Quasidihedral skupina - Quasidihedral group
v matematika, kvazi-dihedrální skupiny, také zvaný polodiesedlové skupiny, jsou si jisti neabelské skupiny z objednat síla 2. Za každé kladné celé číslo n větší než nebo rovný 4, jsou přesně čtyři třídy izomorfismu neabelianů skupiny objednávky 2n které mají cyklický podskupina z index 2. Dva jsou dobře známé, zobecněná čtveřice skupina a dihedrální skupina. Jedna ze zbývajících dvou skupin je často považována za zvlášť důležitou, protože je příkladem 2-skupiny třída maximální nilpotence. v Bertram Huppert text Endliche Gruppen, tato skupina se nazývá „Quasidiedergruppe“. v Daniel Gorenstein text, Konečné skupiny, tato skupina se nazývá „semidihedrální skupina“. Dummit a Foote to označují jako „kvaziedihedrální skupinu“; toto jméno jsme přijali v tomto článku. Všichni dávají to samé prezentace pro tuto skupinu:
- .
Jiná neabelovská 2-skupina s cyklickou podskupinou indexu 2 nemá v žádném textu speciální název, ale označuje se pouze jako G nebo M.m(2). Pokud má tato skupina řád 16, Dummit a Foote označují tuto skupinu jako „modulární skupinu řádu 16“, protože mřížka podskupin je modulární, takže v tomto článku bude tato skupina nazývána modulární maximálně-cyklická skupina. Jeho prezentace je:
- .
Obě tyto dvě skupiny a dihedrální skupina jsou polopřímé produkty cyklické skupiny <r > objednávky 2n−1 s cyklickou skupinou <s> řádu 2. Takový neabelianský polopřímý produkt je jednoznačně určen prvkem řádu 2 v skupina jednotek z prsten a existují přesně tři takové prvky, , , a , což odpovídá dihedrální skupině, kvazidihedru a modulární maximálně-cyklické skupině.
Zobecněná kvaternionová skupina, dihedrální skupina a kvaziedirální skupina řádu 2n všichni mají třídu nilpotence n - 1 a jsou jedinými třídami izomorfismu skupin řádu 2n s třídou nilpotence n - 1. Skupiny řádu pn a třída nilpotence n - 1 byl začátek klasifikace všech p-skupiny přes coclass. Modulární maximálně cyklická skupina řádu 2n vždy má třídu nilpotence 2. Díky tomu je modulární maximálně-cyklická skupina méně zajímavá, protože většina skupin řádu pn pro velké n mají třídu nilpotence 2 a ukázalo se, že je obtížné je přímo pochopit.
Zobecněný čtveřice, vzepětí a kvazidihedrální skupina, jsou jedinými dvěma skupinami, jejichž odvozená podskupina má index 4. The Alperin – Brauer – Gorensteinova věta klasifikuje jednoduché skupiny, a do určité míry konečné skupiny, s kvazidihedrálním 2 podskupinami Sylow.
Příklady
2 podskupiny Sylow následujících skupin jsou kvazidihedrální:
- PSL3(Fq) pro q ≡ 3 mod 4,
- PSU3(Fq) pro q ≡ 1 mod 4,
- the Skupina Mathieu M11,
- GL2(Fq) pro q ≡ 3 mod 4.
Reference
- Dummit, D. S .; Foote, R. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). Wiley. 71–72. ISBN 9780471433347.
- Huppert, B. (1967). Endliche Gruppen. Springer. str. 90–93. PAN 0224703.
- Gorenstein, D. (1980). Konečné skupiny. Chelsea. 188–195. ISBN 0-8284-0301-5. PAN 0569209.