Zobecněná dihedrální skupina - Generalized dihedral group

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Zobecněná dihedrální skupina"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červen 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, zobecněné dihedrální skupiny jsou rodina skupiny s algebraickými strukturami podobnými struktuře dihedrální skupiny. Zahrnují konečné dihedrální skupiny, nekonečná dihedrální skupina a ortogonální skupina Ó(2).

Definice

Pro všechny abelianská skupina H, zobecněná dihedrální skupina z H, napsal Dih (H), je polopřímý produkt z H a Z.₂, se Z₂ jednající na H převrácením prvků. Tj., ${displaystyle mathrm {Dih} (H) = Htimes _ {phi} Z_ {2}}$ s φ (0) identitou a φ (1) inverzí.

Tak dostaneme:

(h₁, 0) * (h₂, t₂) = (h₁ + h₂, t₂)

(h₁, 1) * (h₂, t₂) = (h₁ − h₂, 1 + t₂)

pro všechny h₁, h₂ v H a t₂ v Z₂.

(Psaní Z₂ multiplikativně máme (h₁, t₁) * (h₂, t₂) = (h₁ + t₁h₂, t₁t₂) .)

Všimněte si, že (h, 0) * (0,1) = (h, 1), tj. Nejdříve inverze a poté operace v H. Také (0, 1) * (h, t) = (−h, 1 + t); skutečně (0,1) invertuje ha přepíná t mezi „normální“ (0) a „převrácenou“ (1) (tato kombinovaná operace je vlastní inverzní).

Podskupina Dih (H) prvků (h, 0) je a normální podskupina z index 2, izomorfní s H, zatímco prvky (h, 1) jsou všechny své vlastní inverzní.

The třídy konjugace jsou:

• sady {(h,0 ), (−h,0 )}
• sady {(h + k + k, 1) | k v H }

Tedy pro každou podskupinu M z H, odpovídající sada prvků (m, 0) je také normální podskupina. My máme:

Dih (H) / M = Dih ( H / M )

Příklady

• Dih_n = Dih (Z_n) (dále jen dihedrální skupiny )
  • Dokonce i n existují dvě sady {(h + k + k, 1) | k v H } a každý generuje normální podskupinu typu Dih_{n / 2}. Jako podskupiny izometrické skupiny množiny vrcholů pravidelné n-gon jsou různé: odrazy v jedné podskupině mají všechny dva pevné body, zatímco žádný v druhé podskupině nemá (rotace obou jsou stejné). Jsou však izomorfní jako abstraktní skupiny.
  • Pro zvláštní n existuje pouze jedna sada {(h + k + k, 1) | k v H }
• Dih_∞ = Dih (Z) (dále jen nekonečná dihedrální skupina ); existují dvě sady {(h + k + k, 1) | k v H } a každý generuje normální podskupinu typu Dih_∞. Jako podskupiny izometrické skupiny Z jsou různé: odrazy v jedné podskupině mají všechny pevný bod, zrcadla jsou v celých číslech, zatímco žádná v jiné podskupině nemá, zrcadla jsou mezi nimi (překlady obou jsou stejné: sudými čísly). Jsou však izomorfní jako abstraktní skupiny.
• Dih (S¹), nebo ortogonální skupina O (2,R) nebo O (2): izometrická skupina a kruh nebo ekvivalentně skupina izometrií ve 2D, které udržují počátek fixní. Rotace tvoří kruhová skupina S¹nebo ekvivalentně SO (2,R), také psáno SO (2) a R/Z ; je to také multiplikativní skupina komplexní čísla z absolutní hodnota 1. V druhém případě je jedna z odrazů (generujících ostatní) komplexní konjugace. Neexistují žádné správné normální podskupiny s odrazy. Diskrétní normální podskupiny jsou cyklické skupiny řádu n pro všechna kladná celá čísla n. Skupiny kvocientů jsou isomorfní se stejnou skupinou Dih (S¹).
• Dih (Rⁿ ): skupina izometrií Rⁿ skládající se ze všech překladů a inverze ve všech bodech; pro n = 1 toto je Euklidovská skupina E (1); pro n > 1 skupina Dih (Rⁿ ) je správná podskupina E (n ), tj. neobsahuje všechny izometrie.
• H může být jakákoli podskupina Rⁿ, např. diskrétní podskupina; v takovém případě, pokud se rozšíří do n směry je to mříž.
  • Diskrétní podskupiny Dih (R² ), které obsahují překlady v jednom směru, jsou z vlysová skupina typ ${displaystyle infty infty}$ a 22${displaystyle infty}$.
  • Diskrétní podskupiny Dih (R² ), které obsahují překlady ve dvou směrech, jsou z skupina tapet typ p1 a p2.
  • Diskrétní podskupiny Dih (R³ ), které obsahují překlady ve třech směrech, jsou vesmírné skupiny z triclinic krystalový systém.

Vlastnosti

Dih (H) je Abelian, s polopřímým produktem přímým produktem, právě když všechny prvky H jsou jejich vlastní inverzní, tj. an elementární abelian 2-skupina:

• Dih (Z₁) = Dih₁ = Z₂
• Dih (Z₂) = Dih₂ = Z₂ × Z₂ (Kleinova čtyřčlenná skupina )
• Dih (Dih₂) = Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂

atd.

Topologie

Dih (Rⁿ ) a jeho vzepětí podskupiny jsou odpojeny topologické skupiny. Dih (Rⁿ ) se skládá ze dvou připojeno komponenty: složka identity izomorfní s Rⁿa komponenta s odrazy. Podobně O (2) se skládá ze dvou připojených komponent: komponenta identity je izomorfní se skupinou kruhů a komponenta s odrazy.

Pro skupinu Dih_∞ můžeme rozlišit dva případy:

• Dih_∞ jako izometrická skupina Z
• Dih_∞ jako 2-dimenzionální izometrická skupina generovaná rotací o iracionální počet závitů a odraz

Obě topologické skupiny jsou úplně odpojen, ale v prvním případě jsou komponenty (singleton) otevřené, zatímco v druhém případě nejsou. První topologická skupina je také uzavřenou podskupinou Dih (R), ale druhá není uzavřená podskupina O (2).

Reference