Axiom závislé volby - Axiom of dependent choice

v matematika, axiom závislé volby, označeno ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ , je slabá forma axiom volby ( ${ displaystyle { mathsf {AC}}}$ ), který je stále dostatečný pro vývoj většiny skutečná analýza. To bylo představeno Paul Bernays v článku z roku 1942, který zkoumá, které set-teoretický axiomy jsou potřebné k vypracování analýzy.^[A]

Formální prohlášení

A binární relace ${ displaystyle R}$ na ${ displaystyle X}$ je nazýván celý pokud pro každého ${ displaystyle a v X}$ , existují nějaké ${ displaystyle b v X}$ takhle ${ displaystyle a , R ~ b}$ je pravda.

Axiom závislé volby lze konstatovat následovně: Pro každé neprázdné soubor ${ displaystyle X}$ a každý celý binární vztah ${ displaystyle R}$ na ${ displaystyle X,}$ existuje a sekvence ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ v ${ displaystyle X}$ takhle

{ displaystyle x_ {n} , R ~ x_ {n + 1}}

pro všechny

{ displaystyle n in mathbb {N}.}

Pokud je sada ${ displaystyle X}$ výše je omezeno na soubor všech reálná čísla, pak je výsledný axiom označen ${ displaystyle { mathsf {DC}} _ { mathbb {R}}.}$

Použití

I bez takového axiomu ${ displaystyle n}$ , k vytvoření první lze použít běžnou matematickou indukci ${ displaystyle n}$ pojmy takové posloupnosti. Axiom závislé volby říká, že tímto způsobem můžeme vytvořit celou (spočetně nekonečnou) posloupnost.

Axiom ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ je fragment ${ displaystyle { mathsf {AC}}}$ to je nutné k prokázání existence sekvence vytvořené pomocí transfinitní rekurze z počitatelný délku, pokud je nutné provést volbu v každém kroku a pokud některé z těchto voleb nelze provést nezávisle na předchozích volbách.

Ekvivalentní prohlášení

Přes Teorie množin Zermelo – Fraenkel ${ displaystyle { mathsf {ZF}}}$ , ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ je ekvivalentní s Věta o kategorii Baire pro úplné metrické prostory.^[1]

Je to také ekvivalent ${ displaystyle { mathsf {ZF}}}$ do Löwenheim – Skolemova věta.^[b]^[2]

${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ je také ekvivalentní ${ displaystyle { mathsf {ZF}}}$ k prohlášení, že každý prořezaný strom s ${ displaystyle omega}$ úrovně má větev (důkaz níže).

