Subadditivita - Subadditivity

v matematika, subadditivita je vlastnost funkce, která zhruba uvádí, že vyhodnocuje funkci pro součet dvou elementy z doména vždy vrátí něco menšího nebo rovného součtu hodnot funkce u každého prvku. Existuje mnoho příkladů subaditivních funkcí v různých oblastech matematiky, zejména normy a odmocniny. Aditivní mapy jsou speciální případy subaditivních funkcí.

Definice

Subadditivní funkce je a funkce ${ displaystyle f dvojtečka A až B}$ , které mají doména A a nařízeno codomain B to jsou oba Zavřeno navíc s následující vlastností:

{ displaystyle forall x, y in A, f (x + y) leq f (x) + f (y).}

Příkladem je odmocnina funkce, která má nezáporné reálná čísla jako doména a codomain, protože ${ displaystyle forall x, y geq 0}$ my máme:

{ displaystyle { sqrt {x + y}} leq { sqrt {x}} + { sqrt {y}}.}

A sekvence ${ displaystyle left {a_ {n} right }, n geq 1}$ , je nazýván subadditivní pokud vyhovuje nerovnost

{ displaystyle (1) qquad a_ {n + m} leq a_ {n} + a_ {m}}

pro všechny m a n. Toto je speciální případ subadditivní funkce, pokud je posloupnost interpretována jako funkce na množině přirozených čísel.

Vlastnosti

Sekvence

Užitečným výsledkem týkajícím se subaditivních sekvencí je následující lemma kvůli Michael Fekete.^[1]

Feketeho subadditivní lemma: Pro každou subaditivní posloupnost

{ displaystyle { left {a_ {n} right }} _ {n = 1} ^ { infty}}

, omezit

{ displaystyle displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {n}}}

existuje a rovná se infimum

{ displaystyle inf { frac {a_ {n}} {n}}}

. (Limit může být

{ displaystyle pm infty}

.)

Analog Feketeho lematu platí i pro superaditivní sekvence, to znamená: ${ displaystyle a_ {n + m} geq a_ {n} + a_ {m}.}$ (Limit pak může být kladné nekonečno: zvažte posloupnost ${ displaystyle a_ {n} = přihlásit se!}$ .)

Existují rozšíření Feketeho lematu, která nevyžadují udržení nerovnosti (1) pro všechny m a n, ale pouze pro m a n takhle ${ displaystyle { frac {1} {2}} leq { frac {m} {n}} leq 2.}$ Navíc podmínka ${ displaystyle a_ {n + m} leq a_ {n} + a_ {m}}$ mohou být oslabeny následovně: ${ displaystyle a_ {n + m} leq a_ {n} + a_ {m} + phi (n + m)}$ pokud ${ displaystyle phi}$ je rostoucí funkce taková, že integrál ${ displaystyle int phi (t) t ^ {- 2} , dt}$ konverguje (blízko nekonečna).^[2]

Existují také výsledky, které umožňují odvodit míru konvergence na hranici, jejíž existence je uvedena ve Feketeho lematu, pokud existuje nějaký druh obou superadditivita a je přítomna subadditivita.^[3]^[4]

Kromě toho byla prokázána analogie Feketeho lematu pro subaditivní reálné mapy (s dalšími předpoklady) z konečných podmnožin přístupné skupiny ^[5]^[6],^[7]a dále zrušující levou přístupnou semigroup.^[8]

Funkce

Teorém:^[9] Pro každého měřitelný subadditivní funkce

{ displaystyle f: (0, infty) to mathbb {R},}

omezení

{ displaystyle lim _ {t to infty} { frac {f (t)} {t}}}

existuje a rovná se

{ displaystyle inf _ {t> 0} { frac {f (t)} {t}}.}

(Limit může být

{ displaystyle - infty.}

)

Li F je subadditivní funkce, a pokud je 0 ve své doméně, pak F(0) ≥ 0. Chcete-li to vidět, vezměte nerovnost nahoře. ${ Displaystyle f (x) geq f (x + y) -f (y)}$ . Proto ${ displaystyle f (0) geq f (0 + y) -f (y) = 0}$

A konkávní funkce ${ displaystyle f: [0, infty) až [0, infty)}$ s ${ displaystyle f (0) geq 0}$ je také subadditivní. Abychom to viděli, jeden to nejprve pozoruje ${ displaystyle f (x) geq textstyle { frac {y} {x + y}} f (0) + textstyle { frac {x} {x + y}} f (x + y)}$ Pak se podíváme na součet této hranice ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle f (y)}$ , to nakonec ověří F je subadditivní.^[10]

Zápor subaditivní funkce je superaditivum.

Příklady v různých doménách

Entropie

Entropie hraje zásadní roli v teorie informace a statistická fyzika, stejně jako v kvantová mechanika v zobecněné formulaci kvůli von Neumann Entropie se vždy objevuje jako subaditivní veličina ve všech jejích formulacích, což znamená, že entropie supersystému nebo množinová náhoda proměnných je vždy menší nebo rovna součtu entropií jeho jednotlivých složek. Entropie ve fyzice navíc splňuje několik přísnější nerovnosti, jako je silná subadditivita entropie v klasické statistické mechanice a její kvantový analog.

