivnímu konstantní. Je pojmenována po ruském matematikovi Andrey Markov, i když se to objevilo dříve v práci Pafnuty Čebyšev (Markovův učitel) a mnoho zdrojů, zejména v analýza, označujte ji jako Čebyševovu nerovnost (někdy ji označujte jako první Čebyševovu nerovnost, zatímco Čebyševova nerovnost jako druhá Čebyševova nerovnost) nebo Bienaymé nerovnost.

Markovova nerovnost (a další podobné nerovnosti) souvisí s pravděpodobnostmi očekávání, a poskytnout (často volné, ale přesto užitečné) hranice pro kumulativní distribuční funkce náhodné proměnné.

Prohlášení

Li X je nezáporná náhodná proměnná a A > 0pak pravděpodobnost, že X je alespoň A je nanejvýš očekáváním X děleno A:^[1]

${ displaystyle operatorname {P} (X geq a) leq { frac { operatorname {E} (X)} {a}}.}$

Nechat ${ displaystyle a = { tilde {a}} cdot operatorname {E} (X)}$ (kde ${ displaystyle { tilde {a}}> 0}$); pak můžeme přepsat předchozí nerovnost jako

${ displaystyle operatorname {P} (X geq { tilde {a}} cdot operatorname {E} (X)) leq { frac {1} { tilde {a}}}.}$

V jazyce teorie míry, Markovova nerovnost uvádí, že pokud (X, Σ,μ) je změřte prostor, ${ displaystyle f}$ je měřitelný rozšířené skutečné -hodnotící funkce a ε > 0, pak

${ displaystyle mu ( {x v X: | f (x) | geq varepsilon }) leq { frac {1} { varepsilon}} int _ {X} | f | , d mu.}$

Tato míra-teoretická definice je někdy označována jako Čebyševova nerovnost.^[2]

Rozšířená verze pro monotónně rostoucí funkce

Li φ je monotónně roste nezáporná funkce pro nezáporné reality, X je náhodná proměnná, A ≥ 0, a φ(A) > 0, pak

${ displaystyle operatorname {P} (| X | geq a) leq { frac { operatorname {E} ( varphi (| X |))} { varphi (a)}}.}$

Okamžitý důsledek, použití vyšších momentů X podporováno u hodnot větších než 0, je

${ displaystyle operatorname {P} (| X | geq a) leq { frac { operatorname {E} (| X | ^ {n})} {a ^ {n}}}.}$

Důkazy

Oddělujeme případ, ve kterém je měrný prostor pravděpodobnostním prostorem, od obecnějšího případu, protože pravděpodobnostní případ je pro běžného čtenáře přístupnější.

Intuitivní

${ displaystyle operatorname {E} (X) = operatorname {P} (X$ kde ${ displaystyle operatorname {E} (X | X$ je větší než 0 jako r.v. ${ displaystyle X}$ je nezáporný a ${ displaystyle operatorname {E} (X | X geq a)}$ je větší než ${ displaystyle a}$ protože podmíněné očekávání bere v úvahu pouze hodnoty větší než ${ displaystyle a}$ který r.v. ${ displaystyle X}$ můžu vzít.

Proto intuitivně ${ displaystyle operatorname {E} (X) geq 0 cdot operatorname {P} (X$, což přímo vede k ${ displaystyle operatorname {P} (X geq a) leq { frac { operatorname {E} (X)} {a}}}$.

Důkaz v jazyce teorie pravděpodobnosti

Metoda 1:Z definice očekávání:

${ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ {- infty} ^ { infty} xf (x) , dx}$

X je však nezáporná náhodná proměnná, tedy

${ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ {- infty} ^ { infty} xf (x) , dx = int _ {0} ^ { infty} xf (x) , dx}$

Z toho můžeme odvodit,

${ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ {0} ^ {a} xf (x) , dx + int _ {a} ^ { infty} xf (x) , dx geq int _ {a} ^ { infty} xf (x) , dx geq int _ {a} ^ { infty} af (x) , dx = a int _ {a} ^ { infty} f (x) , dx = a operatorname {Pr} (X geq a)}$

Odtud dělení na ${ displaystyle a}$ umožňuje nám to vidět

${ displaystyle Pr (X geq a) leq operatorname {E} (X) / a}$

Metoda 2:Pro každou událost ${ displaystyle E}$, nechť ${ displaystyle I_ {E}}$ být indikátor náhodná proměnná ${ displaystyle E}$, to znamená, ${ displaystyle I_ {E} = 1}$ -li ${ displaystyle E}$ dochází a ${ displaystyle I_ {E} = 0}$ v opačném případě.

Pomocí této notace máme ${ displaystyle I _ {(X geq a)} = 1}$ pokud událost ${ displaystyle X geq a}$ dojde, a ${ displaystyle I _ {(X geq a)} = 0}$ -li ${ displaystyle X$. Pak, vzhledem k tomu ${ displaystyle a> 0}$,

${ displaystyle aI _ {(X geq a)} leq X}$

což je jasné, vezmeme-li v úvahu dvě možné hodnoty ${ displaystyle X geq a}$. Li ${ displaystyle X$, pak ${ displaystyle I _ {(X geq a)} = 0}$a tak ${ displaystyle aI _ {(X geq a)} = 0 leq X}$. Jinak ano ${ displaystyle X geq a}$, pro který ${ displaystyle I_ {X geq a} = 1}$ a tak ${ displaystyle aI_ {X geq a} = a leq X}$.