Důkaz toho ${ displaystyle , { mathsf {DC}} iff}$ Každý prořezaný strom s úrovněmi ω má větev
${ displaystyle (, Longleftarrow ,)}$ Nechat ${ displaystyle R}$ být celý binární vztah na ${ displaystyle X}$ . Strategií je definovat strom ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle X}$ konečných sekvencí, jejichž sousední prvky splňují ${ displaystyle R.}$ Pak odbočka ${ displaystyle T}$ je nekonečná posloupnost, jejíž sousední prvky splňují ${ displaystyle R.}$ Začněte definováním ${ displaystyle langle x_ {0}, dots, x_ {n} rangle in T}$ -li ${ displaystyle x_ {k} R , x_ {k + 1}}$ pro ${ displaystyle 0 leq k$ Od té doby ${ displaystyle R}$ je celý, ${ displaystyle T}$ je prořezávaný strom s ${ displaystyle omega}$ úrovně. Tím pádem, ${ displaystyle T}$ má pobočku ${ displaystyle langle x_ {0}, dots, x_ {n}, dots rangle.}$ Takže pro všechny ${ displaystyle n geq 0 !:}$ ${ displaystyle langle x_ {0}, tečky, x_ {n}, x_ {n + 1} rangle v T,}$ z čehož vyplývá ${ displaystyle x_ {n} R , x_ {n + 1}.}$ Proto, ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ je pravda. ${ displaystyle (, Longrightarrow ,)}$ Nechat ${ displaystyle T}$ být prořezávaným stromem ${ displaystyle X}$ s ${ displaystyle omega}$ úrovně. Strategií je definovat binární vztah ${ displaystyle R}$ na ${ displaystyle T}$ aby ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ vytvoří sekvenci ${ displaystyle t_ {n} = langle x_ {0}, dots, x_ {f (n)} rangle}$ kde ${ displaystyle t_ {n} R , t_ {n + 1}}$ a ${ displaystyle f (n)}$ je přísně se zvyšuje funkce. Pak nekonečná posloupnost ${ displaystyle langle x_ {0}, dots, x_ {k}, dots rangle}$ je pobočka. (Tento důkaz je třeba prokázat pouze pro ${ displaystyle f (n) = m + n.}$ ) Začněte definováním ${ displaystyle u , R , v}$ -li ${ displaystyle u}$ je počáteční posloupnost ${ displaystyle v, operatorname {délka} (u)> 0, ,}$ a ${ displaystyle operatorname {délka} (v) =}$ ${ displaystyle operatorname {délka} (u) +1.}$ Od té doby ${ displaystyle T}$ je prořezaný strom s ${ displaystyle omega}$ úrovně, ${ displaystyle R}$ je celý. Proto, ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ znamená, že existuje nekonečná sekvence ${ displaystyle t_ {n}}$ takhle ${ displaystyle t_ {n} , R , t_ {n + 1}.}$ Nyní ${ displaystyle t_ {0} = langle x_ {0}, dots, x_ {m} rangle}$ pro některé ${ displaystyle m geq 0.}$ Nechat ${ displaystyle x_ {m + n}}$ být posledním prvkem ${ displaystyle t_ {n}.}$ Pak ${ displaystyle t_ {n} = langle x_ {0}, dots, x_ {m}, dots, x_ {m + n} rangle.}$ Pro všechny ${ displaystyle k geq 0,}$ sekvence ${ displaystyle langle x_ {0}, dots, x_ {k} rangle}$ patří ${ displaystyle T}$ protože se jedná o počáteční posloupnost ${ displaystyle t_ {0} , (k leq m)}$ nebo je to ${ displaystyle t_ {n} , (k geq m).}$ Proto, ${ displaystyle langle x_ {0}, dots, x_ {k}, dots rangle}$ je pobočka.

Vztah s jinými axiomy

Na rozdíl od plné ${ displaystyle { mathsf {AC}}}$ , ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ je nedostatečné k prokázání (uvedeno ${ displaystyle { mathsf {ZF}}}$ ) že existuje neměřitelné množina reálných čísel, nebo že existuje množina reálných čísel bez znaku majetek Baire nebo bez perfektně nastavená vlastnost. Toto následuje, protože Solovayův model splňuje ${ displaystyle { mathsf {ZF}} + { mathsf {DC}}}$ , a každá sada reálných čísel v tomto modelu je Lebesgue měřitelná, má Baire vlastnost a má perfektní sadu vlastnost.

Axiom závislé volby implikuje axiom spočetné volby a je přísně silnější.^[3]^[4]

Poznámky

^ „Základ analýzy nevyžaduje úplnou obecnost teorie množin, ale lze ji dosáhnout v omezenějším rámci.“ Bernays, Paul (1942). „Část III. Nekonečno a vyjmenovatelnost. Analýza“ (PDF). Journal of Symbolic Logic. Systém teorie axiomatických množin. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. PAN 0006333. Axiom závislé volby je uveden na str. 86.
^ Moore uvádí, že „Princip závislých voleb ${ displaystyle Rightarrow}$ Löwenheim – Skolemova věta “- tedy ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ implikuje větu Löwenheim – Skolem. Vidět stůl Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's Axiom of Choice: Jeho původ, vývoj a vliv. Springer. p. 325. ISBN 0-387-90670-3.