Ekonomika

Subadditivita je základní vlastností nějakého konkrétního nákladové funkce. Je to obecně a nezbytný a dostatečný stav pro ověření a přirozený monopol. Znamená to, že výroba pouze jedné firmy je sociálně levnější (z hlediska průměrných nákladů) než výroba zlomku původního množství stejným počtem firem.

Úspory z rozsahu jsou reprezentovány subaditivem průměrné náklady funkce.

S výjimkou doplňkového zboží musí být cena zboží (jako funkce množství) subaditivní. V opačném případě, je-li součet nákladů na dvě položky levnější než cena svazku dvou z nich dohromady, pak by si svazek nikdo nikdy nekoupil, čímž by se cena svazku „stala“ součtem cen cen dvě samostatné položky. Tím se prokazuje, že to není dostatečná podmínka pro přirozený monopol; protože směnnou jednotkou nemusí být skutečné náklady na položku. Tuto situaci znají všichni na politické scéně, kde určitá menšina tvrdí, že ztráta určité svobody na určité úrovni vlády znamená, že mnoho vlád je na tom lépe; zatímco většina tvrdí, že existuje nějaká jiná správná jednotka nákladů.^{[Citace je zapotřebí ]}

Finance

Subadditivita je jednou z žádoucích vlastností koherentní opatření k riziku v řízení rizik^[11]. Ekonomická intuice, která stojí za subadditivitou měření rizika, spočívá v tom, že expozice portfoliovému riziku by se měla přinejhorším rovnat součtu rizikových expozic jednotlivých pozic, které tvoří portfolio. Ve všech ostatních případech účinky diverzifikace by vedlo k portfoliové expozici, která je nižší než součet jednotlivých rizikových expozic. Nedostatek subadditivity je jednou z hlavních kritik VaR modely, které se nespoléhají na předpoklad normálnost rizikových faktorů. Gaussian VaR zajišťuje subadditivitu: například Gaussian VaR portfolia dvou unitárních dlouhých pozic ${ displaystyle V}$ na úrovni spolehlivosti ${ displaystyle 1-p}$ je, za předpokladu, že průměrná změna hodnoty portfolia je nulová a hodnota VaR je definována jako záporná ztráta,

${ displaystyle { text {VaR}} _ {p} ekviv z_ {p} sigma _ { Delta V} = z_ {p} { sqrt { sigma _ {x} ^ {2} + sigma _ {y} ^ {2} +2 rho _ {xy} sigma _ {x} sigma _ {y}}}}$

kde ${ displaystyle z_ {p}}$ je inverzní k normálu kumulativní distribuční funkce na úrovni pravděpodobnosti ${ displaystyle p}$ , ${ displaystyle sigma _ {x} ^ {2}, sigma _ {y} ^ {2}}$ jsou odchylky návratnosti jednotlivých pozic a ${ displaystyle rho _ {xy}}$ je měřítko lineární korelace mezi dvěma jednotlivými pozicemi se vrací. Od té doby rozptyl je vždy pozitivní,

${ displaystyle { sqrt { sigma _ {x} ^ {2} + sigma _ {y} ^ {2} +2 rho _ {xy} sigma _ {x} sigma _ {y}}} leq sigma _ {x} + sigma _ {y}}$

Gaussian VaR je tedy subaditivní pro jakoukoli hodnotu ${ displaystyle rho _ {xy} v [-1,1]}$ a zejména se rovná součtu jednotlivých rizikových expozic, když ${ displaystyle rho _ {xy} = 1}$ což je případ žádných diverzifikačních účinků na portfolio riziko.

Termodynamika

Subadditivita se vyskytuje v termodynamických vlastnostechideální řešení a směsi jako přebytek molárního objemu a teplo míchání nebo nadměrná entalpie.

Kombinatorika slov

Faktoriál Jazyk ${ displaystyle L}$ je jeden, kde pokud slovo je v ${ displaystyle L}$ , pak vše faktory toho slova jsou také v ${ displaystyle L}$ . V kombinatorice slov je běžným problémem určit počet ${ displaystyle A (n)}$ délky ${ displaystyle n}$ slova ve faktoriálním jazyce. Jasně ${ displaystyle A (m + n) leq A (m) A (n)}$ , tak ${ displaystyle log A (n)}$ je subaditivní, a proto lze Feketeho lemma použít k odhadu růstu ${ displaystyle A (n)}$ . ^[12]

Viz také

Poznámky

^ Fekete, M. (1923). „Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten“. Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228–249. doi:10.1007 / BF01504345.
^ de Bruijn, N.G .; Erdös, P. (1952). "Některé lineární a některé kvadratické rekurzní vzorce. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55: 152–163. doi:10.1016 / S1385-7258 (52) 50021-0. (Stejný jako Indagationes Math. 14.) Viz také Steele 1997, Theorem 1.9.2.
^ Michael J. Steele. "Teorie pravděpodobnosti a kombinatorická optimalizace". SIAM, Philadelphia (1997). ISBN 0-89871-380-3.
^ Michael J. Steele (2011). Přednášky CBMS o teorii pravděpodobnosti a kombinatorické optimalizaci. Univerzita v Cambridge.
^ Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Střední topologická dimenze". Israel Journal of Mathematics. 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552. doi:10.1007 / BF02810577. ISSN 0021-2172. Věta 6.1
^ Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamin (1987). "Věty o entropii a izomorfismu pro akce přístupných skupin". Journal d'Analyse Mathématique. 48 (1): 1–141. doi:10.1007 / BF02790325. ISSN 0021-7670.
^ Gromov, Misha (1999). "Topologické invarianty dynamických systémů a prostorů holomorfních map: I". Matematická fyzika, analýza a geometrie. 2 (4): 323–415. doi:10.1023 / A: 1009841100168. ISSN 1385-0172.
^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). Msgstr "Analog Feketeho lematu pro subaditivní funkce na zrušitelných přístupných poloskupinách". J. Anal. Matematika. 124: 59–81. arXiv:1209.6179. doi:10.1007 / s11854-014-0027-4. Věta 1.1
^ Hille 1948, Věta 6.6.1. (Měřitelnost je uvedena v kapitole 6.2 „Přípravné zápasy“.)
^ Schechter, Eric (1997). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4., str. 314,12,25
^ Rau-Bredow, H. (2019). „Větší není vždy bezpečnější: Kritická analýza předpokladu subadditivity pro koherentní opatření k riziku“. Rizika. 7 (3): 91. doi:10,3390 / rizika7030091.
^ Shur, Arseny (2012). "Růstové vlastnosti bezmocných jazyků". Recenze informatiky. 6 (5–6): 187–208. doi:10.1016 / j.cosrev.2012.09.001.

Reference

György Pólya a Gábor Szegő. "Problémy a věty v analýze, díl 1". Springer-Verlag, New York (1976). ISBN 0-387-05672-6.
Einar Hille. "Funkční analýza a poloskupiny ". Americká matematická společnost, New York (1948).
N.H.Bingham, A.J. Ostaszewski. "Obecné subadditivní funkce." Proceedings of American Mathematical Society, sv. 136, č. 12 (2008), str. 4257–4266.

externí odkazy

Tento článek včlení materiál od subadditivity na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[1] Fekete, M. (1923). „Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten“. Mathematische Zeitschrift. 17 (1): 228–249. doi:10.1007 / BF01504345.

[2] Bruijn, N.G .; Erdös, P. (1952). "Některé lineární a některé kvadratické rekurzní vzorce. II". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55: 152–163. doi:10.1016 / S1385-7258 (52) 50021-0. (Stejný jako Indagationes Math. 14.) Viz také Steele 1997, Theorem 1.9.2.

[3] Michael J. Steele. "Teorie pravděpodobnosti a kombinatorická optimalizace". SIAM, Philadelphia (1997). ISBN 0-89871-380-3.

[4] Michael J. Steele (2011). Přednášky CBMS o teorii pravděpodobnosti a kombinatorické optimalizaci. Univerzita v Cambridge.

[5] Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). "Střední topologická dimenze". Israel Journal of Mathematics. 115 (1): 1–24. CiteSeerX 10.1.1.30.3552. doi:10.1007 / BF02810577. ISSN 0021-2172. Věta 6.1

[6] Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamin (1987). "Věty o entropii a izomorfismu pro akce přístupných skupin". Journal d'Analyse Mathématique. 48 (1): 1–141. doi:10.1007 / BF02790325. ISSN 0021-7670.

[7] Gromov, Misha (1999). "Topologické invarianty dynamických systémů a prostorů holomorfních map: I". Matematická fyzika, analýza a geometrie. 2 (4): 323–415. doi:10.1023 / A: 1009841100168. ISSN 1385-0172.

[8] Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). Msgstr "Analog Feketeho lematu pro subaditivní funkce na zrušitelných přístupných poloskupinách". J. Anal. Matematika. 124: 59–81. arXiv:1209.6179. doi:10.1007 / s11854-014-0027-4. Věta 1.1

[9] Hille 1948, Věta 6.6.1. (Měřitelnost je uvedena v kapitole 6.2 „Přípravné zápasy“.)

[10] Schechter, Eric (1997). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4., str. 314,12,25

[Rau-Bredow-11] Rau-Bredow, H. (2019). „Větší není vždy bezpečnější: Kritická analýza předpokladu subadditivity pro koherentní opatření k riziku“. Rizika. 7 (3): 91. doi:10,3390 / rizika7030091.

[shur-12] Shur, Arseny (2012). "Růstové vlastnosti bezmocných jazyků". Recenze informatiky. 6 (5–6): 187–208. doi:10.1016 / j.cosrev.2012.09.001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]