Od té doby ${ displaystyle operatorname {E}}$ je monotónně rostoucí funkce, přičemž převzetí očekávání obou stran nerovnosti ji nemůže zvrátit. Proto,

${ displaystyle operatorname {E} (aI _ {(X geq a)}) leq operatorname {E} (X).}$

Nyní, s použitím linearity očekávání, je levá strana této nerovnosti stejná jako

${ displaystyle a operatorname {E} (I _ {(X geq a)}) = a (1 cdot operatorname {P} (X geq a) +0 cdot operatorname {P} (X$

Tak to máme

${ displaystyle a operatorname {P} (X geq a) leq operatorname {E} (X)}$

a od té doby A > 0, můžeme rozdělit obě stranyA.

V jazyce teorie míry

Můžeme předpokládat, že funkce ${ displaystyle f}$ je nezáporné, protože do rovnice vstupuje pouze jeho absolutní hodnota. Nyní zvažte funkci se skutečnou hodnotou s na X dána

${ displaystyle s (x) = { begin {cases} varepsilon, & { text {if}} f (x) geq varepsilon 0, & { text {if}} f (x) < varepsilon end {cases}}}$

Pak ${ displaystyle 0 leq s (x) leq f (x)}$. Podle definice Lebesgueův integrál

${ displaystyle int _ {X} f (x) , d mu geq int _ {X} s (x) , d mu = varepsilon mu ( {x v X: , f (x) geq varepsilon })}$

a od té doby ${ displaystyle varepsilon> 0}$, obě strany lze rozdělit na ${ displaystyle varepsilon}$, získávání

${ displaystyle mu ( {x v X: , f (x) geq varepsilon }) leq {1 over varepsilon} int _ {X} f , d mu.}$

Dodatky

Čebyševova nerovnost

Čebyševova nerovnost používá rozptyl vázat pravděpodobnost, že se náhodná proměnná odchýlí daleko od průměru. Konkrétně

${ displaystyle operatorname {P} (| X- operatorname {E} (X) | geq a) leq { frac { operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}},}$

pro všechny A > 0. Tady Var (X) je rozptyl z X, definované jako:

${ displaystyle operatorname {Var} (X) = operatorname {E} [(X- operatorname {E} (X)) ^ {2}].}$

Čebyševova nerovnost vyplývá z Markovovy nerovnosti zvážením náhodné proměnné

${ displaystyle (X- operatorname {E} (X)) ^ {2}}$

a konstanta ${ displaystyle a ^ {2},}$ pro které čte Markovova nerovnost

${ displaystyle operatorname {P} ((X- operatorname {E} (X)) ^ {2} geq a ^ {2}) leq { frac { operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}$

Tento argument lze shrnout (kde „MI“ označuje použití Markovovy nerovnosti):

${ displaystyle operatorname {P} (| X- operatorname {E} (X) | geq a) = operatorname {P} left ((X- operatorname {E} (X)) ^ {2} geq a ^ {2} right) , { overset { underset { mathrm {MI}} {}} { leq}} , { frac { operatorname {E} left ((X- operatorname {E} (X)) ^ {2} right)} {a ^ {2}}} = { frac { operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}$

Další důsledky

1. „Monotónní“ výsledek lze prokázat:

   ${ displaystyle operatorname {P} (| X | geq a) = operatorname {P} { big (} varphi (| X |) geq varphi (a) { big)} , { přesahující { underset { mathrm {MI}} {}} { leq}} , { frac { operatorname {E} ( varphi (| X |))}} { varphi (a)}}}$

2. Výsledek pro nezápornou náhodnou proměnnou X, kvantilová funkce z X splňuje:

   ${ displaystyle Q_ {X} (1-p) leq { frac { operatorname {E} (X)} {p}},}$

   důkaz pomocí

   ${ displaystyle p leq operatorname {P} (X geq Q_ {X} (1-p)) , { overset { underset { mathrm {MI}} {}} { leq}} , { frac { operatorname {E} (X)} {Q_ {X} (1-p)}}.}$

3. Nechat ${ displaystyle M succeq 0}$ být náhodnou proměnnou s vlastní adjuvancí s maticí a A > 0. Pak

   ${ displaystyle operatorname {P} (M npreceq a cdot I) leq { frac { operatorname {tr} left (E (M) right)} {na}}.}$

   lze zobrazit podobným způsobem.

Příklady

Za předpokladu, že žádný příjem není záporný, ukazuje Markovova nerovnost, že ne více než 1/5 populace může mít více než 5násobek průměrného příjmu.

Viz také

• Paley – Zygmundova nerovnost - odpovídající dolní mez
• Koncentrační nerovnost - souhrn zadních hranic náhodných proměnných.

Reference

externí odkazy

• Formální důkaz Markovovy nerovnosti v Systém Mizar.

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Markovova nerovnost“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)