Reference

^ „Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb.“ Blair, Charles E. (1977). „Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb“. Býk. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys. 25 (10): 933–934.
^ The konverzovat je prokázáno v Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. (1989). Vyčíslitelnost a logika (3. vyd.). Cambridge University Press. str.155–156. ISBN 0-521-38026-X.
^ Bernays dokázal, že axiom závislé volby implikuje axiom spočetné volby Viz zejména p. 86 palců Bernays, Paul (1942). „Část III. Nekonečno a vyjmenovatelnost. Analýza“ (PDF). Journal of Symbolic Logic. Systém teorie axiomatických množin. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. PAN 0006333.
^ Důkaz, že Axiom spočetné volby neznamená Axiom závislé volby vidět Jech, Thomas (1973), Axiom výběru, Severní Holandsko, s. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

Jech, Thomas (2003). Teorie množin (Třetí tisíciletí ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.

[1] „Základ analýzy nevyžaduje úplnou obecnost teorie množin, ale lze ji dosáhnout v omezenějším rámci.“ Bernays, Paul (1942). „Část III. Nekonečno a vyjmenovatelnost. Analýza“ (PDF). Journal of Symbolic Logic. Systém teorie axiomatických množin. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. PAN 0006333. Axiom závislé volby je uveden na str. 86.

[3] Moore uvádí, že „Princip závislých voleb ${ displaystyle Rightarrow}$ Löwenheim – Skolemova věta “- tedy ${ displaystyle { mathsf {DC}}}$ implikuje větu Löwenheim – Skolem. Vidět stůl Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's Axiom of Choice: Jeho původ, vývoj a vliv. Springer. p. 325. ISBN 0-387-90670-3.

[2] „Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb.“ Blair, Charles E. (1977). „Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb“. Býk. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys. 25 (10): 933–934.

[4] The konverzovat je prokázáno v Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. (1989). Vyčíslitelnost a logika (3. vyd.). Cambridge University Press. str.155–156. ISBN 0-521-38026-X.

[5] Bernays dokázal, že axiom závislé volby implikuje axiom spočetné volby Viz zejména p. 86 palců Bernays, Paul (1942). „Část III. Nekonečno a vyjmenovatelnost. Analýza“ (PDF). Journal of Symbolic Logic. Systém teorie axiomatických množin. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. PAN 0006333.

[6] Důkaz, že Axiom spočetné volby neznamená Axiom závislé volby vidět Jech, Thomas (1973), Axiom výběru, Severní Holandsko, s. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

[A]

[1]

[b]

[2]

[3]

[4]

Teorie množin
Přehled	Sada (matematika)
Axiomy	Adjunkce Výběr počitatelný závislý globální Konstrukčnost (V = L) Odhodlání Roztažnost Nekonečno Omezení velikosti Párování Napájecí sada Pravidelnost svaz Martinův axiom Schéma axiomu výměna, nahrazení Specifikace
Operace	kartézský součin Doplněk De Morganovy zákony Nespojitá unie Průsečík Napájecí sada Nastavit rozdíl Symetrický rozdíl svaz
Koncepty Metody	Mohutnost Základní číslovka (velký ) Třída Konstruktivní vesmír Hypotéza kontinua Diagonální argument Živel objednaný pár n-tice Rodina Nutit Osobní korespondence Pořadové číslo Transfinitní indukce Vennův diagram
Soubor typy	Počitatelný Prázdný Konečný (dědičně ) Fuzzy Nekonečný (Dedekind-nekonečný ) Rekurzivní Podmnožina· Nadmnožina Tranzitivní Nespočet Univerzální
Teorie	Alternativní Axiomatický Naivní Cantorova věta Zermelo Všeobecné Principia Mathematica Nové základy Zermelo – Fraenkel von Neumann – Bernays – Gödel Morse – Kelley Kripke – Platek Tarski – Grothendieck
Paradoxy Problémy	Russellův paradox Suslinův problém Paradox Burali-Forti
Set teoretiků	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine